Страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

849. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращённого умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Наша задача — распознать в предложенных трёхчленах одну из этих структур.

Трёхчлен $x^2 + 2xy + y^2$ полностью соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=y$.

• Первый член: $x^2$ (квадрат $x$).
• Второй член: $2xy$ (удвоенное произведение $x$ и $y$).
• Третий член: $y^2$ (квадрат $y$).

Следовательно, мы можем записать: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Ответ: $(x+y)^2$

Трёхчлен $p^2 - 2pq + q^2$ полностью соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=p$ и $b=q$.

• Первый член: $p^2$ (квадрат $p$).
• Второй член: $-2pq$ (удвоенное произведение $p$ и $q$ со знаком минус).
• Третий член: $q^2$ (квадрат $q$).

Следовательно, мы можем записать: $p^2 - 2pq + q^2 = (p-q)^2$.

Ответ: $(p-q)^2$

Рассмотрим трёхчлен $a^2 + 12a + 36$. Чтобы представить его в виде квадрата двучлена, ищем соответствие с формулой $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

• Первый член $a^2$ является квадратом $a$, поэтому $x=a$.
• Третий член $36$ является квадратом $6$, так как $6^2 = 36$, поэтому $y=6$.
• Проверяем средний член: он должен быть равен удвоенному произведению $x$ и $y$. $2xy = 2 \cdot a \cdot 6 = 12a$. Это совпадает со средним членом исходного выражения.

Таким образом, $a^2 + 12a + 36 = (a+6)^2$.

Ответ: $(a+6)^2$

Рассмотрим трёхчлен $64 + 16b + b^2$. Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

• Один из крайних членов $64$ является квадратом $8$, так как $8^2 = 64$. Пусть $x=8$.
• Другой крайний член $b^2$ является квадратом $b$. Пусть $y=b$.
• Проверяем средний член: $2xy = 2 \cdot 8 \cdot b = 16b$. Он совпадает со средним членом исходного выражения.

Следовательно, $64 + 16b + b^2 = (8+b)^2$.

Ответ: $(8+b)^2$

Рассмотрим трёхчлен $1 - 2z + z^2$. Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

• Первый член $1$ является квадратом $1$, так как $1^2 = 1$. Пусть $x=1$.
• Третий член $z^2$ является квадратом $z$. Пусть $y=z$.
• Проверяем средний член: он должен быть $-2xy$. $-2 \cdot 1 \cdot z = -2z$. Это совпадает со средним членом исходного выражения.

Следовательно, $1 - 2z + z^2 = (1-z)^2$.

Ответ: $(1-z)^2$

Рассмотрим трёхчлен $n^2 + 4n + 4$. Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

• Первый член $n^2$ является квадратом $n$. Пусть $x=n$.
• Третий член $4$ является квадратом $2$, так как $2^2=4$. Пусть $y=2$.
• Проверяем средний член: $2xy = 2 \cdot n \cdot 2 = 4n$. Это совпадает со средним членом исходного выражения.

Таким образом, $n^2 + 4n + 4 = (n+2)^2$.

Ответ: $(n+2)^2$

850. Представьте трёхчлен в виде произведения двух одинаковых множителей:

а) Чтобы представить трёхчлен $4x^2 + 12x + 9$ в виде произведения двух одинаковых множителей, необходимо распознать в нём формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. В данном выражении первый член $4x^2$ можно представить как $(2x)^2$, а третий член $9$ как $3^2$. Таким образом, можно предположить, что $a=2x$ и $b=3$. Далее проверим, соответствует ли средний член $12x$ удвоенному произведению $2ab$. $2ab = 2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x$. Поскольку средний член совпадает, исходный трёхчлен является полным квадратом суммы $(2x+3)$. Запишем его в виде произведения двух одинаковых множителей: $4x^2 + 12x + 9 = (2x+3)^2 = (2x+3)(2x+3)$. Ответ: $(2x+3)(2x+3)$.

