Страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

В алгебре выражения делятся на целые и дробные.

Целое выражение
Целым называется выражение, которое состоит из чисел и переменных, соединенных знаками сложения, вычитания и умножения, а также возведения в натуральную степень. Важнейшая характеристика целого выражения — оно не содержит операции деления на переменную. Многочлены являются частным случаем целых выражений.
Пример: $5x^2y - 3x + 7$. В этом выражении используются только операции умножения, вычитания и сложения. Деления на переменную нет.
Другие примеры целых выражений: $14a(b-c)^2$, $\frac{z+5}{10}$. Обратите внимание, что деление на число (в данном случае на 10) допускается.

Выражение, не являющееся целым
Выражение, не являющееся целым, называют дробным (или дробно-рациональным) выражением. Такое выражение, помимо прочего, содержит операцию деления на выражение с переменной.
Пример: $\frac{a+b}{a-b}$. Это выражение является дробным, так как в знаменателе содержится переменная. Оно не определено при $a=b$.
Другие примеры выражений, не являющихся целыми: $\frac{8}{x} + 5y$, $\frac{c^2-d}{2c+1}$.

Ответ: пример целого выражения: $2a^2 - 3b + c$; пример выражения, не являющегося целым: $\frac{x+5}{x-2}$.

Чтобы представить целое выражение $4x(2 - x)? + (x? - 4)(x + 4)$ в виде многочлена, необходимо выполнить следующие действия в указанном порядке:

1. Преобразовать первое слагаемое $4x(2 - x)?$.
Сначала нужно возвести в квадрат двучлен $(2 - x)$, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)? = a? - 2ab + b?$. Затем полученный в результате многочлен (трёхчлен) следует умножить на одночлен $4x$.

2. Преобразовать второе слагаемое $(x? - 4)(x + 4)$.
Здесь необходимо выполнить умножение многочлена $(x? - 4)$ на многочлен $(x + 4)$, последовательно умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго.

3. Сложить полученные многочлены и привести подобные слагаемые.
Результаты, полученные после выполнения первых двух действий, нужно сложить. В итоговой сумме следует найти и сгруппировать подобные слагаемые (члены с одинаковой степенью переменной) и выполнить их сложение, чтобы получить многочлен в стандартном виде.

Теперь выполним эти действия на практике:

1) Выполним преобразование первого слагаемого:
$4x(2 - x)? = 4x(2? - 2 \cdot 2 \cdot x + x?) = 4x(4 - 4x + x?) = 4x \cdot 4 - 4x \cdot 4x + 4x \cdot x? = 16x - 16x? + 4x?$.

2) Выполним преобразование второго слагаемого:
$(x? - 4)(x + 4) = x? \cdot x + x? \cdot 4 - 4 \cdot x - 4 \cdot 4 = x? + 4x? - 4x - 16$.

3) Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$(16x - 16x? + 4x?) + (x? + 4x? - 4x - 16) = $
$= (4x? + x?) + (-16x? + 4x?) + (16x - 4x) - 16 = $
$= 5x? - 12x? + 12x - 16$.

Ответ: Для преобразования выражения в многочлен нужно: сначала в первом слагаемом раскрыть скобки, применив формулу квадрата разности, и умножить результат на $4x$; затем во втором слагаемом перемножить многочлены; и наконец, сложить полученные выражения и привести подобные слагаемые. В результате получается многочлен $5x? - 12x? + 12x - 16$.

Разложение многочлена на множители — это представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов (или одночленов). Существует несколько основных способов для этого.

1. Вынесение общего множителя за скобки

Этот способ основан на распределительном законе умножения ($ac+bc = c(a+b)$). Если все члены многочлена имеют общий множитель, его можно вынести за скобки. Это, как правило, первый способ, который стоит попробовать применить.

Пример: Разложить на множители многочлен $15a^3b^2 - 25a^2b^3$.

Находим наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 15 и 25 — это 5. Находим общие переменные в наименьшей степени: для $a^3$ и $a^2$ это $a^2$, для $b^2$ и $b^3$ это $b^2$. Таким образом, общий множитель — $5a^2b^2$. Выносим его за скобки:

$15a^3b^2 - 25a^2b^3 = 5a^2b^2 \cdot (3a) - 5a^2b^2 \cdot (5b) = 5a^2b^2(3a - 5b)$.

Ответ: $5a^2b^2(3a - 5b)$.

2. Способ группировки

Этот метод применяется, когда не все члены многочлена имеют общий множитель. Обычно он используется для многочленов с четырьмя или более членами. Суть метода в том, чтобы сгруппировать слагаемые так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, после чего появляется общий множитель для всех групп.

Пример: Разложить на множители $xy - 6 + 3x - 2y$.

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым: $(xy + 3x) + (-6 - 2y)$.

В первой группе вынесем за скобки $x$, а во второй — $-2$:

$x(y + 3) - 2(3 + y)$.

Теперь у нас есть общий множитель $(y+3)$, который мы тоже выносим за скобки:

$(y+3)(x-2)$.

Ответ: $(x-2)(y+3)$.

3. Использование формул сокращенного умножения

Многие многочлены можно разложить, применив в обратном порядке формулы сокращенного умножения. Основные из них:

• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
• Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
• Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Пример: Разложить на множители $49x^2 - 121y^4$.

Представим многочлен в виде разности квадратов: $49x^2 = (7x)^2$ и $121y^4 = (11y^2)^2$.

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=7x$ и $b=11y^2$:

$(7x - 11y^2)(7x + 11y^2)$.

Ответ: $(7x - 11y^2)(7x + 11y^2)$.

4. Разложение квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Пример: Разложить на множители $3x^2 - 4x - 4$.

Сначала решим уравнение $3x^2 - 4x - 4 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$.

Найдем корни: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

Подставляем корни в формулу разложения: $3(x - (-\frac{2}{3}))(x - 2) = 3(x + \frac{2}{3})(x - 2)$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим множитель 3 на первую скобку: $(3x + 2)(x-2)$.

Ответ: $(3x+2)(x-2)$.

5. Метод выделения полного квадрата

Этот метод заключается в преобразовании многочлена путем добавления и вычитания некоторого слагаемого так, чтобы можно было выделить полный квадрат, а затем, возможно, применить формулу разности квадратов.

Пример: Разложить на множители $x^4 + 4$.

Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $4x^2$. Добавим и вычтем его:

$x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2$.

Теперь первые три слагаемых образуют полный квадрат $(x^2+2)^2$:

$(x^2+2)^2 - 4x^2 = (x^2+2)^2 - (2x)^2$.

Получилась разность квадратов, которую раскладываем по формуле:

$(x^2+2 - 2x)(x^2+2 + 2x)$.

Ответ: $(x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$.