Номер 1009, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Дополнительные упражнения к главе V. К параграфу 13 - номер 1009, страница 198.

Условие.

1009. Докажите, что функция, заданная формулой у = (2х − 5)(3 + 8х) − (1 − 4х)², линейная. Принадлежит ли графику этой функции точка А(−1; 10); точка В(0; 16)?

Решение 1.

у = (2х − 5)(3 + 8х) − (1 − 4х)²

(2x - 5) (3 + 8x) - (1 - 4x)² =
= 6x + 16x² - 15 - 40x -
- (1 - 8x + 16x²) =
= 16x² - 34x - 15 - 1 + 8x -
- 16x² = -26x - 16

y = -26x - 16 – линейная функция

A (-1; 10)
10 = -26 ⋅ (-1) - 16;
10 = 26 - 16;
10 = 10

Ответ: принадлежит.

B (0; 16)
16 = -26 ⋅ 0 - 16;
16 = -16 – неверно

Ответ: не принадлежит.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Докажите, что функция, заданная формулой $y=(2x-5)(3+8x)-(1-4x)^2$, линейная.

Линейная функция имеет общий вид $y=kx+b$, где $k$ и $b$ – некоторые числа. Чтобы доказать, что данная функция является линейной, необходимо упростить ее формулу и привести к этому виду.

1. Раскроем произведение многочленов $(2x-5)(3+8x)$:

$(2x-5)(3+8x) = 2x \cdot 3 + 2x \cdot 8x - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 8x = 6x + 16x^2 - 15 - 40x$.

Приведем подобные слагаемые: $16x^2 + (6x - 40x) - 15 = 16x^2 - 34x - 15$.

2. Возведем в квадрат двучлен $(1-4x)$ по формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(1-4x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 4x + (4x)^2 = 1 - 8x + 16x^2$.

3. Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение функции:

$y = (16x^2 - 34x - 15) - (1 - 8x + 16x^2)$.

4. Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними, и приведем подобные слагаемые:

$y = 16x^2 - 34x - 15 - 1 + 8x - 16x^2$

$y = (16x^2 - 16x^2) + (-34x + 8x) + (-15 - 1)$

$y = 0 \cdot x^2 - 26x - 16$

$y = -26x - 16$.

Полученное уравнение $y = -26x - 16$ является уравнением линейной функции, где угловой коэффициент $k=-26$, а свободный член $b=-16$. Таким образом, доказано, что исходная функция является линейной.

Ответ: Функция является линейной, так как после упрощения ее формула принимает вид $y = -26x - 16$.

Принадлежит ли графику этой функции точка A(-1; 10); точка B(0; 16)?

Для проверки принадлежности точки графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в упрощенное уравнение функции $y = -26x - 16$. Если в результате получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.

Проверим точку A(-1; 10). Подставим $x=-1$ и $y=10$:

$10 = -26 \cdot (-1) - 16$

$10 = 26 - 16$

$10 = 10$

Равенство верное, следовательно, точка A(-1; 10) принадлежит графику функции.

Проверим точку B(0; 16). Подставим $x=0$ и $y=16$:

$16 = -26 \cdot 0 - 16$

$16 = 0 - 16$

$16 = -16$

Равенство неверное, следовательно, точка B(0; 16) не принадлежит графику функции.

Ответ: Точка A(-1; 10) принадлежит графику, а точка B(0; 16) не принадлежит.