Номер 1011, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1011, страница 198.

Условие.

1011. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

Решение 1.

а) (a - 3) (a² - 8a + 5) - (a - 8) ×
×(a² - 3a + 5) = a³ - 8a² + 5a -
- 3a² + 24a - 15 -
- (a³ - 3a² + 5a - 8a² + 24a - 40) =
= a³ - 11a² + 29a - 15 -
- (a³ - 11a² + 29a - 40) =
= a³ - 11a² + 29a - 15 - a³ +
+ 11a² - 29a + 40 = 25;

б) (x² - 3x + 2) (2x + 5) -
- (2x² + 7x + 17) (x - 4) =
= 2x³ + 5x² - 6x² - 15x + 4x + 10 -
- (2x³ - 8x² + 7x² - 28x + 17x - 68) =
= 2x³ - x² - 11x + 10 -
- (2x³ - x² - 11x - 68) =
= 2x³ - x² - 11x + 10 - 2x³ + x² +
+ 11x + 68 = 78.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо это выражение упростить. Для этого раскроем скобки, выполнив умножение многочленов, а затем приведем подобные слагаемые.
$(a-3)(a^2-8a+5)-(a-8)(a^2-3a+5)$
Раскроем первую пару скобок:
$(a-3)(a^2-8a+5) = a(a^2-8a+5) - 3(a^2-8a+5) = a^3-8a^2+5a-3a^2+24a-15 = a^3-11a^2+29a-15$
Раскроем вторую пару скобок:
$(a-8)(a^2-3a+5) = a(a^2-3a+5) - 8(a^2-3a+5) = a^3-3a^2+5a-8a^2+24a-40 = a^3-11a^2+29a-40$
Теперь вычтем второе выражение из первого:
$(a^3-11a^2+29a-15) - (a^3-11a^2+29a-40) = a^3-11a^2+29a-15 - a^3+11a^2-29a+40$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^3-a^3) + (-11a^2+11a^2) + (29a-29a) + (-15+40) = 0 + 0 + 0 + 25 = 25$
В результате упрощения мы получили число 25. Это означает, что значение исходного выражения является постоянным и не зависит от значения переменной $a$.
Ответ: 25.

б) Аналогично предыдущему пункту, упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
$(x^2-3x+2)(2x+5)-(2x^2+7x+17)(x-4)$
Раскроем первую пару скобок:
$(x^2-3x+2)(2x+5) = x^2(2x+5) - 3x(2x+5) + 2(2x+5) = 2x^3+5x^2-6x^2-15x+4x+10 = 2x^3-x^2-11x+10$
Раскроем вторую пару скобок:
$(2x^2+7x+17)(x-4) = 2x^2(x-4) + 7x(x-4) + 17(x-4) = 2x^3-8x^2+7x^2-28x+17x-68 = 2x^3-x^2-11x-68$
Вычтем второе выражение из первого:
$(2x^3-x^2-11x+10) - (2x^3-x^2-11x-68) = 2x^3-x^2-11x+10 - 2x^3+x^2+11x+68$
Приведем подобные слагаемые:
$(2x^3-2x^3) + (-x^2+x^2) + (-11x+11x) + (10+68) = 0 + 0 + 0 + 78 = 78$
В результате упрощения мы получили число 78. Это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной $x$.
Ответ: 78.