Страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

780. На элеватор поступило 1400 т пшеницы двух сортов. При обработке пшеницы одного сорта оказалось 2% отходов, а другого сорта − 3% отходов. Чистой пшеницы получилось 1364 т. Сколько пшеницы каждого сорта поступило на элеватор?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это масса пшеницы первого сорта в тоннах, а $y$ — масса пшеницы второго сорта в тоннах, поступивших на элеватор.

Согласно условию, общая масса поступившей пшеницы составляет $1400$ тонн. На основе этого мы можем составить первое уравнение:
$x + y = 1400$

При обработке пшеницы первого сорта оказалось $2\%$ отходов. Это означает, что масса чистой пшеницы первого сорта составляет $100\% - 2\% = 98\%$ от исходной массы, то есть $0.98x$ тонн.
Для пшеницы второго сорта отходы составили $3\%$, значит, масса чистой пшеницы второго сорта составляет $100\% - 3\% = 97\%$ от исходной массы, то есть $0.97y$ тонн.

Общая масса чистой пшеницы после обработки составила $1364$ тонны. Составим второе уравнение, которое отражает это условие:
$0.98x + 0.97y = 1364$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + y = 1400 \\ 0.98x + 0.97y = 1364 \end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 1400 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$0.98x + 0.97(1400 - x) = 1364$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки:
$0.98x + 0.97 \cdot 1400 - 0.97x = 1364$
$0.98x + 1358 - 0.97x = 1364$

Приведем подобные слагаемые:
$(0.98 - 0.97)x = 1364 - 1358$
$0.01x = 6$

Найдем $x$:
$x = \frac{6}{0.01}$
$x = 600$
Следовательно, на элеватор поступило $600$ тонн пшеницы первого сорта.

Теперь найдем массу пшеницы второго сорта, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = 1400 - x$:
$y = 1400 - 600$
$y = 800$
Следовательно, на элеватор поступило $800$ тонн пшеницы второго сорта.

Проверка:
1. Общая масса: $600 \text{ т} + 800 \text{ т} = 1400 \text{ т}$. (Верно)
2. Масса чистой пшеницы: $0.98 \cdot 600 + 0.97 \cdot 800 = 588 + 776 = 1364 \text{ т}$. (Верно)

Ответ: на элеватор поступило 600 т пшеницы первого сорта и 800 т пшеницы второго сорта.

781. Бригада предполагала убирать 80 га пшеницы в день, чтобы закончить работу в намеченный ею срок. Фактически в день она убирала на 10 га больше, и поэтому за один день до срока ей осталось убрать 30 га. Сколько гектаров пшеницы должна была убрать бригада?

Для решения данной задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это общее количество гектаров пшеницы, которое должна была убрать бригада, а $d$ — запланированное количество дней на выполнение работы.

Согласно плану, бригада должна была убирать 80 га в день. Следовательно, общая площадь связана с плановым сроком следующим соотношением:

$x = 80 \cdot d$

Из этого уравнения можно выразить плановое количество дней:

$d = \frac{x}{80}$

Фактически бригада работала с большей производительностью, убирая на 10 га в день больше. Таким образом, фактическая скорость уборки составила:

$80 + 10 = 90$ га/день.

В условии сказано, что за один день до намеченного срока ($d-1$ дней) бригаде осталось убрать 30 га. Это значит, что за $(d-1)$ дней бригада убрала $(x - 30)$ га.

Таким образом, мы можем составить второе уравнение, связывающее фактически выполненную работу, фактическую скорость и время работы:

$x - 30 = 90 \cdot (d - 1)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x = 80d \\ x - 30 = 90(d - 1) \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$80d - 30 = 90(d - 1)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:

$80d - 30 = 90d - 90$

Перенесем слагаемые с $d$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$90 - 30 = 90d - 80d$

$60 = 10d$

$d = \frac{60}{10}$

$d = 6$

Мы нашли, что плановый срок выполнения работ составлял 6 дней.

Чтобы найти общую площадь пшеницы ($x$), подставим значение $d$ в первое уравнение:

$x = 80 \cdot 6$

$x = 480$

Таким образом, бригада должна была убрать 480 гектаров пшеницы.

Проверка:

Плановый срок: $480 \text{ га} / 80 \text{ га/день} = 6$ дней.

Фактическая работа длилась $6 - 1 = 5$ дней.

За 5 дней бригада убрала: $5 \text{ дней} \cdot 90 \text{ га/день} = 450$ га.

Осталось убрать: $480 \text{ га} - 450 \text{ га} = 30$ га.

Все условия задачи сходятся.

Ответ: бригада должна была убрать 480 гектаров пшеницы.

