Номер 837, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 11. Квадрат суммы и квадрат разности. 32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений - номер 837, страница 170.

Условие.

837. Представьте в виде многочлена выражение:

Решение 1.

а) 7(4a - 1)² = 7(16a² - 8a + 1) =
= 112a² - 56a + 7;

б) -3(5y - x)² =
= -3(25y² - 10xy + x²) =
= -75y² + 30xy - 3x²;

$\mathbf{в}\mathbf{)} -10 {\left(\frac{1}{2}\mathrm{b}+2\right)}^2=$

$=-10 · \left(\frac{1}{4}{\mathrm{b}}^2+2\mathrm{b}+4\right)=$

$=-2,5{\mathrm{b}}^2-20\mathrm{b}-40;$

г) 3(a - 1)² + 8a =
= 3(a² - 2a + 1) + 8a =
= 3a² - 6a + 3 + 8a =
= 3a² + 2a + 3;

д) 9c² - 4 + 6(c - 2)² =
= 9c² - 4 + 6(c² - 4c + 4) =
= 9c² - 4 + 6c² - 24c + 24 =
= 15c² - 24c + 20;

е) 10ab - 4(2a - b)² + 6b² =
= 10ab - 4(4a² - 4ab + b²) + 6b² =
= 10ab - 16a² + 16ab - 4b² + 6b² =
= -16a² + 26ab + 2b².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $7(4a - 1)^2$ в виде многочлена, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$7(4a - 1)^2 = 7((4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot 1 + 1^2) = 7(16a^2 - 8a + 1)$.
Теперь умножим каждый член многочлена в скобках на 7:
$7 \cdot 16a^2 - 7 \cdot 8a + 7 \cdot 1 = 112a^2 - 56a + 7$.
Ответ: $112a^2 - 56a + 7$.

б) Раскроем скобки в выражении $-3(5y - x)^2$ по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$-3(5y - x)^2 = -3((5y)^2 - 2 \cdot 5y \cdot x + x^2) = -3(25y^2 - 10xy + x^2)$.
Умножим многочлен в скобках на -3:
$-3 \cdot 25y^2 - 3 \cdot (-10xy) - 3 \cdot x^2 = -75y^2 + 30xy - 3x^2$.
Запишем в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной $x$):
$-3x^2 + 30xy - 75y^2$.
Ответ: $-3x^2 + 30xy - 75y^2$.

в) Для выражения $-10(\frac{1}{2}b + 2)^2$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$-10(\frac{1}{2}b + 2)^2 = -10((\frac{1}{2}b)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}b \cdot 2 + 2^2) = -10(\frac{1}{4}b^2 + 2b + 4)$.
Умножим каждый член на -10:
$-10 \cdot \frac{1}{4}b^2 - 10 \cdot 2b - 10 \cdot 4 = -\frac{10}{4}b^2 - 20b - 40 = -\frac{5}{2}b^2 - 20b - 40$.
Это можно записать и с десятичной дробью: $-2.5b^2 - 20b - 40$.
Ответ: $-\frac{5}{2}b^2 - 20b - 40$.

г) Упростим выражение $3(a - 1)^2 + 8a$. Сначала раскроем квадрат разности:
$(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$.
Теперь подставим это в исходное выражение и раскроем скобки:
$3(a^2 - 2a + 1) + 8a = 3a^2 - 6a + 3 + 8a$.
Приведем подобные слагаемые:
$3a^2 + (-6a + 8a) + 3 = 3a^2 + 2a + 3$.
Ответ: $3a^2 + 2a + 3$.

д) Представим в виде многочлена $9c^2 - 4 + 6(c - 2)^2$. Начнем с раскрытия скобок:
$6(c - 2)^2 = 6(c^2 - 2 \cdot c \cdot 2 + 2^2) = 6(c^2 - 4c + 4) = 6c^2 - 24c + 24$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$9c^2 - 4 + 6c^2 - 24c + 24$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(9c^2 + 6c^2) - 24c + (-4 + 24) = 15c^2 - 24c + 20$.
Ответ: $15c^2 - 24c + 20$.

е) Упростим выражение $10ab - 4(2a - b)^2 + 6b^2$. Раскроем квадрат разности:
$(2a - b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$.
Подставим в исходное выражение и раскроем скобки, умножая на -4:
$10ab - 4(4a^2 - 4ab + b^2) + 6b^2 = 10ab - 16a^2 + 16ab - 4b^2 + 6b^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$-16a^2 + (10ab + 16ab) + (-4b^2 + 6b^2) = -16a^2 + 26ab + 2b^2$.
Ответ: $-16a^2 + 26ab + 2b^2$.