Страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

988. Представьте в виде многочлена:

а) $5y(y^2 - 3)(y^2 + 3)$
Для начала, заметим, что произведение $(y^2 - 3)(y^2 + 3)$ является разностью квадратов. Воспользуемся формулой $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = y^2$ и $b = 3$.
$(y^2 - 3)(y^2 + 3) = (y^2)^2 - 3^2 = y^4 - 9$.
Теперь подставим это выражение обратно в исходное:
$5y(y^4 - 9)$.
Раскроем скобки, умножив $5y$ на каждый член многочлена $y^4 - 9$:
$5y \cdot y^4 - 5y \cdot 9 = 5y^5 - 45y$.
Ответ: $5y^5 - 45y$.

б) $-8x(4x - x^3)(4x + x^3)$
Произведение $(4x - x^3)(4x + x^3)$ также является разностью квадратов. Применим формулу $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 4x$ и $b = x^3$.
$(4x - x^3)(4x + x^3) = (4x)^2 - (x^3)^2 = 16x^2 - x^6$.
Теперь умножим полученный двучлен на одночлен $-8x$:
$-8x(16x^2 - x^6) = -8x \cdot 16x^2 - (-8x) \cdot x^6 = -128x^3 + 8x^7$.
Для стандартного вида многочлена расположим его члены в порядке убывания степеней:
$8x^7 - 128x^3$.
Ответ: $8x^7 - 128x^3$.

в) $(a^4 - 3)(a^4 + 3)(a^8 + 9)$
Упростим выражение пошагово, используя формулу разности квадратов. Сначала для первых двух множителей:
$(a^4 - 3)(a^4 + 3) = (a^4)^2 - 3^2 = a^8 - 9$.
Теперь исходное выражение принимает вид:
$(a^8 - 9)(a^8 + 9)$.
Это снова разность квадратов, где $a = a^8$ и $b = 9$. Применим формулу еще раз:
$(a^8 - 9)(a^8 + 9) = (a^8)^2 - 9^2 = a^{16} - 81$.
Ответ: $a^{16} - 81$.

г) $(1 - b^3)(1 + b^3)(1 + b^6)$
Сначала перемножим первые две скобки по формуле разности квадратов, где $a = 1$ и $b = b^3$:
$(1 - b^3)(1 + b^3) = 1^2 - (b^3)^2 = 1 - b^6$.
Подставим полученный результат в выражение:
$(1 - b^6)(1 + b^6)$.
Снова видим формулу разности квадратов, где $a = 1$ и $b = b^6$ :
$(1 - b^6)(1 + b^6) = 1^2 - (b^6)^2 = 1 - b^{12}$.
Ответ: $1 - b^{12}$.

989. Упростите выражение:

а)

Для упрощения выражения $(a + 2)(a - 2) - a(a - 5)$ воспользуемся формулой разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ для первого слагаемого и раскроем скобки во втором слагаемом.
$(a + 2)(a - 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.
Далее раскроем вторую часть выражения:
$-a(a - 5) = -a \cdot a - a \cdot (-5) = -a^2 + 5a$.
Теперь сложим полученные выражения:
$(a^2 - 4) + (-a^2 + 5a) = a^2 - 4 - a^2 + 5a$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + 5a - 4 = 5a - 4$.
Ответ: $5a - 4$.

б)

Упростим выражение $(a - 3)(3 + a) + a(7 - a)$.
Первое слагаемое можно преобразовать, используя формулу разности квадратов, предварительно поменяв местами слагаемые во второй скобке: $(a - 3)(a + 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.
Раскроем скобки во втором слагаемом: $a(7 - a) = 7a - a^2$.
Сложим результаты:
$(a^2 - 9) + (7a - a^2) = a^2 - 9 + 7a - a^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + 7a - 9 = 7a - 9$.
Ответ: $7a - 9$.

