Страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

821. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) (−х + 5)²; б) (−z − 2)²; в) (−n + 4)²; г) (−m − 10)².

а) Для преобразования выражения $(-x + 5)^2$ в многочлен, воспользуемся свойством, что $(-A)^2 = A^2$. Вынесем знак минус за скобки, поменяв знаки слагаемых внутри:
$(-x + 5)^2 = (-(x - 5))^2 = (x - 5)^2$.
Теперь применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = x$ и $b = 5$:
$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$.
Ответ: $x^2 - 10x + 25$

б) Для преобразования выражения $(-z - 2)^2$ в многочлен, вынесем знак минус за скобки:
$(-z - 2)^2 = (-(z + 2))^2 = (z + 2)^2$.
Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = z$ и $b = 2$:
$(z + 2)^2 = z^2 + 2 \cdot z \cdot 2 + 2^2 = z^2 + 4z + 4$.
Ответ: $z^2 + 4z + 4$

в) Для преобразования выражения $(-n + 4)^2$ в многочлен, вынесем знак минус за скобки:
$(-n + 4)^2 = (-(n - 4))^2 = (n - 4)^2$.
Применим формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = n$ и $b = 4$:
$(n - 4)^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot 4 + 4^2 = n^2 - 8n + 16$.
Ответ: $n^2 - 8n + 16$

г) Для преобразования выражения $(-m - 10)^2$ в многочлен, вынесем знак минус за скобки:
$(-m - 10)^2 = (-(m + 10))^2 = (m + 10)^2$.
Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = m$ и $b = 10$:
$(m + 10)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 10 + 10^2 = m^2 + 20m + 100$.
Ответ: $m^2 + 20m + 100$

822. Из выражений (y − х)², (y + х)², (−y + х)², (−х + y)², (−х − y)² выберите те, которые тождественно равны выражению:

a)(х + y)²; б)(х − y)².

а) Выберем выражения, которые тождественно равны выражению $(x+y)^2$. Для этого будем последовательно анализировать каждое из предложенных выражений, используя основные алгебраические свойства.

1. Выражение $(y+x)^2$.
На основании переместительного (коммутативного) закона сложения, $y+x = x+y$.
Следовательно, выражение $(y+x)^2$ тождественно равно $(x+y)^2$.

2. Выражение $(-x-y)^2$.
Вынесем общий множитель $-1$ за скобки внутри выражения: $(-x-y) = -(x+y)$.
Тогда $(-x-y)^2 = (-(x+y))^2$.
Так как квадрат любого выражения равен квадрату противоположного ему выражения (свойство $(-a)^2 = a^2$), получаем, что $(-(x+y))^2 = (x+y)^2$.
Следовательно, выражение $(-x-y)^2$ тождественно равно $(x+y)^2$.

Остальные выражения не равны $(x+y)^2$. Например, $(y-x)^2 = y^2 - 2xy + x^2$, что не равно $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ (кроме случаев, когда $x=0$ или $y=0$).

Ответ: $(y+x)^2, (-x-y)^2$.

б) Выберем выражения, которые тождественно равны выражению $(x-y)^2$.

1. Выражение $(y-x)^2$.
Вынесем общий множитель $-1$ за скобки: $(y-x) = -(x-y)$.
Тогда $(y-x)^2 = (-(x-y))^2$.
Используя свойство $(-a)^2 = a^2$, получаем $(-(x-y))^2 = (x-y)^2$.
Следовательно, выражение $(y-x)^2$ тождественно равно $(x-y)^2$.

2. Выражение $(-y+x)^2$.
Используя переместительный закон сложения, поменяем слагаемые местами: $-y+x = x-y$.
Следовательно, выражение $(-y+x)^2$ тождественно равно $(x-y)^2$.

3. Выражение $(-x+y)^2$.
Используя переместительный закон сложения, поменяем слагаемые местами: $-x+y = y-x$.
Таким образом, $(-x+y)^2 = (y-x)^2$.
Как было показано в пункте 1, выражение $(y-x)^2$ тождественно равно $(x-y)^2$. Значит, и $(-x+y)^2$ тождественно равно $(x-y)^2$.

Ответ: $(y-x)^2, (-y+x)^2, (-x+y)^2$.

823. Докажите тождество:
а) (a − b)² = (b − a)²;
б) (−a − b)² = (a + b)².