б) Рассмотрим трёхчлен $25b^2 + 10b + 1$. Здесь также применима формула квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. Представим первый и третий члены в виде квадратов: $25b^2 = (5b)^2$ и $1 = 1^2$. Положим $a=5b$ и $b=1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 5b \cdot 1 = 10b$. Он совпадает с соответствующим членом в выражении, значит, трёхчлен является полным квадратом. $25b^2 + 10b + 1 = (5b+1)^2 = (5b+1)(5b+1)$. Ответ: $(5b+1)(5b+1)$.

в) Для трёхчлена $9x^2 - 24xy + 16y^2$ используем формулу квадрата разности, так как средний член имеет знак минус: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Определим $a$ и $b$. Первый член $9x^2 = (3x)^2$, а третий $16y^2 = (4y)^2$. Значит, $a=3x$ и $b=4y$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 4y = 24xy$. Средний член в выражении равен $-24xy$, что соответствует $-2ab$. Следовательно, $9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x-4y)^2 = (3x-4y)(3x-4y)$. Ответ: $(3x-4y)(3x-4y)$.

г) Перепишем трёхчлен $\frac{1}{4}m^2 + 4n^2 - 2mn$ в стандартном виде: $\frac{1}{4}m^2 - 2mn + 4n^2$. Применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. В данном случае $\frac{1}{4}m^2 = (\frac{1}{2}m)^2$ и $4n^2 = (2n)^2$. Положим $a=\frac{1}{2}m$ и $b=2n$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot \frac{1}{2}m \cdot 2n = 2mn$. Средний член в выражении равен $-2mn$, что соответствует $-2ab$. Таким образом, $\frac{1}{4}m^2 - 2mn + 4n^2 = (\frac{1}{2}m - 2n)^2 = (\frac{1}{2}m - 2n)(\frac{1}{2}m - 2n)$. Ответ: $(\frac{1}{2}m - 2n)(\frac{1}{2}m - 2n)$.

д) Переставим члены в выражении $10xy + 0,25x^2 + 100y^2$ для удобства в стандартный вид: $0,25x^2 + 10xy + 100y^2$. Воспользуемся формулой квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. Здесь $0,25x^2 = (0,5x)^2$ и $100y^2 = (10y)^2$. Пусть $a=0,5x$ и $b=10y$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 0,5x \cdot 10y = 1x \cdot 10y = 10xy$. Оно совпадает со средним членом. Значит, это полный квадрат. $0,25x^2 + 10xy + 100y^2 = (0,5x + 10y)^2 = (0,5x + 10y)(0,5x + 10y)$. Ответ: $(0,5x + 10y)(0,5x + 10y)$.

е) Рассмотрим трёхчлен $9a^2 - ab + \frac{1}{36}b^2$. Используем формулу квадрата разности $A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2$ (используем заглавные буквы, чтобы не путать с переменными в задаче). Здесь $9a^2 = (3a)^2$ и $\frac{1}{36}b^2 = (\frac{1}{6}b)^2$. Положим $A=3a$ и $B=\frac{1}{6}b$. Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot 3a \cdot \frac{1}{6}b = 6a \cdot \frac{1}{6}b = ab$. Средний член в выражении равен $-ab$, что соответствует $-2AB$ в формуле. Следовательно, $9a^2 - ab + \frac{1}{36}b^2 = (3a - \frac{1}{6}b)^2 = (3a - \frac{1}{6}b)(3a - \frac{1}{6}b)$. Ответ: $(3a - \frac{1}{6}b)(3a - \frac{1}{6}b)$.

851. Преобразуйте трёхчлен в квадрат двучлена:

Для преобразования трёхчленов в квадрат двучлена будем использовать формулы сокращённого умножения: формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В каждом задании мы определим два слагаемых, которые являются полными квадратами, а затем проверим, соответствует ли третье слагаемое удвоенному произведению их корней.