в)

Упростим выражение $(b - 4)(b + 4) - (b - 3)(b + 5)$.
Первое произведение является разностью квадратов: $(b - 4)(b + 4) = b^2 - 4^2 = b^2 - 16$.
Второе произведение раскроем по правилу умножения многочленов:
$(b - 3)(b + 5) = b \cdot b + b \cdot 5 - 3 \cdot b - 3 \cdot 5 = b^2 + 5b - 3b - 15 = b^2 + 2b - 15$.
Теперь вычтем второе выражение из первого, раскрыв скобки с учётом знака "минус":
$(b^2 - 16) - (b^2 + 2b - 15) = b^2 - 16 - b^2 - 2b + 15$.
Приведем подобные слагаемые:
$(b^2 - b^2) - 2b + (-16 + 15) = -2b - 1$.
Ответ: $-2b - 1$.

г)

Упростим выражение $(b + 8)(b - 6) - (b - 7)(b + 7)$.
Раскроем скобки в первом произведении:
$(b + 8)(b - 6) = b^2 - 6b + 8b - 48 = b^2 + 2b - 48$.
Второе произведение является разностью квадратов: $(b - 7)(b + 7) = b^2 - 7^2 = b^2 - 49$.
Вычтем второе выражение из первого:
$(b^2 + 2b - 48) - (b^2 - 49) = b^2 + 2b - 48 - b^2 + 49$.
Приведем подобные слагаемые:
$(b^2 - b^2) + 2b + (-48 + 49) = 2b + 1$.
Ответ: $2b + 1$.

д)

Упростим выражение $(c - 1)(c + 1) + (c - 9)(c + 9)$.
Оба произведения являются разностями квадратов.
$(c - 1)(c + 1) = c^2 - 1^2 = c^2 - 1$.
$(c - 9)(c + 9) = c^2 - 9^2 = c^2 - 81$.
Сложим полученные выражения:
$(c^2 - 1) + (c^2 - 81) = c^2 - 1 + c^2 - 81$.
Приведем подобные слагаемые:
$(c^2 + c^2) + (-1 - 81) = 2c^2 - 82$.
Ответ: $2c^2 - 82$.

е)

Упростим выражение $(5 + c)(c - 5) - (c - 10)(c + 10)$.
Преобразуем первое произведение, чтобы использовать формулу разности квадратов: $(c + 5)(c - 5) = c^2 - 5^2 = c^2 - 25$.
Второе произведение также является разностью квадратов: $(c - 10)(c + 10) = c^2 - 10^2 = c^2 - 100$.
Вычтем второе выражение из первого:
$(c^2 - 25) - (c^2 - 100) = c^2 - 25 - c^2 + 100$.
Приведем подобные слагаемые:
$(c^2 - c^2) + (-25 + 100) = 75$.
Ответ: $75$.

990. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
а) (х − 8)(х + 8) − (х − 12)(х + 12);
б) (y − 59)(y + 59) + (23 − y)(23 + y).

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо его упростить. Мы воспользуемся формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу к каждой части выражения $(x-8)(x+8)-(x-12)(x+12)$.

Для первого произведения $(x-8)(x+8)$, где $a=x$ и $b=8$, получаем:

$(x-8)(x+8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64$.

Для второго произведения $(x-12)(x+12)$, где $a=x$ и $b=12$, получаем:

$(x-12)(x+12) = x^2 - 12^2 = x^2 - 144$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(x^2 - 64) - (x^2 - 144)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 64 - x^2 + 144 = (x^2 - x^2) + (144 - 64) = 0 + 80 = 80$.

Значение выражения равно 80 и не зависит от значения переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 80.

б) Упростим выражение $(y-\frac{5}{9})(y+\frac{5}{9}) + (\frac{2}{3}-y)(\frac{2}{3}+y)$, используя ту же формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Для первого произведения $(y-\frac{5}{9})(y+\frac{5}{9})$, где $a=y$ и $b=\frac{5}{9}$, получаем:

$(y-\frac{5}{9})(y+\frac{5}{9}) = y^2 - (\frac{5}{9})^2 = y^2 - \frac{25}{81}$.

Для второго произведения $(\frac{2}{3}-y)(\frac{2}{3}+y)$, где $a=\frac{2}{3}$ и $b=y$, получаем:

$(\frac{2}{3}-y)(\frac{2}{3}+y) = (\frac{2}{3})^2 - y^2 = \frac{4}{9} - y^2$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(y^2 - \frac{25}{81}) + (\frac{4}{9} - y^2)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$y^2 - \frac{25}{81} + \frac{4}{9} - y^2 = (y^2 - y^2) + (\frac{4}{9} - \frac{25}{81})$.