а) Чтобы доказать тождество $(a - b)^2 = (b - a)^2$, преобразуем правую часть равенства. Для этого в выражении, стоящем в скобках, вынесем за скобки множитель $-1$.

$(b - a) = -(a - b)$

Теперь подставим полученное выражение в правую часть исходного тождества:

$(b - a)^2 = (-(a - b))^2$

Квадрат любого числа равен квадрату числа, ему противоположного. Это можно показать, используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$:

$(-(a - b))^2 = (-1)^2 \cdot (a - b)^2 = 1 \cdot (a - b)^2 = (a - b)^2$

Мы получили, что правая часть тождества равна левой части: $(a - b)^2 = (a - b)^2$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(-a - b)^2 = (a + b)^2$, преобразуем левую часть равенства. В выражении, стоящем в скобках, вынесем за скобки множитель $-1$.

$(-a - b) = -(a + b)$

Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$(-a - b)^2 = (-(a + b))^2$

Используя то же свойство, что и в пункте а), а именно что квадрат числа равен квадрату противоположного ему числа, получаем:

$(-(a + b))^2 = (-1)^2 \cdot (a + b)^2 = 1 \cdot (a + b)^2 = (a + b)^2$

Мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $(a + b)^2 = (a + b)^2$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

824. Представьте в виде многочлена квадрат двучлена:

Для решения данной задачи используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Также полезно помнить, что $(-a-b)^2 = (-(a+b))^2 = (a+b)^2$ и $(-a+b)^2 = (b-a)^2$.

а)

Представим выражение $(-9a + 4b)^2$ как $(4b - 9a)^2$ и применим формулу квадрата разности.

$(4b - 9a)^2 = (4b)^2 - 2 \cdot 4b \cdot 9a + (9a)^2 = 16b^2 - 72ab + 81a^2$.

Запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степени переменной $a$:

$(-9a + 4b)^2 = 81a^2 - 72ab + 16b^2$.

Ответ: $81a^2 - 72ab + 16b^2$.

б)

В выражении $(-11x - 7y)^2$ вынесем знак минус за скобки: $(- (11x + 7y))^2 = (11x + 7y)^2$.

Применим формулу квадрата суммы:

$(11x + 7y)^2 = (11x)^2 + 2 \cdot 11x \cdot 7y + (7y)^2 = 121x^2 + 154xy + 49y^2$.

Ответ: $121x^2 + 154xy + 49y^2$.

в)

В выражении $(-0,8x - 0,5b)^2$ вынесем знак минус за скобки: $(- (0,8x + 0,5b))^2 = (0,8x + 0,5b)^2$.

Применим формулу квадрата суммы:

$(0,8x + 0,5b)^2 = (0,8x)^2 + 2 \cdot 0,8x \cdot 0,5b + (0,5b)^2 = 0,64x^2 + 0,8xb + 0,25b^2$.

Ответ: $0,64x^2 + 0,8bx + 0,25b^2$.

г)

Представим выражение $(-1\frac{1}{3}p + 6q)^2$ как $(6q - 1\frac{1}{3}p)^2$.

Переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

Получим $(6q - \frac{4}{3}p)^2$. Применим формулу квадрата разности:

$(6q - \frac{4}{3}p)^2 = (6q)^2 - 2 \cdot 6q \cdot \frac{4}{3}p + (\frac{4}{3}p)^2 = 36q^2 - \frac{48}{3}pq + \frac{16}{9}p^2 = 36q^2 - 16pq + \frac{16}{9}p^2$.

Запишем многочлен в стандартном виде: $\frac{16}{9}p^2 - 16pq + 36q^2$.

Ответ: $\frac{16}{9}p^2 - 16pq + 36q^2$.

д)

Для выражения $(0,08a - 50b)^2$ применим формулу квадрата разности:

$(0,08a - 50b)^2 = (0,08a)^2 - 2 \cdot 0,08a \cdot 50b + (50b)^2 = 0,0064a^2 - 8ab + 2500b^2$.

Ответ: $0,0064a^2 - 8ab + 2500b^2$.

е)

В выражении $(-0,5x - 60y)^2$ вынесем знак минус за скобки: $(- (0,5x + 60y))^2 = (0,5x + 60y)^2$.