782. В водный раствор соли массой 480 г добавили 20 г соли. В результате концентрация раствора повысилась на 3,75%. Сколько соли было в растворе первоначально?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальная масса соли в растворе (в граммах).

Масса всего раствора изначально составляла 480 г. Концентрация вещества в растворе — это отношение массы этого вещества к массе всего раствора. Таким образом, первоначальная концентрация соли ($C_1$) в растворе была:

$C_1 = \frac{x}{480}$

После того как в раствор добавили 20 г соли, масса соли в нем увеличилась и стала равной $(x + 20)$ г. Общая масса раствора также увеличилась на 20 г и стала $480 + 20 = 500$ г.

Новая концентрация соли ($C_2$) в растворе составила:

$C_2 = \frac{x + 20}{500}$

По условию, концентрация раствора повысилась на 3,75%. Это означает, что разница между новой и старой концентрациями составляет 3,75%. Переведем проценты в десятичную дробь для удобства вычислений: $3,75\% = \frac{3,75}{100} = 0,0375$.

Составим уравнение, исходя из того, что $C_2 - C_1 = 0,0375$:

$\frac{x + 20}{500} - \frac{x}{480} = 0,0375$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 500 и 480, которое равно 12000.

$12000 \cdot \left(\frac{x + 20}{500}\right) - 12000 \cdot \left(\frac{x}{480}\right) = 12000 \cdot 0,0375$

Выполним умножение:

$24 \cdot (x + 20) - 25 \cdot x = 450$

Теперь раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение:

$24x + 480 - 25x = 450$

Приведем подобные слагаемые:

$480 - x = 450$

Найдем $x$:

$x = 480 - 450$

$x = 30$

Следовательно, первоначальная масса соли в растворе составляла 30 г.

Проверка:

Начальная концентрация: $C_1 = \frac{30}{480} \cdot 100\% = \frac{1}{16} \cdot 100\% = 6,25\%$.

Конечная концентрация: $C_2 = \frac{30 + 20}{480 + 20} \cdot 100\% = \frac{50}{500} \cdot 100\% = 10\%$.

Разница концентраций: $C_2 - C_1 = 10\% - 6,25\% = 3,75\%$.

Результат совпадает с условием задачи, следовательно, решение верное.

Ответ: 30 г.

783. Разложите на множители:

а) Для разложения многочлена $a^{20} - a^{10} + a^5$ на множители необходимо найти общий множитель для всех его членов. Общим множителем является степень переменной с наименьшим показателем. В данном случае это $a^5$. Вынесем $a^5$ за скобки. При вынесении общего множителя за скобки показатели степеней каждого члена в скобках уменьшаются на 5.
$a^{20} - a^{10} + a^5 = a^5(a^{20-5} - a^{10-5} + a^{5-5}) = a^5(a^{15} - a^5 + 1)$.
Выражение в скобках $a^{15} - a^5 + 1$ далее не раскладывается на множители с целыми коэффициентами стандартными методами.
Ответ: $a^5(a^{15} - a^5 + 1)$

б) Рассмотрим многочлен $b^{60} + b^{40} - b^{20}$. Наименьшая степень переменной $b$ среди всех членов — это 20. Следовательно, общим множителем является $b^{20}$. Вынесем $b^{20}$ за скобки:
$b^{60} + b^{40} - b^{20} = b^{20}(b^{60-20} + b^{40-20} - b^{20-20}) = b^{20}(b^{40} + b^{20} - 1)$.
Полученный в скобках многочлен $b^{40} + b^{20} - 1$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.
Ответ: $b^{20}(b^{40} + b^{20} - 1)$

в) В выражении $a^{10} - a^8 - a^6$ наименьшая степень переменной $a$ равна 6. Вынесем $a^6$ как общий множитель за скобки:
$a^{10} - a^8 - a^6 = a^6(a^{10-6} - a^{8-6} - a^{6-6}) = a^6(a^4 - a^2 - 1)$.
Многочлен в скобках $a^4 - a^2 - 1$ не имеет простых целочисленных корней, поэтому его дальнейшее разложение стандартными методами не производится.
Ответ: $a^6(a^4 - a^2 - 1)$

г) В многочлене $b^{40} + b^{20} + b^{10}$ наименьшая степень переменной $b$ — это 10. Выносим $b^{10}$ как общий множитель за скобки:
$b^{40} + b^{20} + b^{10} = b^{10}(b^{40-10} + b^{20-10} + b^{10-10}) = b^{10}(b^{30} + b^{10} + 1)$.
Выражение в скобках $b^{30} + b^{10} + 1$ не раскладывается на более простые множители стандартными методами.
Ответ: $b^{10}(b^{30} + b^{10} + 1)$

784. Докажите, что:
а) 7¹⁶ + 7¹⁴ делится на 50;
б) 5³¹ − 5²⁹ делится на 100;
в) 25⁹ + 5¹⁷ делится на 30;
г) 27¹⁰ − 9¹⁴ делится на 24;
д) 12¹³ − 12¹² + 12¹¹ делится на 7 и на 19;
е) 11⁹ − 11⁸ + 11⁷ делится на 3 и на 37.