Приведем дроби к общему знаменателю 81:

$\frac{4}{9} - \frac{25}{81} = \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 9} - \frac{25}{81} = \frac{36}{81} - \frac{25}{81} = \frac{36 - 25}{81} = \frac{11}{81}$.

Значение выражения равно $\frac{11}{81}$ и не зависит от значения переменной $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{11}{81}$.

991. Преобразуйте в многочлен:

а) Для преобразования выражения $(x - 5)^2 + 2x(x - 3)$ в многочлен, сначала раскроем скобки. Используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для первого слагаемого и распределительный закон для второго слагаемого.

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

$2x(x - 3) = 2x \cdot x - 2x \cdot 3 = 2x^2 - 6x$

Теперь сложим полученные многочлены и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 10x + 25) + (2x^2 - 6x) = x^2 - 10x + 25 + 2x^2 - 6x = (x^2 + 2x^2) + (-10x - 6x) + 25 = 3x^2 - 16x + 25$

Ответ: $3x^2 - 16x + 25$

б) Преобразуем выражение $(y + 8)^2 - 4y(y - 2)$. Раскроем квадрат суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и применим распределительный закон.

$(y + 8)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 8 + 8^2 = y^2 + 16y + 64$

$-4y(y - 2) = -4y \cdot y - 4y \cdot (-2) = -4y^2 + 8y$

Сложим результаты и приведем подобные слагаемые:

$(y^2 + 16y + 64) + (-4y^2 + 8y) = y^2 + 16y + 64 - 4y^2 + 8y = (y^2 - 4y^2) + (16y + 8y) + 64 = -3y^2 + 24y + 64$

Ответ: $-3y^2 + 24y + 64$

в) Преобразуем выражение $(a - 4)(a + 4) + (2a - 1)^2$. Первое слагаемое — это разность квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, второе — квадрат разности.

$(a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$

$(2a - 1)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$

Сложим полученные многочлены:

$(a^2 - 16) + (4a^2 - 4a + 1) = a^2 - 16 + 4a^2 - 4a + 1 = (a^2 + 4a^2) - 4a + (-16 + 1) = 5a^2 - 4a - 15$

Ответ: $5a^2 - 4a - 15$

г) Преобразуем выражение $(b - 3)(b + 3) - (b + 2)^2$. Используем формулу разности квадратов и формулу квадрата суммы.

$(b - 3)(b + 3) = b^2 - 3^2 = b^2 - 9$

$(b + 2)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = b^2 + 4b + 4$

Теперь вычтем второй многочлен из первого, не забывая поменять знаки у всех слагаемых вычитаемого:

$(b^2 - 9) - (b^2 + 4b + 4) = b^2 - 9 - b^2 - 4b - 4 = (b^2 - b^2) - 4b + (-9 - 4) = -4b - 13$

Ответ: $-4b - 13$

д) Преобразуем выражение $(2a - 5)^2 - (5a - 2)^2$. Можно раскрыть каждый квадрат по отдельности, а можно использовать формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Раскроем каждый квадрат:

$(2a - 5)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 - 20a + 25$

$(5a - 2)^2 = (5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 2 + 2^2 = 25a^2 - 20a + 4$

Вычтем второй результат из первого:

$(4a^2 - 20a + 25) - (25a^2 - 20a + 4) = 4a^2 - 20a + 25 - 25a^2 + 20a - 4 = (4a^2 - 25a^2) + (-20a + 20a) + (25 - 4) = -21a^2 + 21$

Ответ: $-21a^2 + 21$

е) Преобразуем выражение $(3b - 1)^2 + (1 - 3b)^2$. Заметим, что $(1 - 3b) = -(3b - 1)$, а квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного: $ (-x)^2 = x^2 $.

Следовательно, $(1 - 3b)^2 = (-(3b - 1))^2 = (3b - 1)^2$.