Применим формулу квадрата суммы:

$(0,5x + 60y)^2 = (0,5x)^2 + 2 \cdot 0,5x \cdot 60y + (60y)^2 = 0,25x^2 + 60xy + 3600y^2$.

Ответ: $0,25x^2 + 60xy + 3600y^2$.

825. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) Для преобразования выражения $(-3a + 10b)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. В данном случае $x = -3a$ и $y = 10b$.

$(-3a + 10b)^2 = (-3a)^2 + 2 \cdot (-3a) \cdot (10b) + (10b)^2 = 9a^2 - 60ab + 100b^2$.

В качестве альтернативы можно было поменять слагаемые местами и использовать формулу квадрата разности: $(10b - 3a)^2 = (10b)^2 - 2 \cdot (10b) \cdot (3a) + (3a)^2 = 100b^2 - 60ab + 9a^2$. Результат тот же.

Ответ: $9a^2 - 60ab + 100b^2$.

б) Выражение $(-6m - n)^2$ можно преобразовать, используя свойство, что квадрат числа и ему противоположного равны: $(-A)^2 = A^2$.

$(-6m - n)^2 = (-(6m + n))^2 = (6m + n)^2$.

Далее применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x=6m$ и $y=n$:

$(6m+n)^2 = (6m)^2 + 2 \cdot (6m) \cdot n + n^2 = 36m^2 + 12mn + n^2$.

Ответ: $36m^2 + 12mn + n^2$.

в) Для преобразования выражения $(8x - 0,3y)^2$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, где $x=8x$ и $y=0,3y$.

$(8x - 0,3y)^2 = (8x)^2 - 2 \cdot (8x) \cdot (0,3y) + (0,3y)^2 = 64x^2 - 4,8xy + 0,09y^2$.

Ответ: $64x^2 - 4,8xy + 0,09y^2$.

г) Для выражения $(5a + \frac{1}{15}b)^2$ применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x=5a$ и $y=\frac{1}{15}b$.

$(5a + \frac{1}{15}b)^2 = (5a)^2 + 2 \cdot (5a) \cdot (\frac{1}{15}b) + (\frac{1}{15}b)^2 = 25a^2 + \frac{10}{15}ab + \frac{1}{225}b^2$.

Сократим дробный коэффициент в удвоенном произведении: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.

В результате получаем многочлен: $25a^2 + \frac{2}{3}ab + \frac{1}{225}b^2$.

Ответ: $25a^2 + \frac{2}{3}ab + \frac{1}{225}b^2$.

д) Выражение $(-0,2p - 10q)^2$ преобразуем аналогично пункту б), вынеся $-1$ за скобки и возведя в квадрат:

$(-0,2p - 10q)^2 = (-(0,2p + 10q))^2 = (0,2p + 10q)^2$.

Применяем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x=0,2p$ и $y=10q$:

$(0,2p + 10q)^2 = (0,2p)^2 + 2 \cdot (0,2p) \cdot (10q) + (10q)^2 = 0,04p^2 + 4pq + 100q^2$.

Ответ: $0,04p^2 + 4pq + 100q^2$.

е) Для выражения $(0,8x - 0,1y)^2$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, где $x=0,8x$ и $y=0,1y$.

$(0,8x - 0,1y)^2 = (0,8x)^2 - 2 \cdot (0,8x) \cdot (0,1y) + (0,1y)^2 = 0,64x^2 - 0,16xy + 0,01y^2$.

Ответ: $0,64x^2 - 0,16xy + 0,01y^2$.

826. Используя формулу квадрата суммы или формулу квадрата разности, вычислите:

а) (100 + 1)²;
б) (100 − 1)²;
в) 61²;
г) 199²;
д) 999²;
е) 702²;
ж) 9,9²;
з) 10,2².

а) Для вычисления выражения $(100 + 1)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a=100$ и $b=1$.
$(100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.
Ответ: 10201.

б) Для вычисления выражения $(100 - 1)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=100$ и $b=1$.
$(100 - 1)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$.
Ответ: 9801.

в) Представим число 61 в виде суммы $60 + 1$ и воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=60$ и $b=1$.
$61^2 = (60 + 1)^2 = 60^2 + 2 \cdot 60 \cdot 1 + 1^2 = 3600 + 120 + 1 = 3721$.
Ответ: 3721.

