Номер 997, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 997, страница 196.

997. Представьте в виде произведения:

Для решения всех пунктов задачи используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $x^{10} - 1$

Данное выражение представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов.
В этом случае $a^2 = x^{10}$, что можно представить как $(x^5)^2$, следовательно, $a = x^5$.
Второе слагаемое $b^2 = 1$, что можно представить как $1^2$, следовательно, $b = 1$.
Подставляем значения в формулу:
$x^{10} - 1 = (x^5)^2 - 1^2 = (x^5 - 1)(x^5 + 1)$.
Ответ: $(x^5 - 1)(x^5 + 1)$.

б) $y^{12} - 16$

Представим выражение в виде разности квадратов.
Здесь $a^2 = y^{12} = (y^6)^2$, значит $a = y^6$.
И $b^2 = 16 = 4^2$, значит $b = 4$.
Применяем формулу:
$y^{12} - 16 = (y^6)^2 - 4^2 = (y^6 - 4)(y^6 + 4)$.
Обратим внимание, что первый множитель $y^6 - 4$ также является разностью квадратов, так как $y^6 = (y^3)^2$ и $4 = 2^2$.
Разложим его дальше:
$y^6 - 4 = (y^3)^2 - 2^2 = (y^3 - 2)(y^3 + 2)$.
Таким образом, окончательное разложение на множители:
$(y^3 - 2)(y^3 + 2)(y^6 + 4)$.
Ответ: $(y^3 - 2)(y^3 + 2)(y^6 + 4)$.

в) $a^2x^8 - 81$

Это выражение является разностью квадратов.
Здесь $a^2 = a^2x^8 = (ax^4)^2$, значит $a = ax^4$.
И $b^2 = 81 = 9^2$, значит $b = 9$.
Применяем формулу разности квадратов:
$a^2x^8 - 81 = (ax^4)^2 - 9^2 = (ax^4 - 9)(ax^4 + 9)$.
Ответ: $(ax^4 - 9)(ax^4 + 9)$.

г) $36 - b^4y^6$

Представим выражение как разность квадратов.
Здесь $a^2 = 36 = 6^2$, значит $a = 6$.
И $b^2 = b^4y^6 = (b^2y^3)^2$, значит $b = b^2y^3$.
Подставляем в формулу:
$36 - b^4y^6 = 6^2 - (b^2y^3)^2 = (6 - b^2y^3)(6 + b^2y^3)$.
Ответ: $(6 - b^2y^3)(6 + b^2y^3)$.

д) $25p^4q^4 - 1$

Это разность квадратов.
Здесь $a^2 = 25p^4q^4 = (5p^2q^2)^2$, значит $a = 5p^2q^2$.
И $b^2 = 1 = 1^2$, значит $b = 1$.
Применяем формулу:
$25p^4q^4 - 1 = (5p^2q^2)^2 - 1^2 = (5p^2q^2 - 1)(5p^2q^2 + 1)$.
Ответ: $(5p^2q^2 - 1)(5p^2q^2 + 1)$.

е) $-9 + 121m^8n^8$

Сначала перепишем выражение для удобства: $121m^8n^8 - 9$.
Это разность квадратов.
Здесь $a^2 = 121m^8n^8 = (11m^4n^4)^2$, значит $a = 11m^4n^4$.
И $b^2 = 9 = 3^2$, значит $b = 3$.
Применяем формулу:
$121m^8n^8 - 9 = (11m^4n^4)^2 - 3^2 = (11m^4n^4 - 3)(11m^4n^4 + 3)$.
Ответ: $(11m^4n^4 - 3)(11m^4n^4 + 3)$.

ж) $0,01x^{16} - 0,16$

Вынесем общий множитель $0,01$ за скобки:
$0,01x^{16} - 0,16 = 0,01(x^{16} - 16)$.
Теперь разложим выражение в скобках $x^{16} - 16$ по формуле разности квадратов.Представим $x^{16}$ как $(x^8)^2$ и $16$ как $4^2$.
$x^{16} - 16 = (x^8)^2 - 4^2 = (x^8 - 4)(x^8 + 4)$.
Множитель $x^8 - 4$ снова является разностью квадратов, где $x^8 = (x^4)^2$ и $4 = 2^2$.
$x^8 - 4 = (x^4)^2 - 2^2 = (x^4 - 2)(x^4 + 2)$.
Подставляя обратно, получаем полное разложение:
$0,01(x^4 - 2)(x^4 + 2)(x^8 + 4)$.
Ответ: $0,01(x^4 - 2)(x^4 + 2)(x^8 + 4)$.

з) $1,69y^{14} - 1,21$

Это разность квадратов.
Здесь $a^2 = 1,69y^{14} = (1,3y^7)^2$, значит $a = 1,3y^7$.
И $b^2 = 1,21 = (1,1)^2$, значит $b = 1,1$.
Применяем формулу:
$1,69y^{14} - 1,21 = (1,3y^7)^2 - (1,1)^2 = (1,3y^7 - 1,1)(1,3y^7 + 1,1)$.
Ответ: $(1,3y^7 - 1,1)(1,3y^7 + 1,1)$.

и) $\frac{4}{9}m^6 - \frac{25}{36}$

Это разность квадратов.
Здесь $a^2 = \frac{4}{9}m^6 = (\frac{2}{3}m^3)^2$, значит $a = \frac{2}{3}m^3$.
И $b^2 = \frac{25}{36} = (\frac{5}{6})^2$, значит $b = \frac{5}{6}$.
Применяем формулу:
$\frac{4}{9}m^6 - \frac{25}{36} = (\frac{2}{3}m^3)^2 - (\frac{5}{6})^2 = (\frac{2}{3}m^3 - \frac{5}{6})(\frac{2}{3}m^3 + \frac{5}{6})$.
Ответ: $(\frac{2}{3}m^3 - \frac{5}{6})(\frac{2}{3}m^3 + \frac{5}{6})$.