Выражение принимает вид: $(3b - 1)^2 + (3b - 1)^2 = 2(3b - 1)^2$.

Раскроем квадрат разности: $(3b - 1)^2 = (3b)^2 - 2 \cdot 3b \cdot 1 + 1^2 = 9b^2 - 6b + 1$.

Теперь умножим на 2: $2(9b^2 - 6b + 1) = 18b^2 - 12b + 2$.

Ответ: $18b^2 - 12b + 2$

ж) Преобразуем выражение $(2x + 1)^2 - (x + 7)(x - 3)$. Раскроем квадрат суммы и произведение двух скобок.

$(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$

$(x + 7)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 7 \cdot x + 7 \cdot (-3) = x^2 - 3x + 7x - 21 = x^2 + 4x - 21$

Вычтем второй многочлен из первого:

$(4x^2 + 4x + 1) - (x^2 + 4x - 21) = 4x^2 + 4x + 1 - x^2 - 4x + 21 = (4x^2 - x^2) + (4x - 4x) + (1 + 21) = 3x^2 + 22$

Ответ: $3x^2 + 22$

з) Преобразуем выражение $(3y - 2)^2 - (y - 9)(9 - y)$. Обратим внимание на вторую часть: $(9 - y) = -(y - 9)$.

Поэтому $(y - 9)(9 - y) = (y - 9) \cdot (-(y - 9)) = -(y - 9)^2$.

Исходное выражение можно переписать как: $(3y - 2)^2 - (-(y - 9)^2) = (3y - 2)^2 + (y - 9)^2$.

Теперь раскроем оба квадрата разности:

$(3y - 2)^2 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 2 + 2^2 = 9y^2 - 12y + 4$

$(y - 9)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 = y^2 - 18y + 81$

Сложим полученные многочлены:

$(9y^2 - 12y + 4) + (y^2 - 18y + 81) = 9y^2 - 12y + 4 + y^2 - 18y + 81 = (9y^2 + y^2) + (-12y - 18y) + (4 + 81) = 10y^2 - 30y + 85$

Ответ: $10y^2 - 30y + 85$

992. При каком значении х удвоенное произведение двучленов х + 2 и х − 2 меньше суммы их квадратов на 16?

Чтобы найти значение $x$, составим уравнение, исходя из условия задачи. Нам даны два двучлена: $x+2$ и $x-2$.

Сумма их квадратов равна $(x+2)^2 + (x-2)^2$.

Удвоенное произведение этих двучленов равно $2(x+2)(x-2)$.

Условие, что удвоенное произведение меньше суммы их квадратов на 16, можно записать в виде уравнения: разность между суммой квадратов и удвоенным произведением равна 16.

$(x+2)^2 + (x-2)^2 - 2(x+2)(x-2) = 16$

Левая часть этого уравнения соответствует формуле квадрата разности: $a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2$. В нашем случае $a = x+2$ и $b = x-2$.

Применим эту формулу для упрощения уравнения:

$((x+2) - (x-2))^2 = 16$

Раскроем скобки внутри внешних скобок:

$(x+2 - x + 2)^2 = 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(4)^2 = 16$

$16 = 16$

В результате преобразований мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное условие выполняется для любого значения $x$.

Ответ: при любом значении $x$.

993. Представьте в виде многочлена:

Для решения данных задач мы будем использовать формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Для этого необходимо сгруппировать слагаемые в скобках таким образом, чтобы можно было применить эту формулу.

В выражении $(x + y + 1)(x + y - 1)$ сгруппируем первые два слагаемых: $((x + y) + 1)((x + y) - 1)$.

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов, где $a = (x+y)$ и $b = 1$.

$((x+y)+1)((x+y)-1) = (x+y)^2 - 1^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(x+y)^2 - 1 = x^2 + 2xy + y^2 - 1$

Ответ: $x^2 + 2xy + y^2 - 1$

В выражении $(m + n - 3)(m + n + 3)$ сгруппируем слагаемые: $((m + n) - 3)((m + n) + 3)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (m+n)$ и $b = 3$.

