Номер 854, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

854. Замените знак * таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

а) Чтобы выражение $b^2 + 20b + *$ стало полным квадратом, оно должно соответствовать формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. В данном случае первый член $x^2$ соответствует $b^2$, значит $x=b$. Удвоенное произведение $2xy$ соответствует члену $20b$. Подставив $x=b$, получаем $2 \cdot b \cdot y = 20b$. Отсюда находим второй член $y = \frac{20b}{2b} = 10$. Неизвестный одночлен, обозначенный знаком *, соответствует квадрату второго члена $y^2$. Таким образом, $* = 10^2 = 100$. В результате получаем выражение $b^2 + 20b + 100$, которое является квадратом двучлена $(b+10)^2$.
Ответ: 100.

б) В выражении $* + 14b + 49$ также используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. Здесь третий член $y^2$ соответствует $49$, откуда $y = \sqrt{49} = 7$. Средний член, удвоенное произведение $2xy$, равен $14b$. Подставив $y=7$, получаем $2 \cdot x \cdot 7 = 14b$, или $14x = 14b$. Отсюда следует, что $x=b$. Неизвестный одночлен * соответствует квадрату первого члена $x^2$. Следовательно, $* = b^2$. В результате получаем выражение $b^2 + 14b + 49$, которое является квадратом двучлена $(b+7)^2$.
Ответ: $b^2$.

в) Для выражения $16x^2 + 24xy + *$ применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Первый член $a^2$ соответствует $16x^2$, значит $a = \sqrt{16x^2} = 4x$. Удвоенное произведение $2ab$ соответствует $24xy$. Подставим $a=4x$: $2 \cdot (4x) \cdot b = 24xy$, или $8xb = 24xy$. Отсюда находим второй член $b = \frac{24xy}{8x} = 3y$. Неизвестный одночлен * соответствует квадрату второго члена $b^2$. Таким образом, $* = (3y)^2 = 9y^2$. В результате получаем выражение $16x^2 + 24xy + 9y^2$, которое является квадратом двучлена $(4x+3y)^2$.
Ответ: $9y^2$.

г) В выражении $* - 42pq + 49q^2$ средний член имеет знак минус, поэтому необходимо использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Третий член $b^2$ соответствует $49q^2$, следовательно, $b = \sqrt{49q^2} = 7q$. Средний член $-2ab$ соответствует $-42pq$. Подставим $b=7q$: $-2 \cdot a \cdot (7q) = -42pq$, или $-14aq = -42pq$. Отсюда находим первый член $a = \frac{-42pq}{-14q} = 3p$. Неизвестный одночлен * соответствует квадрату первого члена $a^2$. Следовательно, $* = (3p)^2 = 9p^2$. В результате получаем выражение $9p^2 - 42pq + 49q^2$, которое является квадратом двучлена $(3p-7q)^2$.
Ответ: $9p^2$.