Номер 830, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 11. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 830, страница 169.

Условие.

830. Замените знак * одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы равенство $(* + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$ стало тождеством, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Рассмотрим правую часть равенства: $a^2 + 4ab + 4b^2$.
Первый член $a^2$ — это квадрат одночлена $a$.
Третий член $4b^2$ — это квадрат одночлена $2b$, так как $(2b)^2 = 4b^2$.
Второй член $4ab$ — это удвоенное произведение одночленов $a$ и $2b$: $2 \cdot a \cdot 2b = 4ab$.
Следовательно, правая часть является полным квадратом суммы: $a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$.
Теперь исходное равенство можно записать как $(* + 2b)^2 = (a + 2b)^2$. Отсюда очевидно, что искомый одночлен, скрытый за знаком *, равен $a$.
Ответ: $a$.

б) Рассмотрим равенство $(3x + *)^2 = 9x^2 + 6ax + a^2$. Снова применяем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Правая часть $9x^2 + 6ax + a^2$ — это полный квадрат.
Первый член $9x^2$ — это квадрат $3x$, так как $(3x)^2 = 9x^2$.
Третий член $a^2$ — это квадрат $a$.
Проверим средний член: удвоенное произведение $3x$ и $a$ равно $2 \cdot 3x \cdot a = 6ax$, что совпадает со средним членом в правой части.
Таким образом, $9x^2 + 6ax + a^2 = (3x + a)^2$.
Сравнивая левую и правую части в виде $(3x + *)^2 = (3x + a)^2$, заключаем, что $*$ — это одночлен $a$.
Ответ: $a$.

в) Дано равенство $(* - 2m)^2 = 100 - 40m + 4m^2$. Здесь используется формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Проанализируем правую часть $100 - 40m + 4m^2$.
Первый член $100$ — это квадрат числа $10$, так как $10^2 = 100$.
Третий член $4m^2$ — это квадрат одночлена $2m$, так как $(2m)^2 = 4m^2$.
Средний член $-40m$ — это удвоенное произведение $10$ и $2m$ со знаком минус: $-2 \cdot 10 \cdot 2m = -40m$.
Значит, правая часть является полным квадратом разности: $100 - 40m + 4m^2 = (10 - 2m)^2$.
Исходное равенство принимает вид $(* - 2m)^2 = (10 - 2m)^2$. Отсюда следует, что $*$ равен $10$.
Ответ: $10$.

г) В равенстве $(* - 9c)^2 = 36a^4 - 108a^2c + 81c^2$ используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Правая часть $36a^4 - 108a^2c + 81c^2$ представляет собой полный квадрат.
Первый член $36a^4$ — это квадрат одночлена $6a^2$, так как $(6a^2)^2 = 36a^4$.
Третий член $81c^2$ — это квадрат одночлена $9c$, так как $(9c)^2 = 81c^2$.
Проверим средний член: $-2 \cdot (6a^2) \cdot (9c) = -108a^2c$. Он совпадает со средним членом в правой части.
Таким образом, $36a^4 - 108a^2c + 81c^2 = (6a^2 - 9c)^2$.
Приравнивая левую и правую части, получаем $(* - 9c)^2 = (6a^2 - 9c)^2$. Следовательно, $*$ — это $6a^2$.
Ответ: $6a^2$.

д) В равенстве $(5y + *)^2 = 25y^2 + 4x^3y + 0,16x^6$ снова применяем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Рассмотрим правую часть $25y^2 + 4x^3y + 0,16x^6$.
Первый член $25y^2$ — это квадрат $5y$.
Третий член $0,16x^6$ — это квадрат одночлена $0,4x^3$, так как $(0,4x^3)^2 = 0,16x^6$.
Средний член $4x^3y$ должен быть удвоенным произведением $5y$ и $0,4x^3$. Проверим: $2 \cdot (5y) \cdot (0,4x^3) = 10y \cdot 0,4x^3 = 4x^3y$. Это соответствует действительности.
Значит, правая часть равна $(5y + 0,4x^3)^2$.
Сравнивая с левой частью $(5y + *)^2$, видим, что $*$ равен $0,4x^3$.
Ответ: $0,4x^3$.

е) Дано равенство $(3a + 2,5b)^2 = 9a^2 + 6,25b^2 + *$. В этом случае нужно найти недостающий член в разложении квадрата суммы.
Воспользуемся формулой $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В левой части $x = 3a$ и $y = 2,5b$.
Раскроем скобки:
$(3a + 2,5b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot (2,5b) + (2,5b)^2$
$= 9a^2 + 15ab + 6,25b^2$.
Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства: $9a^2 + 15ab + 6,25b^2 = 9a^2 + 6,25b^2 + *$.
Видно, что недостающий член (одночлен) $*$ — это $15ab$.
Ответ: $15ab$.