$((m+n)-3)((m+n)+3) = (m+n)^2 - 3^2$

Раскроем скобки:

$(m+n)^2 - 9 = m^2 + 2mn + n^2 - 9$

Ответ: $m^2 + 2mn + n^2 - 9$

В выражении $(a - b - 5)(a - b + 5)$ сгруппируем слагаемые: $((a - b) - 5)((a - b) + 5)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (a-b)$ и $b = 5$.

$((a-b)-5)((a-b)+5) = (a-b)^2 - 5^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(a-b)^2 - 25 = a^2 - 2ab + b^2 - 25$

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2 - 25$

В выражении $(c - d + 8)(c - d - 8)$ сгруппируем слагаемые: $((c - d) + 8)((c - d) - 8)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (c-d)$ и $b = 8$.

$((c-d)+8)((c-d)-8) = (c-d)^2 - 8^2$

Раскроем скобки:

$(c-d)^2 - 64 = c^2 - 2cd + d^2 - 64$

Ответ: $c^2 - 2cd + d^2 - 64$

В выражении $(p + 2q - 3)(p - 2q - 3)$ перегруппируем слагаемые для удобства: $((p - 3) + 2q)((p - 3) - 2q)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (p-3)$ и $b = 2q$.

$((p-3)+2q)((p-3)-2q) = (p-3)^2 - (2q)^2$

Раскроем скобки:

$(p-3)^2 - (2q)^2 = (p^2 - 6p + 9) - 4q^2 = p^2 - 6p + 9 - 4q^2$

Ответ: $p^2 - 4q^2 - 6p + 9$

В выражении $(a - 3x + 6)(a + 3x + 6)$ перегруппируем слагаемые: $((a + 6) - 3x)((a + 6) + 3x)$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = (a+6)$ и $b = 3x$.

$((a+6)-3x)((a+6)+3x) = (a+6)^2 - (3x)^2$

Раскроем скобки:

$(a+6)^2 - (3x)^2 = (a^2 + 12a + 36) - 9x^2 = a^2 + 12a + 36 - 9x^2$

Ответ: $a^2 - 9x^2 + 12a + 36$

994. Решите уравнение:
а) (х − 7)² + 3 = (х − 2)(х + 2);
б) (х + 6)² − (х − 5)(х + 5) = 79;
в) (2х − 3)² − (7 − 2х)² = 2;
г) (5х − 1)² − (1 − 3х)² = 16х(х − 3).

а) $(x - 7)^2 + 3 = (x - 2)(x + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2) + 3 = x^2 - 2^2$

$x^2 - 14x + 49 + 3 = x^2 - 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - 14x + 52 = x^2 - 4$

Перенесем члены, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$x^2 - x^2 - 14x = -4 - 52$

$-14x = -56$

Разделим обе части на -14:

$x = \frac{-56}{-14}$

$x = 4$

Ответ: $4$.

б) $(x + 6)^2 - (x - 5)(x + 5) = 79$

Раскроем скобки, используя формулы: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - (x^2 - 5^2) = 79$

$(x^2 + 12x + 36) - (x^2 - 25) = 79$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$x^2 + 12x + 36 - x^2 + 25 = 79$

Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$12x + 61 = 79$

Перенесем 61 в правую часть:

$12x = 79 - 61$

$12x = 18$

Разделим обе части на 12:

$x = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$.

в) $(2x - 3)^2 - (7 - 2x)^2 = 2$

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для левой части уравнения, где $a = 2x-3$ и $b = 7-2x$.

$((2x - 3) - (7 - 2x))((2x - 3) + (7 - 2x)) = 2$

Раскроем внутренние скобки:

$(2x - 3 - 7 + 2x)(2x - 3 + 7 - 2x) = 2$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(4x - 10)(4) = 2$

Раскроем скобки:

$16x - 40 = 2$

Перенесем -40 в правую часть:

$16x = 2 + 40$

$16x = 42$

Разделим обе части на 16:

$x = \frac{42}{16} = \frac{21}{8}$

Ответ: $\frac{21}{8}$.

