Номер 855, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

855. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или в виде вы − ражения, противоположного квадрату двучлена:

а) Исходное выражение: $-1 + 4a - 4a^2$. Для приведения к стандартному виду вынесем за скобки $-1$: $-(1 - 4a + 4a^2)$. Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=1$ и $y=2a$. Проверим: $x^2=1^2=1$, $y^2=(2a)^2=4a^2$ и удвоенное произведение $2xy=2 \cdot 1 \cdot 2a = 4a$. Таким образом, $1 - 4a + 4a^2 = (1-2a)^2$. Следовательно, исходное выражение можно представить в виде, противоположном квадрату двучлена.
Ответ: $-(1-2a)^2$.

б) Исходное выражение: $-42a + 9a^2 + 49$. Переставим члены трёхчлена в стандартном порядке: $9a^2 - 42a + 49$. Этот трёхчлен является полным квадратом разности и соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=3a$ и $y=7$. Проверим: $x^2=(3a)^2=9a^2$, $y^2=7^2=49$ и удвоенное произведение $2xy=2 \cdot 3a \cdot 7 = 42a$. Таким образом, выражение сворачивается в квадрат двучлена.
Ответ: $(3a-7)^2$.

в) Исходное выражение: $24ab - 16a^2 - 9b^2$. Вынесем за скобки $-1$: $-(16a^2 - 24ab + 9b^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x=4a$ и $y=3b$. Проверим: $x^2=(4a)^2=16a^2$, $y^2=(3b)^2=9b^2$ и удвоенное произведение $2xy=2 \cdot 4a \cdot 3b = 24ab$. Таким образом, $16a^2 - 24ab + 9b^2 = (4a-3b)^2$. Исходное выражение является противоположным квадрату двучлена.
Ответ: $-(4a-3b)^2$.

г) Исходное выражение: $-44ax + 121a^2 + 4x^2$. Переставим члены трёхчлена: $121a^2 - 44ax + 4x^2$. Это полный квадрат разности, соответствующий формуле $(y-z)^2 = y^2 - 2yz + z^2$. В данном случае $y=11a$ и $z=2x$. Проверим: $y^2=(11a)^2=121a^2$, $z^2=(2x)^2=4x^2$ и удвоенное произведение $2yz=2 \cdot 11a \cdot 2x = 44ax$. Таким образом, выражение можно представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: $(11a-2x)^2$.

д) Исходное выражение: $4cd - 25c^2 - 0.16d^2$. Вынесем за скобки $-1$: $-(25c^2 - 4cd + 0.16d^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x=5c$ и $y=0.4d$. Проверим: $x^2=(5c)^2=25c^2$, $y^2=(0.4d)^2=0.16d^2$ и удвоенное произведение $2xy=2 \cdot 5c \cdot 0.4d = 4cd$. Таким образом, $25c^2 - 4cd + 0.16d^2 = (5c-0.4d)^2$. Исходное выражение является противоположным квадрату двучлена.
Ответ: $-(5c-0.4d)^2$.

е) Исходное выражение: $-0.49x^2 - 1.4xy - y^2$. Вынесем за скобки $-1$: $-(0.49x^2 + 1.4xy + y^2)$. Выражение в скобках является полным квадратом суммы и соответствует формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a=0.7x$ и $b=y$. Проверим: $a^2=(0.7x)^2=0.49x^2$, $b^2=y^2$ и удвоенное произведение $2ab=2 \cdot 0.7x \cdot y = 1.4xy$. Таким образом, $0.49x^2 + 1.4xy + y^2 = (0.7x+y)^2$. Исходное выражение является противоположным квадрату двучлена.
Ответ: $-(0.7x+y)^2$.