а) Чтобы доказать, что выражение $7^{16} + 7^{14}$ делится на 50, вынесем за скобки общий множитель $7^{14}$.
$7^{16} + 7^{14} = 7^{14} \cdot 7^2 + 7^{14} \cdot 1 = 7^{14}(7^2 + 1)$.
Вычислим значение в скобках: $7^2 + 1 = 49 + 1 = 50$.
Таким образом, исходное выражение равно $7^{14} \cdot 50$.
Поскольку один из множителей равен 50, все произведение делится на 50, что и требовалось доказать.
Ответ: $7^{16} + 7^{14} = 7^{14}(49+1) = 50 \cdot 7^{14}$, выражение делится на 50.

б) Чтобы доказать, что выражение $5^{31} - 5^{29}$ делится на 100, вынесем за скобки общий множитель $5^{29}$.
$5^{31} - 5^{29} = 5^{29} \cdot 5^2 - 5^{29} \cdot 1 = 5^{29}(5^2 - 1)$.
Вычислим значение в скобках: $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$.
Выражение принимает вид: $5^{29} \cdot 24$.
Представим $100$ в виде произведения $4 \cdot 25$. Нам нужно показать, что в нашем выражении есть такие множители.
$5^{29} \cdot 24 = 5^{27} \cdot 5^2 \cdot (6 \cdot 4) = (5^{27} \cdot 6) \cdot (5^2 \cdot 4) = (5^{27} \cdot 6) \cdot (25 \cdot 4) = (5^{27} \cdot 6) \cdot 100$.
Так как выражение является произведением целого числа и 100, оно делится на 100.
Ответ: $5^{31} - 5^{29} = 5^{29}(25-1) = 5^{29} \cdot 24 = 5^{27} \cdot 25 \cdot 24 = 5^{27} \cdot 6 \cdot 100$, выражение делится на 100.

в) Чтобы доказать, что выражение $25^9 + 5^{17}$ делится на 30, приведем степени к одному основанию 5.
$25^9 + 5^{17} = (5^2)^9 + 5^{17} = 5^{18} + 5^{17}$.
Вынесем за скобки общий множитель $5^{17}$:
$5^{18} + 5^{17} = 5^{17}(5 + 1) = 5^{17} \cdot 6$.
Для делимости на 30, выражение должно делиться на 5 и на 6 (так как 5 и 6 взаимно простые, $30 = 5 \cdot 6$).
Выражение делится на 6, так как содержит множитель 6.
Выражение делится на 5, так как содержит множитель $5^{17}$.
Следовательно, выражение $5^{17} \cdot 6$ делится на $5 \cdot 6 = 30$. Можно записать это как $5^{16} \cdot 5 \cdot 6 = 5^{16} \cdot 30$.
Ответ: $25^9 + 5^{17} = 5^{17}(5+1) = 5^{17} \cdot 6 = 5^{16} \cdot 30$, выражение делится на 30.

г) Чтобы доказать, что выражение $27^{10} - 9^{14}$ делится на 24, приведем степени к одному основанию 3.
$27^{10} - 9^{14} = (3^3)^{10} - (3^2)^{14} = 3^{30} - 3^{28}$.
Вынесем за скобки общий множитель $3^{28}$:
$3^{30} - 3^{28} = 3^{28}(3^2 - 1) = 3^{28}(9 - 1) = 3^{28} \cdot 8$.
Для делимости на 24, выражение должно делиться на 3 и на 8 (так как 3 и 8 взаимно простые, $24 = 3 \cdot 8$).
Выражение делится на 8, так как содержит множитель 8.
Выражение делится на 3, так как содержит множитель $3^{28}$.
Следовательно, выражение $3^{28} \cdot 8$ делится на $3 \cdot 8 = 24$. Можно записать это как $3^{27} \cdot 3 \cdot 8 = 3^{27} \cdot 24$.
Ответ: $27^{10} - 9^{14} = 3^{28}(3^2 - 1) = 3^{28} \cdot 8 = 3^{27} \cdot 24$, выражение делится на 24.