а) $81a^2 - 18ab + b^2$

В данном трёхчлене есть два полных квадрата: $81a^2 = (9a)^2$ и $b^2 = (b)^2$. Проверим, является ли третий член ($-18ab$) удвоенным произведением $9a$ и $b$. $2 \cdot (9a) \cdot b = 18ab$. Так как в выражении стоит знак минус, мы используем формулу квадрата разности.
$81a^2 - 18ab + b^2 = (9a)^2 - 2 \cdot (9a) \cdot b + b^2 = (9a - b)^2$.
Ответ: $(9a - b)^2$.

б) $1 + y^2 - 2y$

Переставим слагаемые в стандартном порядке: $y^2 - 2y + 1$. Здесь полные квадраты: $y^2 = (y)^2$ и $1 = 1^2$. Проверим третий член ($-2y$): $2 \cdot y \cdot 1 = 2y$. Знак минус указывает на использование формулы квадрата разности.
$y^2 - 2y + 1 = (y)^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = (y - 1)^2$.
Ответ: $(y - 1)^2$.

в) $8ab + b^2 + 16a^2$

Переставим слагаемые: $16a^2 + 8ab + b^2$. Полные квадраты: $16a^2 = (4a)^2$ и $b^2 = (b)^2$. Проверим третий член ($8ab$): $2 \cdot (4a) \cdot b = 8ab$. Знак плюс указывает на использование формулы квадрата суммы.
$16a^2 + 8ab + b^2 = (4a)^2 + 2 \cdot (4a) \cdot b + b^2 = (4a + b)^2$.
Ответ: $(4a + b)^2$.

г) $100x^2 + y^2 + 20xy$

Переставим слагаемые: $100x^2 + 20xy + y^2$. Полные квадраты: $100x^2 = (10x)^2$ и $y^2 = (y)^2$. Проверим третий член ($20xy$): $2 \cdot (10x) \cdot y = 20xy$. Знак плюс указывает на использование формулы квадрата суммы.
$100x^2 + 20xy + y^2 = (10x)^2 + 2 \cdot (10x) \cdot y + y^2 = (10x + y)^2$.
Ответ: $(10x + y)^2$.

д) $b^2 + 4a^2 - 4ab$

Переставим слагаемые: $4a^2 - 4ab + b^2$. Полные квадраты: $4a^2 = (2a)^2$ и $b^2 = (b)^2$. Проверим третий член ($-4ab$): $2 \cdot (2a) \cdot b = 4ab$. Знак минус указывает на использование формулы квадрата разности.
$4a^2 - 4ab + b^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot b + b^2 = (2a - b)^2$.
Ответ: $(2a - b)^2$.

е) $28xy + 49x^2 + 4y^2$

Переставим слагаемые: $49x^2 + 28xy + 4y^2$. Полные квадраты: $49x^2 = (7x)^2$ и $4y^2 = (2y)^2$. Проверим третий член ($28xy$): $2 \cdot (7x) \cdot (2y) = 28xy$. Знак плюс указывает на использование формулы квадрата суммы.
$49x^2 + 28xy + 4y^2 = (7x)^2 + 2 \cdot (7x) \cdot (2y) + (2y)^2 = (7x + 2y)^2$.
Ответ: $(7x + 2y)^2$.

852. Поставьте вместо знака * такой одночлен, чтобы трёхчлен можно было представить в виде квадрата двучлена:
а) * + 56a + 49;
б) 36 − 12х + * ;
в) 25a² + * + 14b²;
г) 0,01b² + * + 100с².

а) Чтобы трёхчлен $* + 56a + 49$ можно было представить в виде квадрата двучлена, он должен соответствовать формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении мы можем идентифицировать два члена этой формулы. Член $49$ является квадратом второго слагаемого, то есть $y^2 = 49$, откуда $y=7$.

