Страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

810. Докажите, что:
а) а(х + 6) + х(х − 3а) = 9 при х = 2а − 3;
б) х(х − 3а) + а(а + х) + 4 = 13 при х = а + 3.

а)

Требуется доказать, что $a(x + 6) + x(x - 3a) = 9$ при $x = 2a - 3$.

Для этого сначала преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$a(x + 6) + x(x - 3a) = ax + 6a + x^2 - 3ax = x^2 - 2ax + 6a$.

Теперь подставим в полученное выражение значение $x = 2a - 3$:

$(2a - 3)^2 - 2a(2a - 3) + 6a$

Раскроем скобки. Для выражения $(2a - 3)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности $(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$:

$( (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 ) - (2a \cdot 2a - 2a \cdot 3) + 6a$

$= (4a^2 - 12a + 9) - (4a^2 - 6a) + 6a$

$= 4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 + 6a + 6a$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 - 4a^2) + (-12a + 6a + 6a) + 9 = 0 + 0 + 9 = 9$.

В результате преобразований левая часть равенства стала равна 9, что соответствует правой части. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Доказано.

б)

Требуется доказать, что $x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = 13$ при $x = a + 3$.

Сначала преобразуем левую часть равенства, раскрыв скобки:

$x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = x^2 - 3ax + a^2 + ax + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2ax + a^2 + 4$

Заметим, что первые три члена $x^2 - 2ax + a^2$ представляют собой полный квадрат разности по формуле $m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2$.

Таким образом, выражение можно записать в виде:

$(x - a)^2 + 4$

Теперь воспользуемся заданным условием $x = a + 3$. Выразим из него разность $x - a$:

$x - a = 3$.

Подставим это значение в преобразованное выражение:

$(3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13$.

В результате преобразований левая часть равенства стала равна 13, что соответствует правой части. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Доказано.

811. Докажите тождество:

а)

Чтобы доказать тождество $(y^4 + y^3)(y^2 - y) = y^4(y + 1)(y - 1)$, преобразуем его левую часть. Для этого разложим на множители выражения в каждой из скобок.

В первом множителе $(y^4 + y^3)$ вынесем за скобки общий множитель $y^3$:

$y^4 + y^3 = y^3(y + 1)$

Во втором множителе $(y^2 - y)$ вынесем за скобки общий множитель $y$:

$y^2 - y = y(y - 1)$

Теперь подставим полученные разложения в левую часть исходного выражения и перемножим их:

$(y^4 + y^3)(y^2 - y) = (y^3(y + 1)) \cdot (y(y - 1)) = y^3 \cdot y \cdot (y + 1)(y - 1)$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$y^{3+1}(y + 1)(y - 1) = y^4(y + 1)(y - 1)$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $(a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)$, преобразуем его левую часть, разложив на множители выражения в скобках.

В первом множителе $(a^2 + 3a)$ вынесем за скобки общий множитель $a$:

$a^2 + 3a = a(a + 3)$

Второй множитель $(a^2 + 3a + 2)$ является квадратным трехчленом. Разложим его на множители, найдя корни уравнения $a^2 + 3a + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $a_1 + a_2 = -3$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = 2$. Отсюда корни равны $-1$ и $-2$.

Тогда разложение квадратного трехчлена имеет вид:

$a^2 + 3a + 2 = (a - (-1))(a - (-2)) = (a + 1)(a + 2)$

Теперь подставим полученные разложения в левую часть тождества:

$(a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = (a(a + 3)) \cdot ((a + 1)(a + 2))$

Переставим множители для соответствия правой части:

$a(a + 1)(a + 2)(a + 3)$

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Чтобы доказать тождество $(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4$, преобразуем его левую часть.

Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы воспользоваться формулой разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.

$(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = [(a^2 + b^2) + ab][(a^2 + b^2) - ab]$

Примем $x = a^2 + b^2$ и $y = ab$. Применим формулу:

$(a^2 + b^2)^2 - (ab)^2$

Теперь раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a^2 + b^2)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$

Второе слагаемое: $(ab)^2 = a^2b^2$.

Подставим полученные выражения обратно:

$(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$a^4 + (2a^2b^2 - a^2b^2) + b^4 = a^4 + a^2b^2 + b^4$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

г)

Чтобы доказать тождество $(c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = c^8 + c^4 + 1$, преобразуем левую часть.

Как и в предыдущем пункте, сгруппируем слагаемые для применения формулы разности квадратов.

$(c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = [(c^4 + 1) - c^2][(c^4 + 1) + c^2]$

Здесь $x = c^4 + 1$ и $y = c^2$. Применяем формулу $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

$(c^4 + 1)^2 - (c^2)^2$

Раскроем скобки. Используем формулу квадрата суммы для первого слагаемого:

$(c^4 + 1)^2 = (c^4)^2 + 2 \cdot c^4 \cdot 1 + 1^2 = c^8 + 2c^4 + 1$

Второе слагаемое: $(c^2)^2 = c^4$.

Подставим раскрытые выражения обратно:

$(c^8 + 2c^4 + 1) - c^4$

Приведем подобные слагаемые:

$c^8 + (2c^4 - c^4) + 1 = c^8 + c^4 + 1$

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

812. При каком значении а произведение

тождественно равно многочлену, не содержащему х³?

Для того чтобы произведение $(x^3 + 4x^2 - 17x + 41)(x + a)$ было тождественно равно многочлену, не содержащему $x^3$, необходимо найти коэффициент при $x^3$ в результате раскрытия скобок и приравнять его к нулю.

