Номер 842, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

842. При каком значении х:
а) квадрат двучлена х + 1 на 120 больше квадрата двучлена х − 3;
б) квадрат двучлена 2х + 10 в 4 раза больше квадрата двучлена х − 5?

а)

По условию задачи, квадрат двучлена $x+1$ на 120 больше квадрата двучлена $x-3$. Это можно записать в виде уравнения:

$(x+1)^2 = (x-3)^2 + 120$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 120$

$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 9 + 120$

Упростим правую часть уравнения:

$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 129$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$x^2 - x^2 + 2x + 6x = 129 - 1$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$8x = 128$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:

$x = \frac{128}{8}$

$x = 16$

Ответ: $16$.

б)

По условию задачи, квадрат двучлена $2x+10$ в 4 раза больше квадрата двучлена $x-5$. Составим соответствующее уравнение:

$(2x+10)^2 = 4 \cdot (x-5)^2$

Раскроем скобки, применяя те же формулы сокращенного умножения:

$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 10 + 10^2 = 4 \cdot (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2)$

$4x^2 + 40x + 100 = 4(x^2 - 10x + 25)$

Раскроем скобки в правой части, умножив каждый член в скобках на 4:

$4x^2 + 40x + 100 = 4x^2 - 40x + 100$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$4x^2 - 4x^2 + 40x + 40x = 100 - 100$

Приведем подобные слагаемые:

$80x = 0$

Разделим обе части на 80, чтобы найти $x$:

$x = \frac{0}{80}$

$x = 0$

Ответ: $0$.