Страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

898. Со станций М и N, расстояние между которыми 380 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость поезда, отправившегося со станции N, была больше скорости другого поезда на 5 км/ч. Через 2 ч после отправления поездам оставалось пройти до встречи 30 км. Найдите скорости поездов.

Пусть скорость поезда, отправившегося со станции M, равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость поезда, отправившегося со станции N, была на 5 км/ч больше, следовательно, его скорость равна $(x + 5)$ км/ч.

Оба поезда были в пути 2 часа. За это время первый поезд (из M) проехал расстояние $S_M = 2 \cdot x$ км. Второй поезд (из N) за то же время проехал расстояние $S_N = 2 \cdot (x + 5)$ км.

Изначально расстояние между станциями составляло 380 км. Через 2 часа между поездами осталось 30 км. Это значит, что суммарно они преодолели расстояние $380 - 30 = 350$ км.

Составим уравнение, приравняв сумму расстояний, пройденных обоими поездами, к 350 км: $S_M + S_N = 350$ $2x + 2(x + 5) = 350$

Теперь решим это уравнение: $2x + 2x + 10 = 350$ $4x + 10 = 350$ $4x = 350 - 10$ $4x = 340$ $x = \frac{340}{4}$ $x = 85$

Мы нашли скорость поезда, отправившегося со станции М, она составляет 85 км/ч. Теперь найдем скорость поезда, отправившегося со станции N: $x + 5 = 85 + 5 = 90$ км/ч.

Ответ: скорость поезда, отправившегося со станции М, равна 85 км/ч; скорость поезда, отправившегося со станции N, равна 90 км/ч.

899. Разложите на множители многочлен:

Для разложения данных многочленов на множители используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Применяем формулу разности квадратов к выражению $x^2 - y^2$:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Ответ: $(x - y)(x + y)$

б) Применяем формулу разности квадратов к выражению $c^2 - z^2$:

$c^2 - z^2 = (c - z)(c + z)$

Ответ: $(c - z)(c + z)$

в) Представим многочлен $a^2 - 25$ в виде разности квадратов. Так как $25 = 5^2$, получаем $a^2 - 5^2$. Теперь применяем формулу:

$a^2 - 5^2 = (a - 5)(a + 5)$

Ответ: $(a - 5)(a + 5)$

г) Представим многочлен $m^2 - 1$ в виде разности квадратов. Так как $1 = 1^2$, получаем $m^2 - 1^2$. Применяем формулу:

$m^2 - 1^2 = (m - 1)(m + 1)$

Ответ: $(m - 1)(m + 1)$

д) Представим многочлен $16 - b^2$ в виде разности квадратов. Так как $16 = 4^2$, получаем $4^2 - b^2$. Применяем формулу:

$4^2 - b^2 = (4 - b)(4 + b)$

Ответ: $(4 - b)(4 + b)$

е) Представим многочлен $100 - x^2$ в виде разности квадратов. Так как $100 = 10^2$, получаем $10^2 - x^2$. Применяем формулу:

$10^2 - x^2 = (10 - x)(10 + x)$

Ответ: $(10 - x)(10 + x)$

ж) Представим многочлен $p^2 - 400$ в виде разности квадратов. Так как $400 = 20^2$, получаем $p^2 - 20^2$. Применяем формулу:

$p^2 - 20^2 = (p - 20)(p + 20)$

Ответ: $(p - 20)(p + 20)$

з) Представим многочлен $y^2 - 0,09$ в виде разности квадратов. Так как $0,09 = (0,3)^2$, получаем $y^2 - (0,3)^2$. Применяем формулу:

$y^2 - (0,3)^2 = (y - 0,3)(y + 0,3)$

Ответ: $(y - 0,3)(y + 0,3)$

и) Представим многочлен $1,44 - a^2$ в виде разности квадратов. Так как $1,44 = (1,2)^2$, получаем $(1,2)^2 - a^2$. Применяем формулу:

$(1,2)^2 - a^2 = (1,2 - a)(1,2 + a)$

Ответ: $(1,2 - a)(1,2 + a)$

к) Представим многочлен $b^2 - \frac{4}{9}$ в виде разности квадратов. Так как $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$, получаем $b^2 - (\frac{2}{3})^2$. Применяем формулу:

$b^2 - (\frac{2}{3})^2 = (b - \frac{2}{3})(b + \frac{2}{3})$

Ответ: $(b - \frac{2}{3})(b + \frac{2}{3})$

л) Представим многочлен $\frac{9}{16} - n^2$ в виде разности квадратов. Так как $\frac{9}{16} = (\frac{3}{4})^2$, получаем $(\frac{3}{4})^2 - n^2$. Применяем формулу:

$(\frac{3}{4})^2 - n^2 = (\frac{3}{4} - n)(\frac{3}{4} + n)$

Ответ: $(\frac{3}{4} - n)(\frac{3}{4} + n)$

м) Представим многочлен $\frac{25}{49} - p^2$ в виде разности квадратов. Так как $\frac{25}{49} = (\frac{5}{7})^2$, получаем $(\frac{5}{7})^2 - p^2$. Применяем формулу:

$(\frac{5}{7})^2 - p^2 = (\frac{5}{7} - p)(\frac{5}{7} + p)$

Ответ: $(\frac{5}{7} - p)(\frac{5}{7} + p)$