Номер 852, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. § 11. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 852, страница 172.

852. Поставьте вместо знака * такой одночлен, чтобы трёхчлен можно было представить в виде квадрата двучлена:
а) * + 56a + 49;
б) 36 − 12х + * ;
в) 25a² + * + 14b²;
г) 0,01b² + * + 100с².

а) Чтобы трёхчлен $* + 56a + 49$ можно было представить в виде квадрата двучлена, он должен соответствовать формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении мы можем идентифицировать два члена этой формулы. Член $49$ является квадратом второго слагаемого, то есть $y^2 = 49$, откуда $y=7$.

Член $56a$ является удвоенным произведением первого и второго слагаемых, то есть $2xy = 56a$. Подставив известное значение $y=7$, получаем: $2 \cdot x \cdot 7 = 56a$, что равносильно $14x = 56a$.

Отсюда находим первое слагаемое: $x = \frac{56a}{14} = 4a$.

Искомый одночлен, обозначенный звёздочкой, является квадратом первого слагаемого, то есть $x^2$.

$* = x^2 = (4a)^2 = 16a^2$.

Проверка: $16a^2 + 56a + 49 = (4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot 7 + 7^2 = (4a + 7)^2$.

Ответ: $16a^2$.

б) В этом случае мы будем использовать формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В выражении $36 - 12x + *$ член $36$ является квадратом первого слагаемого, то есть $x^2 = 36$, откуда $x=6$.

Член $-12x$ является удвоенным произведением первого и второго слагаемых со знаком минус: $-2xy = -12x$.

Подставим известное значение $x=6$: $-2 \cdot 6 \cdot y = -12x$, что равносильно $-12y = -12x$.

Отсюда находим второе слагаемое: $y=x$.

Искомый одночлен $*$ является квадратом второго слагаемого $y^2$.

$* = y^2 = x^2$.

Проверка: $36 - 12x + x^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot x + x^2 = (6 - x)^2$.

Ответ: $x^2$.

в) Для представления трёхчлена $25a^2 + * + \frac{1}{4}b^2$ в виде квадрата двучлена воспользуемся формулой $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$.

Определим первое и второе слагаемые. Квадрат первого слагаемого: $x^2 = 25a^2$, откуда $x=5a$.

Квадрат второго слагаемого: $y^2 = \frac{1}{4}b^2$, откуда $y=\frac{1}{2}b$.

Искомый одночлен $*$ является удвоенным произведением $x$ и $y$. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Выберем положительный вариант (хотя отрицательный также является верным решением).

$* = 2xy = 2 \cdot (5a) \cdot (\frac{1}{2}b) = 5ab$.

Проверка: $25a^2 + 5ab + \frac{1}{4}b^2 = (5a)^2 + 2 \cdot 5a \cdot \frac{1}{2}b + (\frac{1}{2}b)^2 = (5a + \frac{1}{2}b)^2$.

Ответ: $5ab$.

г) Аналогично предыдущему пункту, для выражения $0.01b^2 + * + 100c^2$ используем формулу $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$.

Определим первое и второе слагаемые. Квадрат первого слагаемого: $x^2 = 0.01b^2$, откуда $x=0.1b$.

Квадрат второго слагаемого: $y^2 = 100c^2$, откуда $y=10c$.

Искомый одночлен $*$ является удвоенным произведением $x$ и $y$.

$* = 2xy = 2 \cdot (0.1b) \cdot (10c) = 2bc$.

Проверка: $0.01b^2 + 2bc + 100c^2 = (0.1b)^2 + 2 \cdot 0.1b \cdot 10c + (10c)^2 = (0.1b + 10c)^2$.

Ответ: $2bc$.