Номер 859, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 11. Квадрат суммы и квадрат разности. 33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности - номер 859, страница 173.

Условие.

859. Поставьте вместо многоточия какой-либо из знаков ≥ или ≤ так, чтобы получившееся неравенство было верно при любом значении х:

а) х² − 16х + 64 ... 0;
б) 16 + 8х + х²... 0;

в) −х² − 4х − 4 ... 0;
г) −х² + 18х − 81 ... 0.

Решение 1.

а) х² − 16х + 64 = (x - 8)² ≥ 0;

б) 16 + 8х + х² = (4 + x)² ≥ 0;

в) −х² − 4х − 4 = -(x² + 4x + 4) =
= -(x + 2)² ≤ 0;

г) −х² + 18х − 81 =
= -(x² - 18x + 81) = -(x - 9)² ≤ 0.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^2 - 16x + 64 \dots 0$

Рассмотрим левую часть неравенства: $x^2 - 16x + 64$. Это выражение является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = x$ и $b = 8$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 8 = 16x$. Следовательно, выражение можно свернуть в квадрат: $x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Таким образом, $(x - 8)^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Равенство нулю достигается при $x=8$. Значит, вместо многоточия нужно поставить знак $\ge$.

Ответ: $x^2 - 16x + 64 \ge 0$

б) $16 + 8x + x^2 \dots 0$

Перепишем левую часть неравенства в стандартном виде: $x^2 + 8x + 16$. Это выражение является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a = x$ и $b = 4$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 4 = 8x$. Следовательно, выражение можно свернуть в квадрат: $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + 4)^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Равенство нулю достигается при $x=-4$. Значит, вместо многоточия нужно поставить знак $\ge$.

Ответ: $16 + 8x + x^2 \ge 0$

в) $-x^2 - 4x - 4 \dots 0$

Рассмотрим левую часть неравенства: $-x^2 - 4x - 4$. Вынесем за скобки $-1$: $-(x^2 + 4x + 4)$. Выражение в скобках, $x^2 + 4x + 4$, является полным квадратом суммы. Используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 2$, получаем: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Таким образом, исходное выражение равно $-(x+2)^2$. Так как $(x+2)^2 \ge 0$ для любого $x$, то выражение $-(x+2)^2$, умноженное на $-1$, будет всегда неположительным, то есть меньше или равно нулю. То есть, $-(x+2)^2 \le 0$ при любом значении $x$. Равенство нулю достигается при $x=-2$. Значит, вместо многоточия нужно поставить знак $\le$.

Ответ: $-x^2 - 4x - 4 \le 0$

г) $-x^2 + 18x - 81 \dots 0$

Рассмотрим левую часть неравенства: $-x^2 + 18x - 81$. Вынесем за скобки $-1$: $-(x^2 - 18x + 81)$. Выражение в скобках, $x^2 - 18x + 81$, является полным квадратом разности. Используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 9$, получаем: $x^2 - 18x + 81 = (x-9)^2$. Таким образом, исходное выражение равно $-(x-9)^2$. Так как $(x-9)^2 \ge 0$ для любого $x$, то выражение $-(x-9)^2$, умноженное на $-1$, будет всегда неположительным, то есть меньше или равно нулю. То есть, $-(x-9)^2 \le 0$ при любом значении $x$. Равенство нулю достигается при $x=9$. Значит, вместо многоточия нужно поставить знак $\le$.

Ответ: $-x^2 + 18x - 81 \le 0$