Номер 849, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 11. Квадрат суммы и квадрат разности. 33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности - номер 849, страница 172.

Условие.

849. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

а) х² + 2ху − 1 − у²;
б) p² − 2pq + q²;

в) а² + 12а + 36;
г) 64 + 16b + b²;

д) 1 − 2z + z²;
e) n² + 4n + 4.

Решение 1.

а) х² + 2ху − 1 − у² = (x + y)²;

б) p² − 2pq + q² = (p - q)²;

в) а² + 12а + 36 =
= a² + 2 ⋅ 6 ⋅ a + 6² = (a + 6)²;

г) 64 + 16b + b² =
= 8² + 2 ⋅ 8 ⋅ b + b² = (8 + b)²;

д) 1 − 2z + z² =
= 1² - 2 ⋅ 1 ⋅ z + z² = (1 - z)²;

e) n² + 4n + 4 =
= n² + 2 ⋅ 2n + 2² = (n + 2)².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращённого умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Наша задача — распознать в предложенных трёхчленах одну из этих структур.

а)

Трёхчлен $x^2 + 2xy + y^2$ полностью соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=y$.

• Первый член: $x^2$ (квадрат $x$).
• Второй член: $2xy$ (удвоенное произведение $x$ и $y$).
• Третий член: $y^2$ (квадрат $y$).

Следовательно, мы можем записать: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

Ответ: $(x+y)^2$

б)

Трёхчлен $p^2 - 2pq + q^2$ полностью соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=p$ и $b=q$.

• Первый член: $p^2$ (квадрат $p$).
• Второй член: $-2pq$ (удвоенное произведение $p$ и $q$ со знаком минус).
• Третий член: $q^2$ (квадрат $q$).

Следовательно, мы можем записать: $p^2 - 2pq + q^2 = (p-q)^2$.

Ответ: $(p-q)^2$

в)

Рассмотрим трёхчлен $a^2 + 12a + 36$. Чтобы представить его в виде квадрата двучлена, ищем соответствие с формулой $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

• Первый член $a^2$ является квадратом $a$, поэтому $x=a$.
• Третий член $36$ является квадратом $6$, так как $6^2 = 36$, поэтому $y=6$.
• Проверяем средний член: он должен быть равен удвоенному произведению $x$ и $y$. $2xy = 2 \cdot a \cdot 6 = 12a$. Это совпадает со средним членом исходного выражения.

Таким образом, $a^2 + 12a + 36 = (a+6)^2$.

Ответ: $(a+6)^2$

г)

Рассмотрим трёхчлен $64 + 16b + b^2$. Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

• Один из крайних членов $64$ является квадратом $8$, так как $8^2 = 64$. Пусть $x=8$.
• Другой крайний член $b^2$ является квадратом $b$. Пусть $y=b$.
• Проверяем средний член: $2xy = 2 \cdot 8 \cdot b = 16b$. Он совпадает со средним членом исходного выражения.

Следовательно, $64 + 16b + b^2 = (8+b)^2$.

Ответ: $(8+b)^2$

д)

Рассмотрим трёхчлен $1 - 2z + z^2$. Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

• Первый член $1$ является квадратом $1$, так как $1^2 = 1$. Пусть $x=1$.
• Третий член $z^2$ является квадратом $z$. Пусть $y=z$.
• Проверяем средний член: он должен быть $-2xy$. $-2 \cdot 1 \cdot z = -2z$. Это совпадает со средним членом исходного выражения.

Следовательно, $1 - 2z + z^2 = (1-z)^2$.

Ответ: $(1-z)^2$

е)

Рассмотрим трёхчлен $n^2 + 4n + 4$. Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

• Первый член $n^2$ является квадратом $n$. Пусть $x=n$.
• Третий член $4$ является квадратом $2$, так как $2^2=4$. Пусть $y=2$.
• Проверяем средний член: $2xy = 2 \cdot n \cdot 2 = 4n$. Это совпадает со средним членом исходного выражения.

Таким образом, $n^2 + 4n + 4 = (n+2)^2$.

Ответ: $(n+2)^2$