г) Представим число 199 в виде разности $200 - 1$ и воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=200$ и $b=1$.
$199^2 = (200 - 1)^2 = 200^2 - 2 \cdot 200 \cdot 1 + 1^2 = 40000 - 400 + 1 = 39601$.
Ответ: 39601.

д) Представим число 999 в виде разности $1000 - 1$ и воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=1000$ и $b=1$.
$999^2 = (1000 - 1)^2 = 1000^2 - 2 \cdot 1000 \cdot 1 + 1^2 = 1000000 - 2000 + 1 = 998001$.
Ответ: 998001.

е) Представим число 702 в виде суммы $700 + 2$ и воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=700$ и $b=2$.
$702^2 = (700 + 2)^2 = 700^2 + 2 \cdot 700 \cdot 2 + 2^2 = 490000 + 2800 + 4 = 492804$.
Ответ: 492804.

ж) Представим число 9,9 в виде разности $10 - 0,1$ и воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=10$ и $b=0,1$.
$9,9^2 = (10 - 0,1)^2 = 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 0,1 + (0,1)^2 = 100 - 2 + 0,01 = 98,01$.
Ответ: 98,01.

з) Представим число 10,2 в виде суммы $10 + 0,2$ и воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=10$ и $b=0,2$.
$10,2^2 = (10 + 0,2)^2 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 0,2 + (0,2)^2 = 100 + 4 + 0,04 = 104,04$.
Ответ: 104,04.

827. Выполните возведение в квадрат:

а) (x² − 5)²; б) (7 − y³)²; в)(2а + b⁴)²; г) (−3р + q³)².

а) Чтобы возвести в квадрат выражение $(x^2 - 5)^2$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = x^2$ и $b = 5$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x^2 - 5)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 5 + 5^2$
Теперь выполним вычисления для каждого члена выражения:
$(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$
$2 \cdot x^2 \cdot 5 = 10x^2$
$5^2 = 25$
Соединив все части, получаем итоговый многочлен:
$x^4 - 10x^2 + 25$
Ответ: $x^4 - 10x^2 + 25$

б) Для выражения $(7 - y^3)^2$ мы также используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = 7$ и $b = y^3$.
Подставляем в формулу:
$(7 - y^3)^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot y^3 + (y^3)^2$
Вычисляем каждый член:
$7^2 = 49$
$2 \cdot 7 \cdot y^3 = 14y^3$
$(y^3)^2 = y^{3 \cdot 2} = y^6$
Таким образом, результат возведения в квадрат:
$49 - 14y^3 + y^6$
Ответ: $49 - 14y^3 + y^6$

в) Для возведения в квадрат выражения $(2a + b^4)^2$ применяется формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В этом примере $a = 2a$ и $b = b^4$.
Подставим значения в формулу:
$(2a + b^4)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot (b^4) + (b^4)^2$
Выполним необходимые вычисления:
$(2a)^2 = 2^2 \cdot a^2 = 4a^2$
$2 \cdot 2a \cdot b^4 = 4ab^4$
$(b^4)^2 = b^{4 \cdot 2} = b^8$
Итоговый многочлен:
$4a^2 + 4ab^4 + b^8$
Ответ: $4a^2 + 4ab^4 + b^8$

г) Выражение $(-3p + q^3)^2$ можно возвести в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Также можно поменять слагаемые местами $(q^3 - 3p)^2$ и применить формулу квадрата разности. Воспользуемся первым способом.
Пусть $a = -3p$ и $b = q^3$.
Подставляем в формулу квадрата суммы:
$(-3p + q^3)^2 = (-3p)^2 + 2 \cdot (-3p) \cdot q^3 + (q^3)^2$
Вычисляем каждый член выражения:
$(-3p)^2 = (-3)^2 \cdot p^2 = 9p^2$
$2 \cdot (-3p) \cdot q^3 = -6pq^3$
$(q^3)^2 = q^{3 \cdot 2} = q^6$
Собираем все вместе:
$9p^2 - 6pq^3 + q^6$
Ответ: $9p^2 - 6pq^3 + q^6$

828. Преобразуйте выражение в многочлен:

Для решения всех пунктов задачи будем использовать формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) Для преобразования выражения $(a^2 - 3a)^2$ в многочлен, используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном случае $x = a^2$ и $y = 3a$.

$(a^2 - 3a)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 3a + (3a)^2 = a^4 - 6a^3 + 9a^2$.