Член $56a$ является удвоенным произведением первого и второго слагаемых, то есть $2xy = 56a$. Подставив известное значение $y=7$, получаем: $2 \cdot x \cdot 7 = 56a$, что равносильно $14x = 56a$.

Отсюда находим первое слагаемое: $x = \frac{56a}{14} = 4a$.

Искомый одночлен, обозначенный звёздочкой, является квадратом первого слагаемого, то есть $x^2$.

$* = x^2 = (4a)^2 = 16a^2$.

Проверка: $16a^2 + 56a + 49 = (4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot 7 + 7^2 = (4a + 7)^2$.

Ответ: $16a^2$.

б) В этом случае мы будем использовать формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В выражении $36 - 12x + *$ член $36$ является квадратом первого слагаемого, то есть $x^2 = 36$, откуда $x=6$.

Член $-12x$ является удвоенным произведением первого и второго слагаемых со знаком минус: $-2xy = -12x$.

Подставим известное значение $x=6$: $-2 \cdot 6 \cdot y = -12x$, что равносильно $-12y = -12x$.

Отсюда находим второе слагаемое: $y=x$.

Искомый одночлен $*$ является квадратом второго слагаемого $y^2$.

$* = y^2 = x^2$.

Проверка: $36 - 12x + x^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + x^2 = (6 - x)^2$.

Ответ: $x^2$.

в) Для представления трёхчлена $25a^2 + * + \frac{1}{4}b^2$ в виде квадрата двучлена воспользуемся формулой $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$.

Определим первое и второе слагаемые. Квадрат первого слагаемого: $x^2 = 25a^2$, откуда $x=5a$.

Квадрат второго слагаемого: $y^2 = \frac{1}{4}b^2$, откуда $y=\frac{1}{2}b$.

Искомый одночлен $*$ является удвоенным произведением $x$ и $y$. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Выберем положительный вариант (хотя отрицательный также является верным решением).

$* = 2xy = 2 \cdot (5a) \cdot (\frac{1}{2}b) = 5ab$.

Проверка: $25a^2 + 5ab + \frac{1}{4}b^2 = (5a)^2 + 2 \cdot 5a \cdot \frac{1}{2}b + (\frac{1}{2}b)^2 = (5a + \frac{1}{2}b)^2$.

Ответ: $5ab$.

г) Аналогично предыдущему пункту, для выражения $0.01b^2 + * + 100c^2$ используем формулу $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$.

Определим первое и второе слагаемые. Квадрат первого слагаемого: $x^2 = 0.01b^2$, откуда $x=0.1b$.

Квадрат второго слагаемого: $y^2 = 100c^2$, откуда $y=10c$.

Искомый одночлен $*$ является удвоенным произведением $x$ и $y$.

$* = 2xy = 2 \cdot (0.1b) \cdot (10c) = 2bc$.

Проверка: $0.01b^2 + 2bc + 100c^2 = (0.1b)^2 + 2 \cdot 0.1b \cdot 10c + (10c)^2 = (0.1b + 10c)^2$.

Ответ: $2bc$.

853. Впишите вместо знака * недостающие одночлены так, чтобы получилось тождество:
а) (* + 2а)² = * + 12ab + *;
б) (3х + *)² = * + * + 49у².

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу сокращенного умножения — квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

а) Рассмотрим тождество $(* + 2a)^2 = * + 12ab + *$.

В левой части мы видим квадрат суммы. Одно из слагаемых известно, назовем его $b = 2a$. Второе слагаемое, которое мы ищем, назовем $a$. В правой части нам дан средний член — удвоенное произведение слагаемых, равное $12ab$.

Используя формулу, имеем $2ab = 12ab$. Подставим известное значение $b=2a$:
$2 \cdot a \cdot (2a) = 12ab$
$4a^2 = 12ab$
Чтобы найти неизвестный одночлен $a$, разделим обе части на $4a$ (предполагая $a \neq 0$):
$a = \frac{12ab}{4a} = 3b$.