г) $(5x - 1)^2 - (1 - 3x)^2 = 16x(x - 3)$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности и в правой части умножением:

$( (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 ) - ( 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3x + (3x)^2 ) = 16x^2 - 48x$

$(25x^2 - 10x + 1) - (1 - 6x + 9x^2) = 16x^2 - 48x$

Раскроем скобки в левой части, изменив знаки:

$25x^2 - 10x + 1 - 1 + 6x - 9x^2 = 16x^2 - 48x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(25x^2 - 9x^2) + (-10x + 6x) + (1 - 1) = 16x^2 - 48x$

$16x^2 - 4x = 16x^2 - 48x$

Перенесем все члены в левую часть. Члены с $16x^2$ взаимно уничтожаются:

$16x^2 - 16x^2 - 4x + 48x = 0$

$44x = 0$

Разделим обе части на 44:

$x = 0$

Ответ: $0$.

995. Разложите на множители:

а) Для разложения на множители выражения $1 - a^2b^2$ воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим данное выражение в виде разности квадратов. Для этого найдем, квадратами каких выражений являются $1$ и $a^2b^2$.
$1 = 1^2$
$a^2b^2 = (ab)^2$
Подставим эти значения в формулу разности квадратов:
$1 - a^2b^2 = 1^2 - (ab)^2 = (1 - ab)(1 + ab)$.
Ответ: $(1 - ab)(1 + ab)$.

б) Для разложения на множители выражения $4x^2y^4 - 9$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим каждое слагаемое в виде квадрата.
$4x^2y^4 = (2xy^2)^2$
$9 = 3^2$
Подставим в формулу:
$4x^2y^4 - 9 = (2xy^2)^2 - 3^2 = (2xy^2 - 3)(2xy^2 + 3)$.
Ответ: $(2xy^2 - 3)(2xy^2 + 3)$.

в) Для разложения на множители выражения $0,09x^6 - 0,49y^2$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим каждое слагаемое в виде квадрата.
$0,09x^6 = (0,3x^3)^2$, так как $0,3^2 = 0,09$ и $(x^3)^2 = x^6$.
$0,49y^2 = (0,7y)^2$, так как $0,7^2 = 0,49$ и $(y)^2 = y^2$.
Подставим в формулу:
$0,09x^6 - 0,49y^2 = (0,3x^3)^2 - (0,7y)^2 = (0,3x^3 - 0,7y)(0,3x^3 + 0,7y)$.
Ответ: $(0,3x^3 - 0,7y)(0,3x^3 + 0,7y)$.

г) Для разложения на множители выражения $1,21a^2 - 0,36b^6$ воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим каждое слагаемое в виде квадрата.
$1,21a^2 = (1,1a)^2$, так как $1,1^2 = 1,21$.
$0,36b^6 = (0,6b^3)^2$, так как $0,6^2 = 0,36$ и $(b^3)^2 = b^6$.
Подставим в формулу:
$1,21a^2 - 0,36b^6 = (1,1a)^2 - (0,6b^3)^2 = (1,1a - 0,6b^3)(1,1a + 0,6b^3)$.
Ответ: $(1,1a - 0,6b^3)(1,1a + 0,6b^3)$.

д) Для разложения на множители выражения $1\frac{7}{9}x^2 - \frac{9}{16}y^2$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$.
Выражение примет вид: $\frac{16}{9}x^2 - \frac{9}{16}y^2$.
Теперь представим каждое слагаемое в виде квадрата.
$\frac{16}{9}x^2 = (\frac{4}{3}x)^2$
$\frac{9}{16}y^2 = (\frac{3}{4}y)^2$
Подставим в формулу:
$\frac{16}{9}x^2 - \frac{9}{16}y^2 = (\frac{4}{3}x)^2 - (\frac{3}{4}y)^2 = (\frac{4}{3}x - \frac{3}{4}y)(\frac{4}{3}x + \frac{3}{4}y)$.
Ответ: $(\frac{4}{3}x - \frac{3}{4}y)(\frac{4}{3}x + \frac{3}{4}y)$.