Ответ: $a^4 - 6a^3 + 9a^2$.

б) Для преобразования выражения $(\frac{1}{2}x^3 + 6x)^2$ в многочлен, используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном случае $x = \frac{1}{2}x^3$ и $y = 6x$.

$(\frac{1}{2}x^3 + 6x)^2 = (\frac{1}{2}x^3)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x^3 \cdot 6x + (6x)^2 = \frac{1}{4}x^6 + 6x^4 + 36x^2$.

Ответ: $\frac{1}{4}x^6 + 6x^4 + 36x^2$.

в) Для преобразования выражения $(c^2 - 0,7c^3)^2$ в многочлен, используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном случае $x = c^2$ и $y = 0,7c^3$.

$(c^2 - 0,7c^3)^2 = (c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 0,7c^3 + (0,7c^3)^2 = c^4 - 1,4c^5 + 0,49c^6$.

Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены в порядке убывания степеней:

$0,49c^6 - 1,4c^5 + c^4$.

Ответ: $0,49c^6 - 1,4c^5 + c^4$.

г) Для преобразования выражения $(4y^3 - 0,5y^2)^2$ в многочлен, используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном случае $x = 4y^3$ и $y = 0,5y^2$.

$(4y^3 - 0,5y^2)^2 = (4y^3)^2 - 2 \cdot 4y^3 \cdot 0,5y^2 + (0,5y^2)^2 = 16y^6 - 4y^5 + 0,25y^4$.

Ответ: $16y^6 - 4y^5 + 0,25y^4$.

д) Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь $\frac{3}{2}$. Выражение принимает вид $(\frac{3}{2}a^5 + 8a^2)^2$.

Далее используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном случае $x = \frac{3}{2}a^5$ и $y = 8a^2$.

$(\frac{3}{2}a^5 + 8a^2)^2 = (\frac{3}{2}a^5)^2 + 2 \cdot \frac{3}{2}a^5 \cdot 8a^2 + (8a^2)^2 = \frac{9}{4}a^{10} + 24a^7 + 64a^4$.

Ответ: $\frac{9}{4}a^{10} + 24a^7 + 64a^4$.

е) Для преобразования выражения $(0,6b - 60b^2)^2$ в многочлен, используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном случае $x = 0,6b$ и $y = 60b^2$.

$(0,6b - 60b^2)^2 = (0,6b)^2 - 2 \cdot 0,6b \cdot 60b^2 + (60b^2)^2 = 0,36b^2 - 72b^3 + 3600b^4$.

Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены в порядке убывания степеней:

$3600b^4 - 72b^3 + 0,36b^2$.

Ответ: $3600b^4 - 72b^3 + 0,36b^2$.

829. Представьте выражение в виде многочлена:

a) (a² − 2b)²; б)(х³ + 3y⁴)²; в) (7a⁶ + 12a)²; г) (15х − х³)².

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) Представим выражение $(a^2 - 2b)^2$ в виде многочлена.

Воспользуемся формулой квадрата разности, где $a$ заменяется на $a^2$, а $b$ на $2b$.

$(a^2 - 2b)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot (2b) + (2b)^2$

Выполним преобразования:

$(a^2)^2 = a^4$

$2 \cdot a^2 \cdot 2b = 4a^2b$

$(2b)^2 = 4b^2$

Собираем многочлен:

$a^4 - 4a^2b + 4b^2$

Ответ: $a^4 - 4a^2b + 4b^2$

б) Представим выражение $(x^3 + 3y^4)^2$ в виде многочлена.

Воспользуемся формулой квадрата суммы, где $a$ заменяется на $x^3$, а $b$ на $3y^4$.

$(x^3 + 3y^4)^2 = (x^3)^2 + 2 \cdot x^3 \cdot (3y^4) + (3y^4)^2$

Выполним преобразования:

$(x^3)^2 = x^6$

$2 \cdot x^3 \cdot 3y^4 = 6x^3y^4$

$(3y^4)^2 = 9y^8$

Собираем многочлен:

$x^6 + 6x^3y^4 + 9y^8$

Ответ: $x^6 + 6x^3y^4 + 9y^8$

в) Представим выражение $(7a^6 + 12a)^2$ в виде многочлена.

Воспользуемся формулой квадрата суммы, где $a$ заменяется на $7a^6$, а $b$ на $12a$.

