Номер 1005, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 12 - номер 1005, страница 197.

Условие.

1005. Представьте в виде произведения:

а) (х + 1)³ + х³;
б) (у − 2)³ − 27;
в) (а − b)³ + b³;

г) 8х³ + (х − у)³;
д) 27а³ − (а − b)³;
е) 1000 + (b − 8)³.

Решение 1.

а) (х + 1)³ + х³ =
= (x + 1 + x) ((x + 1)² - x(x + 1) + x²) =
= (2x + 1) (x² + 2x + 1 - x² - x + x²) =
= (2x + 1) (x² + x + 1);

б) (у − 2)³ − 27 = (y - 2)³ - 3³ =
= (y - 2 - 3) ((y - 2)² + 3(y - 2) + 3²) =
= (y - 5) (y² - 4y + 4 + 3y - 6 + 9) =
= (y - 5) (y² - y + 7);

в) (а − b)³ + b³ =
= (a - b + b) ((a - b)² - b(a - b) + b²) =
= a(a² - 2ab + b² - ab + b² + b²) =
= a(a² - 3ab + 3b²);

г) 8х³ + (х − у)³ = (2x)³ + (x - y)³ =
= (2x + x - y) (4x² - 2x(x - y) +
+ (x - y)²) = (3x - y) (4x² - 2x² +
+ 2xy + x² - 2xy + y²) =
= (3x - y) (3x² + y²);

д) 27а³ − (а − b)³ = (3a)³ - (a - b)³ =
= (3a - (a - b)) (9a² + 3a(a - b) +
+ (a - b)²) = (3a - a + b) ×
×(9a² + 3a² - 3ab + a² - 2ab + b²) =
= (2a + b) (13a² - 5ab + b²);

е) 1000 + (b − 8)³ = 10³ + (b - 8)³ =
= (10 + b - 8) (100 - 10(b - 8) +
+ (b - 8)²) = (2 + b) (100 - 10b +
+ 80 + b² - 16b + 64) =
= (2 + b) (b² - 26b + 244).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для разложения выражения $(x+1)^3 + x^3$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.
В данном случае $A = x+1$ и $B = x$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x+1)^3 + x^3 = ((x+1)+x)((x+1)^2 - (x+1)x + x^2)$.
Упростим каждый множитель:
Первый множитель: $x+1+x = 2x+1$.
Второй множитель: $(x+1)^2 - x(x+1) + x^2 = (x^2+2x+1) - (x^2+x) + x^2 = x^2+2x+1-x^2-x+x^2 = x^2+x+1$.
В результате получаем произведение: $(2x+1)(x^2+x+1)$.
Ответ: $(2x+1)(x^2+x+1)$.

б) Для разложения выражения $(y-2)^3 - 27$ представим $27$ как $3^3$ и воспользуемся формулой разности кубов: $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.
Здесь $A = y-2$ и $B = 3$.
Подставим в формулу:
$(y-2)^3 - 3^3 = ((y-2)-3)((y-2)^2 + (y-2) \cdot 3 + 3^2)$.
Упростим каждый множитель:
Первый множитель: $y-2-3 = y-5$.
Второй множитель: $(y^2-4y+4) + (3y-6) + 9 = y^2-4y+4+3y-6+9 = y^2-y+7$.
В результате получаем произведение: $(y-5)(y^2-y+7)$.
Ответ: $(y-5)(y^2-y+7)$.

в) Для выражения $(a-b)^3+b^3$ применим формулу суммы кубов: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.
Здесь $A = a-b$ и $B = b$.
Подставим в формулу:
$((a-b)+b)((a-b)^2 - (a-b)b + b^2)$.
Упростим множители:
Первый множитель: $a-b+b=a$.
Второй множитель: $(a^2-2ab+b^2) - (ab-b^2) + b^2 = a^2-2ab+b^2-ab+b^2+b^2 = a^2-3ab+3b^2$.
В результате получаем произведение: $a(a^2-3ab+3b^2)$.
Ответ: $a(a^2-3ab+3b^2)$.

г) Выражение $8x^3+(x-y)^3$ представим как $(2x)^3+(x-y)^3$ и применим формулу суммы кубов: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.
Здесь $A = 2x$ и $B = x-y$.
Подставим в формулу:
$(2x+(x-y))((2x)^2 - 2x(x-y) + (x-y)^2)$.
Упростим множители:
Первый множитель: $2x+x-y = 3x-y$.
Второй множитель: $4x^2 - (2x^2-2xy) + (x^2-2xy+y^2) = 4x^2-2x^2+2xy+x^2-2xy+y^2 = 3x^2+y^2$.
В результате получаем произведение: $(3x-y)(3x^2+y^2)$.
Ответ: $(3x-y)(3x^2+y^2)$.

д) Выражение $27a^3-(a-b)^3$ представим как $(3a)^3-(a-b)^3$ и применим формулу разности кубов: $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$.
Здесь $A = 3a$ и $B = a-b$.
Подставим в формулу:
$(3a-(a-b))((3a)^2 + 3a(a-b) + (a-b)^2)$.
Упростим множители:
Первый множитель: $3a-a+b = 2a+b$.
Второй множитель: $9a^2 + (3a^2-3ab) + (a^2-2ab+b^2) = 9a^2+3a^2-3ab+a^2-2ab+b^2 = 13a^2-5ab+b^2$.
В результате получаем произведение: $(2a+b)(13a^2-5ab+b^2)$.
Ответ: $(2a+b)(13a^2-5ab+b^2)$.

е) Выражение $1000+(b-8)^3$ представим как $10^3+(b-8)^3$ и применим формулу суммы кубов: $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.
Здесь $A = 10$ и $B = b-8$.
Подставим в формулу:
$(10+(b-8))(10^2 - 10(b-8) + (b-8)^2)$.
Упростим множители:
Первый множитель: $10+b-8 = b+2$.
Второй множитель: $100 - (10b-80) + (b^2-16b+64) = 100-10b+80+b^2-16b+64 = b^2-26b+244$.
В результате получаем произведение: $(b+2)(b^2-26b+244)$.
Ответ: $(b+2)(b^2-26b+244)$.