Номер 853, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 11. Квадрат суммы и квадрат разности. 33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности - номер 853, страница 172.

Условие.

853. Впишите вместо знака * недостающие одночлены так, чтобы получилось тождество:
а) (* + 2а)² = * + 12ab + *;
б) (3х + *)² = * + * + 49у².

Решение 1.

а) (3b + 2а)² = 9b + 12ab + 4a²;

б) (3х + 7y)² = 9x² + 42xy + 49у².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу сокращенного умножения — квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

а) Рассмотрим тождество $(* + 2a)^2 = * + 12ab + *$.

В левой части мы видим квадрат суммы. Одно из слагаемых известно, назовем его $b = 2a$. Второе слагаемое, которое мы ищем, назовем $a$. В правой части нам дан средний член — удвоенное произведение слагаемых, равное $12ab$.

Используя формулу, имеем $2ab = 12ab$. Подставим известное значение $b=2a$:
$2 \cdot a \cdot (2a) = 12ab$
$4a^2 = 12ab$
Чтобы найти неизвестный одночлен $a$, разделим обе части на $4a$ (предполагая $a \neq 0$):
$a = \frac{12ab}{4a} = 3b$.

Теперь мы знаем оба слагаемых в скобках: $3b$ и $2a$. Можем найти недостающие члены в правой части тождества. Первый член — это $a^2 = (3b)^2 = 9b^2$. Третий член — это $b^2 = (2a)^2 = 4a^2$.

Таким образом, заполненное тождество имеет вид: $(3b + 2a)^2 = 9b^2 + 12ab + 4a^2$.

Ответ: $(3b + 2a)^2 = 9b^2 + 12ab + 4a^2$

б) Рассмотрим тождество $(3x + *)^2 = * + * + 49y^2$.

Здесь также используется формула квадрата суммы. В левой части известно первое слагаемое, назовем его $a = 3x$. В правой части известен последний член, который является квадратом второго слагаемого $b^2 = 49y^2$.

Найдем второе слагаемое $b$, извлекая квадратный корень:
$b = \sqrt{49y^2} = 7y$.

Теперь, зная оба слагаемых ($3x$ и $7y$), найдем недостающие члены в правой части. Первый член — это квадрат первого слагаемого: $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$. Средний член — это удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot (3x) \cdot (7y) = 42xy$.

Таким образом, заполненное тождество имеет вид: $(3x + 7y)^2 = 9x^2 + 42xy + 49y^2$.

Ответ: $(3x + 7y)^2 = 9x^2 + 42xy + 49y^2$