$(7a^6 + 12a)^2 = (7a^6)^2 + 2 \cdot (7a^6) \cdot (12a) + (12a)^2$

Выполним преобразования:

$(7a^6)^2 = 49a^{12}$

$2 \cdot 7a^6 \cdot 12a = 168a^7$

$(12a)^2 = 144a^2$

Собираем многочлен:

$49a^{12} + 168a^7 + 144a^2$

Ответ: $49a^{12} + 168a^7 + 144a^2$

г) Представим выражение $(15x - x^3)^2$ в виде многочлена.

Воспользуемся формулой квадрата разности, где $a$ заменяется на $15x$, а $b$ на $x^3$.

$(15x - x^3)^2 = (15x)^2 - 2 \cdot (15x) \cdot (x^3) + (x^3)^2$

Выполним преобразования:

$(15x)^2 = 225x^2$

$2 \cdot 15x \cdot x^3 = 30x^4$

$(x^3)^2 = x^6$

Собираем многочлен: $225x^2 - 30x^4 + x^6$.

Для приведения к стандартному виду, расположим члены многочлена по убыванию степеней переменной $x$:

$x^6 - 30x^4 + 225x^2$

Ответ: $x^6 - 30x^4 + 225x^2$

830. Замените знак * одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:

а) Чтобы равенство $(* + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$ стало тождеством, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Рассмотрим правую часть равенства: $a^2 + 4ab + 4b^2$.
Первый член $a^2$ — это квадрат одночлена $a$.
Третий член $4b^2$ — это квадрат одночлена $2b$, так как $(2b)^2 = 4b^2$.
Второй член $4ab$ — это удвоенное произведение одночленов $a$ и $2b$: $2 \cdot a \cdot 2b = 4ab$.
Следовательно, правая часть является полным квадратом суммы: $a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2$.
Теперь исходное равенство можно записать как $(* + 2b)^2 = (a + 2b)^2$. Отсюда очевидно, что искомый одночлен, скрытый за знаком *, равен $a$.
Ответ: $a$.

б) Рассмотрим равенство $(3x + *)^2 = 9x^2 + 6ax + a^2$. Снова применяем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Правая часть $9x^2 + 6ax + a^2$ — это полный квадрат.
Первый член $9x^2$ — это квадрат $3x$, так как $(3x)^2 = 9x^2$.
Третий член $a^2$ — это квадрат $a$.
Проверим средний член: удвоенное произведение $3x$ и $a$ равно $2 \cdot 3x \cdot a = 6ax$, что совпадает со средним членом в правой части.
Таким образом, $9x^2 + 6ax + a^2 = (3x + a)^2$.
Сравнивая левую и правую части в виде $(3x + *)^2 = (3x + a)^2$, заключаем, что $*$ — это одночлен $a$.
Ответ: $a$.

в) Дано равенство $(* - 2m)^2 = 100 - 40m + 4m^2$. Здесь используется формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Проанализируем правую часть $100 - 40m + 4m^2$.
Первый член $100$ — это квадрат числа $10$, так как $10^2 = 100$.
Третий член $4m^2$ — это квадрат одночлена $2m$, так как $(2m)^2 = 4m^2$.
Средний член $-40m$ — это удвоенное произведение $10$ и $2m$ со знаком минус: $-2 \cdot 10 \cdot 2m = -40m$.
Значит, правая часть является полным квадратом разности: $100 - 40m + 4m^2 = (10 - 2m)^2$.
Исходное равенство принимает вид $(* - 2m)^2 = (10 - 2m)^2$. Отсюда следует, что $*$ равен $10$.
Ответ: $10$.

г) В равенстве $(* - 9c)^2 = 36a^4 - 108a^2c + 81c^2$ используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Правая часть $36a^4 - 108a^2c + 81c^2$ представляет собой полный квадрат.
Первый член $36a^4$ — это квадрат одночлена $6a^2$, так как $(6a^2)^2 = 36a^4$.
Третий член $81c^2$ — это квадрат одночлена $9c$, так как $(9c)^2 = 81c^2$.
Проверим средний член: $-2 \cdot (6a^2) \cdot (9c) = -108a^2c$. Он совпадает со средним членом в правой части.
Таким образом, $36a^4 - 108a^2c + 81c^2 = (6a^2 - 9c)^2$.
Приравнивая левую и правую части, получаем $(* - 9c)^2 = (6a^2 - 9c)^2$. Следовательно, $*$ — это $6a^2$.
Ответ: $6a^2$.