е) Для разложения на множители выражения $0,01a^2b^4 - 1$ воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим каждое слагаемое в виде квадрата.
$0,01a^2b^4 = (0,1ab^2)^2$, так как $0,1^2 = 0,01$, $(a)^2 = a^2$ и $(b^2)^2 = b^4$.
$1 = 1^2$
Подставим в формулу:
$0,01a^2b^4 - 1 = (0,1ab^2)^2 - 1^2 = (0,1ab^2 - 1)(0,1ab^2 + 1)$.
Ответ: $(0,1ab^2 - 1)(0,1ab^2 + 1)$.

996. Найдите значение выражения:

$\mathrm{а}) \frac{{ 38}^2 - {17}^2}{{72}^2 - {16}^2};$

$\mathrm{б}) \frac{39,5^2 - 3,5^2}{57,5^2 - 14,5^2};$

$\mathrm{в}) \frac{17,5^2 - 9,5^2}{131,5^2 - 3,5^2}.$

а) Для нахождения значения выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби.
Числитель: $38^2 - 17^2 = (38 - 17)(38 + 17) = 21 \cdot 55$.
Знаменатель: $72^2 - 16^2 = (72 - 16)(72 + 16) = 56 \cdot 88$.
Получаем дробь:
$\frac{21 \cdot 55}{56 \cdot 88}$
Теперь сократим полученную дробь. Можно сократить 21 и 56 на 7, а 55 и 88 на 11.
$\frac{21 \cdot 55}{56 \cdot 88} = \frac{(3 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 11)}{(8 \cdot 7) \cdot (8 \cdot 11)} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 8} = \frac{15}{64}$.
Ответ: $\frac{15}{64}$

б) Аналогично предыдущему пункту, применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Числитель: $39,5^2 - 3,5^2 = (39,5 - 3,5)(39,5 + 3,5) = 36 \cdot 43$.
Знаменатель: $57,5^2 - 14,5^2 = (57,5 - 14,5)(57,5 + 14,5) = 43 \cdot 72$.
Подставим полученные значения в дробь:
$\frac{36 \cdot 43}{43 \cdot 72}$
Сокращаем дробь на общий множитель 43, а затем на 36:
$\frac{36}{72} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Снова используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Числитель: $17,5^2 - 9,5^2 = (17,5 - 9,5)(17,5 + 9,5) = 8 \cdot 27$.
Знаменатель: $131,5^2 - 3,5^2 = (131,5 - 3,5)(131,5 + 3,5) = 128 \cdot 135$.
Получаем выражение:
$\frac{8 \cdot 27}{128 \cdot 135}$
Сократим дробь. Можно сократить 8 и 128 на 8. Также можно сократить 27 и 135 на 27 ($135 = 5 \cdot 27$).
$\frac{8 \cdot 27}{128 \cdot 135} = \frac{8 \cdot 27}{(16 \cdot 8) \cdot (5 \cdot 27)} = \frac{1}{16 \cdot 5} = \frac{1}{80}$.
Ответ: $\frac{1}{80}$

997. Представьте в виде произведения:

Для решения всех пунктов задачи используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Данное выражение представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов.
В этом случае $a^2 = x^{10}$, что можно представить как $(x^5)^2$, следовательно, $a = x^5$.
Второе слагаемое $b^2 = 1$, что можно представить как $1^2$, следовательно, $b = 1$.
Подставляем значения в формулу:
$x^{10} - 1 = (x^5)^2 - 1^2 = (x^5 - 1)(x^5 + 1)$.
Ответ: $(x^5 - 1)(x^5 + 1)$.

Представим выражение в виде разности квадратов.
Здесь $a^2 = y^{12} = (y^6)^2$, значит $a = y^6$.
И $b^2 = 16 = 4^2$, значит $b = 4$.
Применяем формулу:
$y^{12} - 16 = (y^6)^2 - 4^2 = (y^6 - 4)(y^6 + 4)$.
Обратим внимание, что первый множитель $y^6 - 4$ также является разностью квадратов, так как $y^6 = (y^3)^2$ и $4 = 2^2$.
Разложим его дальше:
$y^6 - 4 = (y^3)^2 - 2^2 = (y^3 - 2)(y^3 + 2)$.
Таким образом, окончательное разложение на множители:
$(y^3 - 2)(y^3 + 2)(y^6 + 4)$.
Ответ: $(y^3 - 2)(y^3 + 2)(y^6 + 4)$.

