Страница 186 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

934. Какие из выражений 2х²y, 4а² − b(a − 3b), a²a − 3, x² − 18, 9x − 12 являются целыми?

Целым выражением называется алгебраическое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, а также возведения в натуральную степень. Важно отметить, что целые выражения не содержат операции деления на переменную или на выражение с переменной. Деление на число, не равное нулю, допускается. Проанализируем каждое из предложенных выражений.

$2x^2y$

Это выражение является одночленом. Оно представляет собой произведение числа $2$ и переменных $x$ и $y$. В нем отсутствует операция деления на переменную, следовательно, это выражение является целым.

$4a^2 - b(a - 3b)$

Раскроем скобки в данном выражении: $4a^2 - b(a - 3b) = 4a^2 - ab + 3b^2$. В результате получается многочлен, который представляет собой сумму одночленов. Он не содержит деления на переменную, а значит, является целым выражением.

$\frac{a^2}{a-3}$

Данное выражение содержит операцию деления на выражение $a-3$, которое, в свою очередь, содержит переменную $a$. Согласно определению, такое выражение не является целым. Оно относится к классу дробно-рациональных выражений.

$\frac{x^2-1}{8}$

В этом выражении присутствует деление, однако деление выполняется на число (константу) $8$, а не на переменную. Такое выражение можно записать в виде многочлена с дробными коэффициентами: $\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{8}$. Поскольку деление на переменную отсутствует, это выражение является целым.

$9x - \frac{1}{2}$

Это выражение является многочленом первой степени. Оно состоит из произведения переменной на число и константы. Деления на переменную в нем нет, следовательно, это целое выражение.

Ответ: целыми являются выражения $2x^2y$, $4a^2 - b(a - 3b)$, $\frac{x^2-1}{8}$ и $9x - \frac{1}{2}$.

935. Представьте в виде многочлена:
а) сумму многочлена х³ + 7х² + 8 и произведения многочленов х² − 6х + 4 и х − 1;
б) разность произведения многочленов а² + 7а − 4 и а − 3 и многочлена а³ + 4а² − 29а + 11.

а) Чтобы представить в виде многочлена сумму многочлена $x^3+7x^2+8$ и произведения многочленов $x^2-6x+4$ и $x-1$, необходимо сначала выполнить умножение многочленов, а затем сложить результат с первым многочленом.

1. Найдем произведение многочленов $(x^2-6x+4)$ и $(x-1)$. Для этого каждый член первого многочлена умножим на каждый член второго многочлена:

$(x^2-6x+4)(x-1) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-1) - 6x \cdot x - 6x \cdot (-1) + 4 \cdot x + 4 \cdot (-1) = x^3 - x^2 - 6x^2 + 6x + 4x - 4$

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$x^3 + (-x^2 - 6x^2) + (6x + 4x) - 4 = x^3 - 7x^2 + 10x - 4$

2. Теперь к многочлену $x^3+7x^2+8$ прибавим полученное произведение $x^3 - 7x^2 + 10x - 4$:

$(x^3+7x^2+8) + (x^3 - 7x^2 + 10x - 4) = x^3+7x^2+8 + x^3 - 7x^2 + 10x - 4$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^3+x^3) + (7x^2-7x^2) + 10x + (8-4) = 2x^3 + 0 \cdot x^2 + 10x + 4 = 2x^3 + 10x + 4$

Ответ: $2x^3 + 10x + 4$

б) Чтобы представить в виде многочлена разность произведения многочленов $a^2+7a-4$ и $a-3$ и многочлена $a^3+4a^2-29a+11$, необходимо сначала найти произведение, а затем из него вычесть второй многочлен.

1. Найдем произведение многочленов $(a^2+7a-4)$ и $(a-3)$:

$(a^2+7a-4)(a-3) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot (-3) + 7a \cdot a + 7a \cdot (-3) - 4 \cdot a - 4 \cdot (-3) = a^3 - 3a^2 + 7a^2 - 21a - 4a + 12$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-3a^2 + 7a^2) + (-21a - 4a) + 12 = a^3 + 4a^2 - 25a + 12$

2. Теперь из полученного произведения $a^3 + 4a^2 - 25a + 12$ вычтем многочлен $a^3+4a^2-29a+11$. При вычитании многочлена знаки всех его членов меняются на противоположные:

$(a^3 + 4a^2 - 25a + 12) - (a^3+4a^2-29a+11) = a^3 + 4a^2 - 25a + 12 - a^3 - 4a^2 + 29a - 11$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) + (4a^2 - 4a^2) + (-25a + 29a) + (12 - 11) = 0 \cdot a^3 + 0 \cdot a^2 + 4a + 1 = 4a + 1$

Ответ: $4a + 1$

936. Преобразуйте в многочлен:
а) 4(m − n)² + 4m(m − n);
б) 5х(х − у) − 2(у − х)²;
в) (y + 7)² − 2(у + 10)(у + 4);
г) (х − 5)(6 + 4х) − 3(1 − х)².

