Номер 850, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. § 11. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 850, страница 172.

850. Представьте трёхчлен в виде произведения двух одинаковых множителей:

а) Чтобы представить трёхчлен $4x^2 + 12x + 9$ в виде произведения двух одинаковых множителей, необходимо распознать в нём формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. В данном выражении первый член $4x^2$ можно представить как $(2x)^2$, а третий член $9$ как $3^2$. Таким образом, можно предположить, что $a=2x$ и $b=3$. Далее проверим, соответствует ли средний член $12x$ удвоенному произведению $2ab$. $2ab = 2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x$. Поскольку средний член совпадает, исходный трёхчлен является полным квадратом суммы $(2x+3)$. Запишем его в виде произведения двух одинаковых множителей: $4x^2 + 12x + 9 = (2x+3)^2 = (2x+3)(2x+3)$. Ответ: $(2x+3)(2x+3)$.

б) Рассмотрим трёхчлен $25b^2 + 10b + 1$. Здесь также применима формула квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. Представим первый и третий члены в виде квадратов: $25b^2 = (5b)^2$ и $1 = 1^2$. Положим $a=5b$ и $b=1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 5b \cdot 1 = 10b$. Он совпадает с соответствующим членом в выражении, значит, трёхчлен является полным квадратом. $25b^2 + 10b + 1 = (5b+1)^2 = (5b+1)(5b+1)$. Ответ: $(5b+1)(5b+1)$.

в) Для трёхчлена $9x^2 - 24xy + 16y^2$ используем формулу квадрата разности, так как средний член имеет знак минус: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Определим $a$ и $b$. Первый член $9x^2 = (3x)^2$, а третий $16y^2 = (4y)^2$. Значит, $a=3x$ и $b=4y$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 4y = 24xy$. Средний член в выражении равен $-24xy$, что соответствует $-2ab$. Следовательно, $9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x-4y)^2 = (3x-4y)(3x-4y)$. Ответ: $(3x-4y)(3x-4y)$.

г) Перепишем трёхчлен $\frac{1}{4}m^2 + 4n^2 - 2mn$ в стандартном виде: $\frac{1}{4}m^2 - 2mn + 4n^2$. Применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. В данном случае $\frac{1}{4}m^2 = (\frac{1}{2}m)^2$ и $4n^2 = (2n)^2$. Положим $a=\frac{1}{2}m$ и $b=2n$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot \frac{1}{2}m \cdot 2n = 2mn$. Средний член в выражении равен $-2mn$, что соответствует $-2ab$. Таким образом, $\frac{1}{4}m^2 - 2mn + 4n^2 = (\frac{1}{2}m - 2n)^2 = (\frac{1}{2}m - 2n)(\frac{1}{2}m - 2n)$. Ответ: $(\frac{1}{2}m - 2n)(\frac{1}{2}m - 2n)$.

д) Переставим члены в выражении $10xy + 0,25x^2 + 100y^2$ для удобства в стандартный вид: $0,25x^2 + 10xy + 100y^2$. Воспользуемся формулой квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. Здесь $0,25x^2 = (0,5x)^2$ и $100y^2 = (10y)^2$. Пусть $a=0,5x$ и $b=10y$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 0,5x \cdot 10y = 1x \cdot 10y = 10xy$. Оно совпадает со средним членом. Значит, это полный квадрат. $0,25x^2 + 10xy + 100y^2 = (0,5x + 10y)^2 = (0,5x + 10y)(0,5x + 10y)$. Ответ: $(0,5x + 10y)(0,5x + 10y)$.

е) Рассмотрим трёхчлен $9a^2 - ab + \frac{1}{36}b^2$. Используем формулу квадрата разности $A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2$ (используем заглавные буквы, чтобы не путать с переменными в задаче). Здесь $9a^2 = (3a)^2$ и $\frac{1}{36}b^2 = (\frac{1}{6}b)^2$. Положим $A=3a$ и $B=\frac{1}{6}b$. Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot 3a \cdot \frac{1}{6}b = 6a \cdot \frac{1}{6}b = ab$. Средний член в выражении равен $-ab$, что соответствует $-2AB$ в формуле. Следовательно, $9a^2 - ab + \frac{1}{36}b^2 = (3a - \frac{1}{6}b)^2 = (3a - \frac{1}{6}b)(3a - \frac{1}{6}b)$. Ответ: $(3a - \frac{1}{6}b)(3a - \frac{1}{6}b)$.