Это выражение является разностью квадратов.
Здесь $a^2 = a^2x^8 = (ax^4)^2$, значит $a = ax^4$.
И $b^2 = 81 = 9^2$, значит $b = 9$.
Применяем формулу разности квадратов:
$a^2x^8 - 81 = (ax^4)^2 - 9^2 = (ax^4 - 9)(ax^4 + 9)$.
Ответ: $(ax^4 - 9)(ax^4 + 9)$.

Представим выражение как разность квадратов.
Здесь $a^2 = 36 = 6^2$, значит $a = 6$.
И $b^2 = b^4y^6 = (b^2y^3)^2$, значит $b = b^2y^3$.
Подставляем в формулу:
$36 - b^4y^6 = 6^2 - (b^2y^3)^2 = (6 - b^2y^3)(6 + b^2y^3)$.
Ответ: $(6 - b^2y^3)(6 + b^2y^3)$.

Это разность квадратов.
Здесь $a^2 = 25p^4q^4 = (5p^2q^2)^2$, значит $a = 5p^2q^2$.
И $b^2 = 1 = 1^2$, значит $b = 1$.
Применяем формулу:
$25p^4q^4 - 1 = (5p^2q^2)^2 - 1^2 = (5p^2q^2 - 1)(5p^2q^2 + 1)$.
Ответ: $(5p^2q^2 - 1)(5p^2q^2 + 1)$.

Сначала перепишем выражение для удобства: $121m^8n^8 - 9$.
Это разность квадратов.
Здесь $a^2 = 121m^8n^8 = (11m^4n^4)^2$, значит $a = 11m^4n^4$.
И $b^2 = 9 = 3^2$, значит $b = 3$.
Применяем формулу:
$121m^8n^8 - 9 = (11m^4n^4)^2 - 3^2 = (11m^4n^4 - 3)(11m^4n^4 + 3)$.
Ответ: $(11m^4n^4 - 3)(11m^4n^4 + 3)$.

Вынесем общий множитель $0,01$ за скобки:
$0,01x^{16} - 0,16 = 0,01(x^{16} - 16)$.
Теперь разложим выражение в скобках $x^{16} - 16$ по формуле разности квадратов.Представим $x^{16}$ как $(x^8)^2$ и $16$ как $4^2$.
$x^{16} - 16 = (x^8)^2 - 4^2 = (x^8 - 4)(x^8 + 4)$.
Множитель $x^8 - 4$ снова является разностью квадратов, где $x^8 = (x^4)^2$ и $4 = 2^2$.
$x^8 - 4 = (x^4)^2 - 2^2 = (x^4 - 2)(x^4 + 2)$.
Подставляя обратно, получаем полное разложение:
$0,01(x^4 - 2)(x^4 + 2)(x^8 + 4)$.
Ответ: $0,01(x^4 - 2)(x^4 + 2)(x^8 + 4)$.

Это разность квадратов.
Здесь $a^2 = 1,69y^{14} = (1,3y^7)^2$, значит $a = 1,3y^7$.
И $b^2 = 1,21 = (1,1)^2$, значит $b = 1,1$.
Применяем формулу:
$1,69y^{14} - 1,21 = (1,3y^7)^2 - (1,1)^2 = (1,3y^7 - 1,1)(1,3y^7 + 1,1)$.
Ответ: $(1,3y^7 - 1,1)(1,3y^7 + 1,1)$.

Это разность квадратов.
Здесь $a^2 = \frac{4}{9}m^6 = (\frac{2}{3}m^3)^2$, значит $a = \frac{2}{3}m^3$.
И $b^2 = \frac{25}{36} = (\frac{5}{6})^2$, значит $b = \frac{5}{6}$.
Применяем формулу:
$\frac{4}{9}m^6 - \frac{25}{36} = (\frac{2}{3}m^3)^2 - (\frac{5}{6})^2 = (\frac{2}{3}m^3 - \frac{5}{6})(\frac{2}{3}m^3 + \frac{5}{6})$.
Ответ: $(\frac{2}{3}m^3 - \frac{5}{6})(\frac{2}{3}m^3 + \frac{5}{6})$.