а) $4(m - n)^2 + 4m(m - n)$
Для преобразования выражения в многочлен раскроем скобки. Для первого слагаемого применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для второго слагаемого выполним умножение одночлена на многочлен.
$4(m^2 - 2mn + n^2) + 4m \cdot m - 4m \cdot n = 4m^2 - 8mn + 4n^2 + 4m^2 - 4mn$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(4m^2 + 4m^2) + (-8mn - 4mn) + 4n^2 = 8m^2 - 12mn + 4n^2$
Ответ: $8m^2 - 12mn + 4n^2$

б) $5x(x - y) - 2(y - x)^2$
Сначала заметим, что $(y-x)^2 = (-(x-y))^2 = (x-y)^2$. Сделаем замену в исходном выражении для удобства:
$5x(x - y) - 2(x - y)^2$
Теперь раскроем скобки. Для второго слагаемого используем формулу квадрата разности:
$5x(x) - 5x(y) - 2(x^2 - 2xy + y^2) = 5x^2 - 5xy - 2x^2 + 4xy - 2y^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(5x^2 - 2x^2) + (-5xy + 4xy) - 2y^2 = 3x^2 - xy - 2y^2$
Ответ: $3x^2 - xy - 2y^2$

в) $(y + 7)^2 - 2(y + 10)(y + 4)$
Раскроем скобки последовательно. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Для второго слагаемого перемножим два многочлена.
$(y^2 + 2 \cdot y \cdot 7 + 7^2) - 2(y \cdot y + y \cdot 4 + 10 \cdot y + 10 \cdot 4)$
$(y^2 + 14y + 49) - 2(y^2 + 4y + 10y + 40)$
Приведем подобные слагаемые во вторых скобках:
$(y^2 + 14y + 49) - 2(y^2 + 14y + 40)$
Теперь раскроем вторые скобки, умножив многочлен на $-2$:
$y^2 + 14y + 49 - 2y^2 - 28y - 80$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(y^2 - 2y^2) + (14y - 28y) + (49 - 80) = -y^2 - 14y - 31$
Ответ: $-y^2 - 14y - 31$

г) $(x - 5)(6 + 4x) - 3(1 - x)^2$
Сначала выполним умножение двух многочленов и раскроем квадрат разности.
$(x \cdot 6 + x \cdot 4x - 5 \cdot 6 - 5 \cdot 4x) - 3(1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + x^2)$
$(6x + 4x^2 - 30 - 20x) - 3(1 - 2x + x^2)$
Приведем подобные слагаемые в первых скобках:
$(4x^2 - 14x - 30) - 3(1 - 2x + x^2)$
Раскроем вторые скобки, умножив многочлен на $-3$:
$4x^2 - 14x - 30 - 3 + 6x - 3x^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 3x^2) + (-14x + 6x) + (-30 - 3) = x^2 - 8x - 33$
Ответ: $x^2 - 8x - 33$

937. Упростите выражение:
а) (3m − а)(а + 3m) − (2а + m)(3а − m);
б) (х − 4у)(х + 3у) + (х − 3у)(3у + х).

а) Для упрощения выражения $(3m - a)(a + 3m) - (2a + m)(3a - m)$ выполним действия по шагам.

1. Рассмотрим первое произведение $(3m - a)(a + 3m)$. Заметим, что поменяв слагаемые во второй скобке, мы получим $(3m - a)(3m + a)$. Это формула разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Применим эту формулу: $(3m - a)(3m + a) = (3m)^2 - a^2 = 9m^2 - a^2$.

2. Раскроем скобки во втором произведении $(2a + m)(3a - m)$:
$(2a + m)(3a - m) = 2a \cdot 3a - 2a \cdot m + m \cdot 3a - m \cdot m = 6a^2 - 2am + 3am - m^2$.
Приведем подобные слагаемые: $6a^2 + am - m^2$.

3. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:
$(9m^2 - a^2) - (6a^2 + am - m^2)$.
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:
$9m^2 - a^2 - 6a^2 - am + m^2$.

4. Приведем подобные слагаемые:
$(9m^2 + m^2) + (-a^2 - 6a^2) - am = 10m^2 - 7a^2 - am$.
Ответ: $10m^2 - 7a^2 - am$.

б) Для упрощения выражения $(x - 4y)(x + 3y) + (x - 3y)(3y + x)$ выполним действия по шагам.

1. Раскроем скобки в первом произведении $(x - 4y)(x + 3y)$:
$(x - 4y)(x + 3y) = x \cdot x + x \cdot 3y - 4y \cdot x - 4y \cdot 3y = x^2 + 3xy - 4xy - 12y^2$.
Приведем подобные слагаемые: $x^2 - xy - 12y^2$.

2. Рассмотрим второе произведение $(x - 3y)(3y + x)$. Поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(x - 3y)(x + 3y)$. Это формула разности квадратов.
Применим формулу: $(x - 3y)(x + 3y) = x^2 - (3y)^2 = x^2 - 9y^2$.

