Номер 833, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

833. Упростите выражение:

а) $(x - 3)^2 + x(x + 9)$

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Первое слагаемое $(x-3)^2$ раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Второе слагаемое $x(x+9)$ раскроем, используя распределительный закон умножения $a(b+c) = ab + ac$.

1. Раскрываем квадрат разности:
$(x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.

2. Раскрываем скобки во втором слагаемом:
$x(x + 9) = x \cdot x + x \cdot 9 = x^2 + 9x$.

3. Подставляем полученные выражения в исходное и приводим подобные слагаемые:
$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 9x) = x^2 - 6x + 9 + x^2 + 9x = (x^2 + x^2) + (-6x + 9x) + 9 = 2x^2 + 3x + 9$.

Ответ: $2x^2 + 3x + 9$.

б) $(2a + 5)^2 - 5(4a + 5)$

Упростим выражение, раскрыв скобки. Первое слагаемое $(2a+5)^2$ — это квадрат суммы, который раскрывается по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Второе слагаемое $-5(4a+5)$ раскроем по распределительному закону.

1. Раскрываем квадрат суммы:
$(2a + 5)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 + 20a + 25$.

2. Раскрываем скобки во втором слагаемом:
$-5(4a + 5) = -5 \cdot 4a - 5 \cdot 5 = -20a - 25$.

3. Складываем полученные выражения и приводим подобные слагаемые:
$(4a^2 + 20a + 25) + (-20a - 25) = 4a^2 + 20a + 25 - 20a - 25 = 4a^2 + (20a - 20a) + (25 - 25) = 4a^2$.

Ответ: $4a^2$.

в) $9b(b - 1) - (3b + 2)^2$

Для упрощения раскроем скобки в обоих членах выражения. Первый член $9b(b-1)$ упростим с помощью распределительного закона. Второй член $(3b+2)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы, учитывая знак минус перед скобкой.

1. Раскрываем скобки в первом члене:
$9b(b - 1) = 9b \cdot b - 9b \cdot 1 = 9b^2 - 9b$.

2. Раскрываем квадрат суммы:
$(3b + 2)^2 = (3b)^2 + 2 \cdot 3b \cdot 2 + 2^2 = 9b^2 + 12b + 4$.

3. Подставляем результаты в исходное выражение и приводим подобные слагаемые. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:
$(9b^2 - 9b) - (9b^2 + 12b + 4) = 9b^2 - 9b - 9b^2 - 12b - 4 = (9b^2 - 9b^2) + (-9b - 12b) - 4 = -21b - 4$.

Ответ: $-21b - 4$.

г) $(b - 4)^2 + (b - 1)(2 - b)$

Упростим выражение, раскрыв обе скобки. Первую — по формуле квадрата разности, вторую — путем перемножения двучленов.

1. Раскрываем квадрат разности:
$(b - 4)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = b^2 - 8b + 16$.

2. Перемножаем двучлены $(b - 1)$ и $(2 - b)$:
$(b - 1)(2 - b) = b \cdot 2 + b \cdot (-b) - 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-b) = 2b - b^2 - 2 + b = -b^2 + 3b - 2$.

3. Складываем полученные многочлены и приводим подобные слагаемые:
$(b^2 - 8b + 16) + (-b^2 + 3b - 2) = b^2 - 8b + 16 - b^2 + 3b - 2 = (b^2 - b^2) + (-8b + 3b) + (16 - 2) = -5b + 14$.

Ответ: $14 - 5b$.

д) $(a + 3)(5 - a) - (a - 1)^2$

Для упрощения этого выражения сначала перемножим двучлены, а затем раскроем квадрат разности, учитывая знак минус перед ним.

1. Перемножаем двучлены $(a + 3)$ и $(5 - a)$:
$(a + 3)(5 - a) = a \cdot 5 + a \cdot (-a) + 3 \cdot 5 + 3 \cdot (-a) = 5a - a^2 + 15 - 3a = -a^2 + 2a + 15$.

2. Раскрываем квадрат разности:
$(a - 1)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 - 2a + 1$.

3. Вычитаем из первого результата второй и приводим подобные слагаемые:
$(-a^2 + 2a + 15) - (a^2 - 2a + 1) = -a^2 + 2a + 15 - a^2 + 2a - 1 = (-a^2 - a^2) + (2a + 2a) + (15 - 1) = -2a^2 + 4a + 14$.

Ответ: $-2a^2 + 4a + 14$.

е) $(5 + 2y)(y - 3) - (5 - 2y)^2$

Упростим выражение, последовательно раскрыв скобки: сначала произведение двучленов, затем квадрат разности.

1. Перемножаем двучлены $(5 + 2y)$ и $(y - 3)$:
$(5 + 2y)(y - 3) = 5 \cdot y + 5 \cdot (-3) + 2y \cdot y + 2y \cdot (-3) = 5y - 15 + 2y^2 - 6y = 2y^2 - y - 15$.

2. Раскрываем квадрат разности $(5 - 2y)^2$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$(5 - 2y)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2y + (2y)^2 = 25 - 20y + 4y^2$.

3. Подставляем полученные выражения в исходное и приводим подобные слагаемые:
$(2y^2 - y - 15) - (25 - 20y + 4y^2) = 2y^2 - y - 15 - 25 + 20y - 4y^2 = (2y^2 - 4y^2) + (-y + 20y) + (-15 - 25) = -2y^2 + 19y - 40$.

Ответ: $-2y^2 + 19y - 40$.