Номер 1000, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 12 - номер 1000, страница 197.

Условие.

1000. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:
а) (n + 1)² − (n − 1)² делится на 4;
б) (2n + 3)² − (2n − 1)² делится на 8;
в) (3n + 1)² − (3n − 1)² делится на 12;
г) (5n + 1)² − (2n − 1)² делится на 7.

Решение 1.

а) (n + 1)² − (n − 1)² =
= (n + 1 - n + 1) (n + 1 + n - 1) =
= 2 ⋅ 2n = 4n;

б) (2n + 3)² − (2n − 1)² =
= (2n + 3 - 2n + 1) (2n + 3 + 2n - 1) =
= 4 ⋅ (4n + 2) = 4 ⋅ 2(2n + 1) =
= 8 ⋅ (2n + 1);

в) (3n + 1)² − (3n − 1)² =
= (3n + 1 - 3n + 1) (3n + 1 + 3n - 1) =
= 2 ⋅ 6n = 12n;

г) (5n + 1)² − (2n − 1)² =
= (5n + 1 - 2n + 1) (5n + 1 + 2n - 1) =
= (3n + 2) ⋅ 7n.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(n + 1)^2 - (n - 1)^2$ делится на 4 при любом натуральном $n$, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Преобразуем данное выражение:
$(n + 1)^2 - (n - 1)^2 = ((n + 1) - (n - 1))((n + 1) + (n - 1)) = (n + 1 - n + 1)(n + 1 + n - 1) = (2)(2n) = 4n$.
Поскольку $n$ — натуральное число, произведение $4n$ всегда является целым числом, кратным 4. Следовательно, выражение делится на 4.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2$ делится на 8 при любом натуральном $n$, также применим формулу разности квадратов.
Преобразуем выражение:
$(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2 = ((2n + 3) - (2n - 1))((2n + 3) + (2n - 1)) = (2n + 3 - 2n + 1)(2n + 3 + 2n - 1) = (4)(4n + 2)$.
Вынесем общий множитель 2 из второй скобки: $4 \cdot 2(2n + 1) = 8(2n + 1)$.
Так как $n$ — натуральное число, $2n + 1$ также является целым числом. Следовательно, выражение $8(2n + 1)$, имея множитель 8, всегда делится на 8.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Докажем, что значение выражения $(3n + 1)^2 - (3n - 1)^2$ делится на 12 при любом натуральном $n$, используя формулу разности квадратов.
Преобразуем выражение:
$(3n + 1)^2 - (3n - 1)^2 = ((3n + 1) - (3n - 1))((3n + 1) + (3n - 1)) = (3n + 1 - 3n + 1)(3n + 1 + 3n - 1) = (2)(6n) = 12n$.
Поскольку $n$ — натуральное число, произведение $12n$ всегда является целым числом, кратным 12. Таким образом, выражение делится на 12.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Докажем, что значение выражения $(5n + 1)^2 - (2n - 1)^2$ делится на 7 при любом натуральном $n$. Воспользуемся формулой разности квадратов.
Преобразуем выражение:
$(5n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = ((5n + 1) - (2n - 1))((5n + 1) + (2n - 1)) = (5n + 1 - 2n + 1)(5n + 1 + 2n - 1) = (3n + 2)(7n)$.
Полученное выражение $7n(3n + 2)$ содержит множитель 7. Так как $n$ — натуральное число, то $n(3n + 2)$ является целым числом. Следовательно, все выражение делится на 7.
Ответ: Что и требовалось доказать.