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение:
$(x^2 - xy - 12y^2) + (x^2 - 9y^2)$.
Раскроем скобки:
$x^2 - xy - 12y^2 + x^2 - 9y^2$.

4. Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 + x^2) + (-12y^2 - 9y^2) - xy = 2x^2 - 21y^2 - xy$.
Ответ: $2x^2 - xy - 21y^2$.

938. Зная, что а = 2х − 5, b = 8x + 1, с = 4х − 2, представьте в виде многочлена с переменной х выражение ab − с².

Для того чтобы представить выражение $ab - c^2$ в виде многочлена с переменной $x$, необходимо подставить в него заданные выражения для $a$, $b$ и $c$.

Дано:

$a = 2x - 5$

$b = 8x + 1$

$c = 4x - 2$

Подставляем эти выражения в $ab - c^2$:

$ab - c^2 = (2x - 5)(8x + 1) - (4x - 2)^2$

Теперь упростим полученное выражение, выполнив действия по шагам.

1. Найдем произведение $ab$. Для этого раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(2x - 5)(8x + 1) = 2x \cdot 8x + 2x \cdot 1 - 5 \cdot 8x - 5 \cdot 1 = 16x^2 + 2x - 40x - 5$

Приведем подобные слагаемые:

$16x^2 + (2x - 40x) - 5 = 16x^2 - 38x - 5$

2. Найдем $c^2$. Для этого возведем в квадрат выражение $(4x - 2)$, используя формулу квадрата разности $(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$:

$(4x - 2)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 2 + 2^2 = 16x^2 - 16x + 4$

3. Теперь подставим полученные многочлены обратно в исходное выражение $ab - c^2$ и выполним вычитание:

$ab - c^2 = (16x^2 - 38x - 5) - (16x^2 - 16x + 4)$

Раскроем скобки, изменив знаки второго многочлена на противоположные:

$16x^2 - 38x - 5 - 16x^2 + 16x - 4$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(16x^2 - 16x^2) + (-38x + 16x) + (-5 - 4)$

$0 - 22x - 9 = -22x - 9$

Таким образом, выражение $ab - c^2$ в виде многочлена с переменной $x$ имеет вид $-22x - 9$.

Ответ: $-22x - 9$.

939. Докажите, что ни при каком целом n значение выражения (2n + 1)(n + 5) − 2(n + 3)(n − 3) − (5n + 13) не делится на 6.

Для того чтобы доказать утверждение, необходимо упростить данное выражение. Для этого последовательно раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $(2n + 1)(n + 5) - 2(n + 3)(n - 3) - (5n + 13)$.

Выполним преобразования по шагам:

1. Раскроем произведение в первой части: $(2n + 1)(n + 5) = 2n \cdot n + 2n \cdot 5 + 1 \cdot n + 1 \cdot 5 = 2n^2 + 10n + n + 5 = 2n^2 + 11n + 5$.

2. Во второй части используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$: $-2(n + 3)(n - 3) = -2(n^2 - 3^2) = -2(n^2 - 9) = -2n^2 + 18$.

3. Раскроем последнюю скобку: $-(5n + 13) = -5n - 13$.

4. Теперь объединим все полученные части и приведем подобные члены:

$(2n^2 + 11n + 5) + (-2n^2 + 18) + (-5n - 13) = 2n^2 + 11n + 5 - 2n^2 + 18 - 5n - 13$

Сгруппируем слагаемые с одинаковой степенью переменной $n$:

$(2n^2 - 2n^2) + (11n - 5n) + (5 + 18 - 13) = 0 + 6n + 10 = 6n + 10$.

Итак, мы показали, что исходное выражение тождественно равно выражению $6n + 10$.

Теперь нам нужно доказать, что значение выражения $6n + 10$ не делится на 6 ни при каком целом $n$.

Рассмотрим слагаемые в выражении $6n + 10$:

• Первое слагаемое, $6n$, всегда делится на 6 без остатка, так как оно содержит множитель 6, а $n$ — целое число.
• Второе слагаемое, 10, при делении на 6 даёт остаток 4 (поскольку $10 = 6 \cdot 1 + 4$).

Сумма выражения, которое делится на 6, и числа, которое при делении на 6 даёт остаток 4, будет также давать остаток 4 при делении на 6. Мы можем это показать, представив выражение в виде:

$6n + 10 = 6n + 6 + 4 = 6(n+1) + 4$.

Поскольку $n$ — целое число, то $n+1$ также является целым числом. Обозначим $k = n+1$. Тогда наше выражение примет вид $6k + 4$. Это форма записи числа, которое при делении на 6 дает остаток 4.

Так как остаток от деления (равный 4) отличен от нуля, значение выражения $6n + 10$ никогда не делится на 6 нацело.

Ответ: Утверждение доказано, так как исходное выражение равно $6n + 10$, которое при делении на 6 всегда дает остаток 4.