д) В равенстве $(5y + *)^2 = 25y^2 + 4x^3y + 0,16x^6$ снова применяем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Рассмотрим правую часть $25y^2 + 4x^3y + 0,16x^6$.
Первый член $25y^2$ — это квадрат $5y$.
Третий член $0,16x^6$ — это квадрат одночлена $0,4x^3$, так как $(0,4x^3)^2 = 0,16x^6$.
Средний член $4x^3y$ должен быть удвоенным произведением $5y$ и $0,4x^3$. Проверим: $2 \cdot (5y) \cdot (0,4x^3) = 10y \cdot 0,4x^3 = 4x^3y$. Это соответствует действительности.
Значит, правая часть равна $(5y + 0,4x^3)^2$.
Сравнивая с левой частью $(5y + *)^2$, видим, что $*$ равен $0,4x^3$.
Ответ: $0,4x^3$.

е) Дано равенство $(3a + 2,5b)^2 = 9a^2 + 6,25b^2 + *$. В этом случае нужно найти недостающий член в разложении квадрата суммы.
Воспользуемся формулой $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В левой части $x = 3a$ и $y = 2,5b$.
Раскроем скобки:
$(3a + 2,5b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot (2,5b) + (2,5b)^2$
$= 9a^2 + 15ab + 6,25b^2$.
Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства: $9a^2 + 15ab + 6,25b^2 = 9a^2 + 6,25b^2 + *$.
Видно, что недостающий член (одночлен) $*$ — это $15ab$.
Ответ: $15ab$.

831. Упростите выражение:

а) Чтобы упростить выражение $(12a - 1)^2 - 1$, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(12a - 1)^2 = (12a)^2 - 2 \cdot 12a \cdot 1 + 1^2 = 144a^2 - 24a + 1$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(144a^2 - 24a + 1) - 1 = 144a^2 - 24a + 1 - 1 = 144a^2 - 24a$.

Ответ: $144a^2 - 24a$.

б) Для упрощения выражения $(2a + 6b)^2 - 24ab$ раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(2a + 6b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 6b + (6b)^2 = 4a^2 + 24ab + 36b^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$(4a^2 + 24ab + 36b^2) - 24ab$.

Приведем подобные слагаемые:

$4a^2 + (24ab - 24ab) + 36b^2 = 4a^2 + 36b^2$.

Ответ: $4a^2 + 36b^2$.

в) Рассмотрим выражение $121 - (11 - 9x)^2$. Упростим его, раскрыв скобки по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(11 - 9x)^2 = 11^2 - 2 \cdot 11 \cdot 9x + (9x)^2 = 121 - 198x + 81x^2$.

Подставим в исходное выражение:

$121 - (121 - 198x + 81x^2)$.

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$121 - 121 + 198x - 81x^2 = 198x - 81x^2$.

Ответ: $198x - 81x^2$.

г) Упростим выражение $a^2b^2 - (ab - 7)^2$. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(ab - 7)^2 = (ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 7 + 7^2 = a^2b^2 - 14ab + 49$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$a^2b^2 - (a^2b^2 - 14ab + 49)$.

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$a^2b^2 - a^2b^2 + 14ab - 49 = 14ab - 49$.

Ответ: $14ab - 49$.

д) Для упрощения выражения $b^2 + 49 - (b - 7)^2$ раскроем скобки по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(b - 7)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 7 + 7^2 = b^2 - 14b + 49$.

Подставим это в исходное выражение:

$b^2 + 49 - (b^2 - 14b + 49)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$b^2 + 49 - b^2 + 14b - 49 = (b^2 - b^2) + 14b + (49 - 49) = 14b$.

Ответ: $14b$.

е) Упростим выражение $a^4 - 81 - (a^2 + 9)^2$. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(a^2 + 9)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 9 + 9^2 = a^4 + 18a^2 + 81$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$a^4 - 81 - (a^4 + 18a^2 + 81)$.

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них:

$a^4 - 81 - a^4 - 18a^2 - 81$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a^4 - a^4) - 18a^2 - (81 + 81) = -18a^2 - 162$.

Ответ: $-18a^2 - 162$.