Номер 1011, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 1011, страница 198.

1011. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

а) Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо это выражение упростить. Для этого раскроем скобки, выполнив умножение многочленов, а затем приведем подобные слагаемые.
$(a-3)(a^2-8a+5)-(a-8)(a^2-3a+5)$
Раскроем первую пару скобок:
$(a-3)(a^2-8a+5) = a(a^2-8a+5) - 3(a^2-8a+5) = a^3-8a^2+5a-3a^2+24a-15 = a^3-11a^2+29a-15$
Раскроем вторую пару скобок:
$(a-8)(a^2-3a+5) = a(a^2-3a+5) - 8(a^2-3a+5) = a^3-3a^2+5a-8a^2+24a-40 = a^3-11a^2+29a-40$
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(a^3-11a^2+29a-15) - (a^3-11a^2+29a-40) = a^3-11a^2+29a-15 - a^3+11a^2-29a+40$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^3-a^3) + (-11a^2+11a^2) + (29a-29a) + (-15+40) = 0 + 0 + 0 + 25 = 25$
В результате упрощения мы получили число 25. Это означает, что значение исходного выражения является постоянным и не зависит от значения переменной $a$.
Ответ: 25.

б) Аналогично предыдущему пункту, упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
$(x^2-3x+2)(2x+5)-(2x^2+7x+17)(x-4)$
Раскроем первую пару скобок:
$(x^2-3x+2)(2x+5) = x^2(2x+5) - 3x(2x+5) + 2(2x+5) = 2x^3+5x^2-6x^2-15x+4x+10 = 2x^3-x^2-11x+10$
Раскроем вторую пару скобок:
$(2x^2+7x+17)(x-4) = 2x^2(x-4) + 7x(x-4) + 17(x-4) = 2x^3-8x^2+7x^2-28x+17x-68 = 2x^3-x^2-11x-68$
Вычтем второе выражение из первого:
$(2x^3-x^2-11x+10) - (2x^3-x^2-11x-68) = 2x^3-x^2-11x+10 - 2x^3+x^2+11x+68$
Приведем подобные слагаемые:
$(2x^3-2x^3) + (-x^2+x^2) + (-11x+11x) + (10+68) = 0 + 0 + 0 + 78 = 78$
В результате упрощения мы получили число 78. Это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной $x$.
Ответ: 78.