Член, содержащий $x^3$, образуется при перемножении тех членов исходных многочленов, сумма степеней переменной $x$ в которых равна 3. Таких комбинаций две:

• Умножение члена $x^3$ из первого многочлена на член $a$ из второго: $x^3 \cdot a = ax^3$.
• Умножение члена $4x^2$ из первого многочлена на член $x$ из второго: $4x^2 \cdot x = 4x^3$.

Суммарный член с $x^3$ в результирующем многочлене будет равен сумме этих двух членов: $ax^3 + 4x^3 = (a + 4)x^3$.

Коэффициент при $x^3$ равен $(a + 4)$. Согласно условию, многочлен не должен содержать $x^3$, что означает, что этот коэффициент должен быть равен нулю.

Составим и решим уравнение: $a + 4 = 0$

$a = -4$

Ответ: -4

813. Докажите, что если b + с = 10, то

(10а + b)(10а + с) = 100а(а + 1) + bс.

Воспользовавшись этой формулой, вычислите:

а) 23 · 27; 6)42 · 48; в) 59 · 51; г) 8 + 86.

Для доказательства тождества $(10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc$ при условии, что $b + c = 10$, раскроем скобки в левой части выражения:
$(10a + b)(10a + c) = 10a \cdot 10a + 10a \cdot c + b \cdot 10a + b \cdot c = 100a^2 + 10ac + 10ab + bc$
Сгруппируем слагаемые, содержащие $10a$:
$100a^2 + (10ac + 10ab) + bc = 100a^2 + 10a(c + b) + bc$
Теперь воспользуемся данным условием $b + c = 10$. Подставим $10$ вместо $(c + b)$:
$100a^2 + 10a(10) + bc = 100a^2 + 100a + bc$
Вынесем общий множитель $100a$ за скобки:
$100a(a + 1) + bc$
Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Теперь воспользуемся этой формулой для вычислений.

а) $23 \cdot 27$
Здесь множители можно представить в виде $(10a + b)$ и $(10a + c)$.
Первый десяток у обоих чисел одинаковый, значит $a = 2$.
Единицы равны $b = 3$ и $c = 7$. Проверяем условие: $b + c = 3 + 7 = 10$.
Применяем формулу $100a(a + 1) + bc$:
$100 \cdot 2 \cdot (2 + 1) + 3 \cdot 7 = 100 \cdot 2 \cdot 3 + 21 = 600 + 21 = 621$.
Ответ: 621

б) $42 \cdot 48$
Здесь $a = 4$, $b = 2$, $c = 8$. Проверяем условие: $b + c = 2 + 8 = 10$.
Применяем формулу:
$100 \cdot 4 \cdot (4 + 1) + 2 \cdot 8 = 100 \cdot 4 \cdot 5 + 16 = 2000 + 16 = 2016$.
Ответ: 2016

в) $59 \cdot 51$
Здесь $a = 5$, $b = 9$, $c = 1$. Проверяем условие: $b + c = 9 + 1 = 10$.
Применяем формулу:
$100 \cdot 5 \cdot (5 + 1) + 9 \cdot 1 = 100 \cdot 5 \cdot 6 + 9 = 3000 + 9 = 3009$.
Ответ: 3009

г) $84 \cdot 86$
Здесь $a = 8$, $b = 4$, $c = 6$. Проверяем условие: $b + c = 4 + 6 = 10$.
Применяем формулу:
$100 \cdot 8 \cdot (8 + 1) + 4 \cdot 6 = 100 \cdot 8 \cdot 9 + 24 = 7200 + 24 = 7224$.
Ответ: 7224

814. Докажите, что:

а)

По условию дано, что $ab + c^2 = 0$. Необходимо доказать, что $(a+c)(b+c) + (a-c)(b-c) = 0$.

Для доказательства упростим левую часть равенства. Раскроем скобки в каждом слагаемом:

Первое слагаемое: $(a+c)(b+c) = ab + ac + bc + c^2$.

Второе слагаемое: $(a-c)(b-c) = ab - ac - bc + c^2$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(a+c)(b+c) + (a-c)(b-c) = (ab + ac + bc + c^2) + (ab - ac - bc + c^2)$.

Приведем подобные члены:

$ab + ab + ac - ac + bc - bc + c^2 + c^2 = 2ab + 2c^2$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(ab + c^2)$.

Согласно условию, $ab + c^2 = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$2 \cdot 0 = 0$.

Таким образом, левая часть равенства равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

По условию дано, что $a + b = 9$. Необходимо доказать, что $(a+1)(b+1) - (a-1)(b-1) = 18$.

Для доказательства упростим левую часть равенства. Раскроем скобки:

Уменьшаемое: $(a+1)(b+1) = ab + a + b + 1$.

Вычитаемое: $(a-1)(b-1) = ab - a - b + 1$.

Теперь выполним вычитание:

$(a+1)(b+1) - (a-1)(b-1) = (ab + a + b + 1) - (ab - a - b + 1)$.

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$ab + a + b + 1 - ab + a + b - 1$.

Приведем подобные члены:

$(ab - ab) + (a + a) + (b + b) + (1 - 1) = 2a + 2b$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a+b)$.

Согласно условию, $a + b = 9$. Подставим это значение в полученное выражение:

$2 \cdot 9 = 18$.

Таким образом, левая часть равенства равна 18, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.