Теперь мы знаем оба слагаемых в скобках: $3b$ и $2a$. Можем найти недостающие члены в правой части тождества. Первый член — это $a^2 = (3b)^2 = 9b^2$. Третий член — это $b^2 = (2a)^2 = 4a^2$.

Таким образом, заполненное тождество имеет вид: $(3b + 2a)^2 = 9b^2 + 12ab + 4a^2$.

Ответ: $(3b + 2a)^2 = 9b^2 + 12ab + 4a^2$

б) Рассмотрим тождество $(3x + *)^2 = * + * + 49y^2$.

Здесь также используется формула квадрата суммы. В левой части известно первое слагаемое, назовем его $a = 3x$. В правой части известен последний член, который является квадратом второго слагаемого $b^2 = 49y^2$.

Найдем второе слагаемое $b$, извлекая квадратный корень:
$b = \sqrt{49y^2} = 7y$.

Теперь, зная оба слагаемых ($3x$ и $7y$), найдем недостающие члены в правой части. Первый член — это квадрат первого слагаемого: $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$. Средний член — это удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot (3x) \cdot (7y) = 42xy$.

Таким образом, заполненное тождество имеет вид: $(3x + 7y)^2 = 9x^2 + 42xy + 49y^2$.

Ответ: $(3x + 7y)^2 = 9x^2 + 42xy + 49y^2$

854. Замените знак * таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

а) Чтобы выражение $b^2 + 20b + *$ стало полным квадратом, оно должно соответствовать формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. В данном случае первый член $x^2$ соответствует $b^2$, значит $x=b$. Удвоенное произведение $2xy$ соответствует члену $20b$. Подставив $x=b$, получаем $2 \cdot b \cdot y = 20b$. Отсюда находим второй член $y = \frac{20b}{2b} = 10$. Неизвестный одночлен, обозначенный знаком *, соответствует квадрату второго члена $y^2$. Таким образом, $* = 10^2 = 100$. В результате получаем выражение $b^2 + 20b + 100$, которое является квадратом двучлена $(b+10)^2$.
Ответ: 100.

б) В выражении $* + 14b + 49$ также используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. Здесь третий член $y^2$ соответствует $49$, откуда $y = \sqrt{49} = 7$. Средний член, удвоенное произведение $2xy$, равен $14b$. Подставив $y=7$, получаем $2 \cdot x \cdot 7 = 14b$, или $14x = 14b$. Отсюда следует, что $x=b$. Неизвестный одночлен * соответствует квадрату первого члена $x^2$. Следовательно, $* = b^2$. В результате получаем выражение $b^2 + 14b + 49$, которое является квадратом двучлена $(b+7)^2$.
Ответ: $b^2$.

в) Для выражения $16x^2 + 24xy + *$ применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Первый член $a^2$ соответствует $16x^2$, значит $a = \sqrt{16x^2} = 4x$. Удвоенное произведение $2ab$ соответствует $24xy$. Подставим $a=4x$: $2 \cdot (4x) \cdot b = 24xy$, или $8xb = 24xy$. Отсюда находим второй член $b = \frac{24xy}{8x} = 3y$. Неизвестный одночлен * соответствует квадрату второго члена $b^2$. Таким образом, $* = (3y)^2 = 9y^2$. В результате получаем выражение $16x^2 + 24xy + 9y^2$, которое является квадратом двучлена $(4x+3y)^2$.
Ответ: $9y^2$.

г) В выражении $* - 42pq + 49q^2$ средний член имеет знак минус, поэтому необходимо использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Третий член $b^2$ соответствует $49q^2$, следовательно, $b = \sqrt{49q^2} = 7q$. Средний член $-2ab$ соответствует $-42pq$. Подставим $b=7q$: $-2 \cdot a \cdot (7q) = -42pq$, или $-14aq = -42pq$. Отсюда находим первый член $a = \frac{-42pq}{-14q} = 3p$. Неизвестный одночлен * соответствует квадрату первого члена $a^2$. Следовательно, $* = (3p)^2 = 9p^2$. В результате получаем выражение $9p^2 - 42pq + 49q^2$, которое является квадратом двучлена $(3p-7q)^2$.
Ответ: $9p^2$.

855. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или в виде вы − ражения, противоположного квадрату двучлена:

а) Исходное выражение: $-1 + 4a - 4a^2$. Для приведения к стандартному виду вынесем за скобки $-1$: $-(1 - 4a + 4a^2)$. Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=1$ и $y=2a$. Проверим: $x^2=1^2=1$, $y^2=(2a)^2=4a^2$ и удвоенное произведение $2xy=2 \cdot 1 \cdot 2a = 4a$. Таким образом, $1 - 4a + 4a^2 = (1-2a)^2$. Следовательно, исходное выражение можно представить в виде, противоположном квадрату двучлена.
Ответ: $-(1-2a)^2$.

б) Исходное выражение: $-42a + 9a^2 + 49$. Переставим члены трёхчлена в стандартном порядке: $9a^2 - 42a + 49$. Этот трёхчлен является полным квадратом разности и соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=3a$ и $y=7$. Проверим: $x^2=(3a)^2=9a^2$, $y^2=7^2=49$ и удвоенное произведение $2xy=2 \cdot 3a \cdot 7 = 42a$. Таким образом, выражение сворачивается в квадрат двучлена.
Ответ: $(3a-7)^2$.

в) Исходное выражение: $24ab - 16a^2 - 9b^2$. Вынесем за скобки $-1$: $-(16a^2 - 24ab + 9b^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x=4a$ и $y=3b$. Проверим: $x^2=(4a)^2=16a^2$, $y^2=(3b)^2=9b^2$ и удвоенное произведение $2xy=2 \cdot 4a \cdot 3b = 24ab$. Таким образом, $16a^2 - 24ab + 9b^2 = (4a-3b)^2$. Исходное выражение является противоположным квадрату двучлена.
Ответ: $-(4a-3b)^2$.

г) Исходное выражение: $-44ax + 121a^2 + 4x^2$. Переставим члены трёхчлена: $121a^2 - 44ax + 4x^2$. Это полный квадрат разности, соответствующий формуле $(y-z)^2 = y^2 - 2yz + z^2$. В данном случае $y=11a$ и $z=2x$. Проверим: $y^2=(11a)^2=121a^2$, $z^2=(2x)^2=4x^2$ и удвоенное произведение $2yz=2 \cdot 11a \cdot 2x = 44ax$. Таким образом, выражение можно представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: $(11a-2x)^2$.

д) Исходное выражение: $4cd - 25c^2 - 0.16d^2$. Вынесем за скобки $-1$: $-(25c^2 - 4cd + 0.16d^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x=5c$ и $y=0.4d$. Проверим: $x^2=(5c)^2=25c^2$, $y^2=(0.4d)^2=0.16d^2$ и удвоенное произведение $2xy=2 \cdot 5c \cdot 0.4d = 4cd$. Таким образом, $25c^2 - 4cd + 0.16d^2 = (5c-0.4d)^2$. Исходное выражение является противоположным квадрату двучлена.
Ответ: $-(5c-0.4d)^2$.

е) Исходное выражение: $-0.49x^2 - 1.4xy - y^2$. Вынесем за скобки $-1$: $-(0.49x^2 + 1.4xy + y^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом суммы и соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a=0.7x$ и $b=y$. Проверим: $a^2=(0.7x)^2=0.49x^2$, $b^2=y^2$ и удвоенное произведение $2ab=2 \cdot 0.7x \cdot y = 1.4xy$. Таким образом, $0.49x^2 + 1.4xy + y^2 = (0.7x+y)^2$. Исходное выражение является противоположным квадрату двучлена.
Ответ: $-(0.7x+y)^2$.