д) Чтобы доказать, что выражение $12^{13} - 12^{12} + 12^{11}$ делится на 7 и на 19, вынесем за скобки общий множитель $12^{11}$.
$12^{13} - 12^{12} + 12^{11} = 12^{11}(12^2 - 12 + 1)$.
Вычислим значение в скобках: $12^2 - 12 + 1 = 144 - 12 + 1 = 133$.
Исходное выражение равно $12^{11} \cdot 133$.
Разложим число 133 на множители. Проверим делимость на 7: $133 : 7 = 19$. Значит, $133 = 7 \cdot 19$.
Тогда выражение можно записать как $12^{11} \cdot 7 \cdot 19$.
Это произведение делится на 7, так как содержит множитель 7.
Это произведение делится на 19, так как содержит множитель 19.
Ответ: $12^{13} - 12^{12} + 12^{11} = 12^{11}(144-12+1) = 12^{11} \cdot 133 = 12^{11} \cdot 7 \cdot 19$, выражение делится и на 7, и на 19.

е) Чтобы доказать, что выражение $11^9 - 11^8 + 11^7$ делится на 3 и на 37, вынесем за скобки общий множитель $11^7$.
$11^9 - 11^8 + 11^7 = 11^7(11^2 - 11 + 1)$.
Вычислим значение в скобках: $11^2 - 11 + 1 = 121 - 11 + 1 = 111$.
Исходное выражение равно $11^7 \cdot 111$.
Разложим число 111 на множители. Сумма цифр числа 111 равна $1+1+1=3$, значит, 111 делится на 3. $111 : 3 = 37$. Значит, $111 = 3 \cdot 37$.
Тогда выражение можно записать как $11^7 \cdot 3 \cdot 37$.
Это произведение делится на 3, так как содержит множитель 3.
Это произведение делится на 37, так как содержит множитель 37.
Ответ: $11^9 - 11^8 + 11^7 = 11^7(121-11+1) = 11^7 \cdot 111 = 11^7 \cdot 3 \cdot 37$, выражение делится и на 3, и на 37.

785. Разложите на множители:
а) (а − 3b)(а + 2b) + 5а(а + 2b);
б) (х + 8y)(2х − 5b) − 8y(2х − 5b);
в) 7а²(а − х) + (6а² − ах)(х − а);
г) 11b²(3b − y) − (6y − 3b²)(y − 3b).

а) $(a - 3b)(a + 2b) + 5a(a + 2b)$
В данном выражении есть общий множитель $(a + 2b)$. Вынесем его за скобки:
$(a + 2b) \cdot ((a - 3b) + 5a)$
Теперь упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:
$a - 3b + 5a = (a + 5a) - 3b = 6a - 3b$
Получаем выражение:
$(a + 2b)(6a - 3b)$
Во второй скобке $(6a - 3b)$ можно вынести за скобки общий множитель 3:
$6a - 3b = 3(2a - b)$
Подставим это в наше выражение:
$(a + 2b) \cdot 3(2a - b) = 3(a + 2b)(2a - b)$
Ответ: $3(a + 2b)(2a - b)$

б) $(x + 8y)(2x - 5b) - 8y(2x - 5b)$
Общим множителем в этом выражении является $(2x - 5b)$. Вынесем его за скобки:
$(2x - 5b) \cdot ((x + 8y) - 8y)$
Упростим выражение во второй скобке:
$x + 8y - 8y = x$
Получаем итоговое выражение:
$(2x - 5b) \cdot x = x(2x - 5b)$
Ответ: $x(2x - 5b)$

в) $7a^2(a - x) + (6a^2 - ax)(x - a)$
Заметим, что множители $(a - x)$ и $(x - a)$ отличаются только знаком, то есть $(x - a) = -(a - x)$. Преобразуем второй член выражения:
$(6a^2 - ax)(x - a) = (6a^2 - ax)(-(a - x)) = -(6a^2 - ax)(a - x)$
Теперь исходное выражение выглядит так:
$7a^2(a - x) - (6a^2 - ax)(a - x)$
Вынесем общий множитель $(a - x)$ за скобки:
$(a - x) \cdot (7a^2 - (6a^2 - ax))$
Раскроем скобки и упростим выражение во второй скобке:
$7a^2 - 6a^2 + ax = a^2 + ax$
Получаем:
$(a - x)(a^2 + ax)$
Во второй скобке $(a^2 + ax)$ можно вынести за скобки общий множитель $a$:
$a^2 + ax = a(a + x)$
Итоговое разложение на множители:
$(a - x) \cdot a(a + x) = a(a - x)(a + x)$
Ответ: $a(a - x)(a + x)$

г) $11b^2(3b - y) - (6y - 3b^2)(y - 3b)$
Заметим, что множители $(3b - y)$ и $(y - 3b)$ отличаются знаком: $(y - 3b) = -(3b - y)$. Преобразуем второй член выражения:
$-(6y - 3b^2)(y - 3b) = -(6y - 3b^2)(-(3b - y)) = +(6y - 3b^2)(3b - y)$
Теперь исходное выражение имеет вид:
$11b^2(3b - y) + (6y - 3b^2)(3b - y)$
Вынесем общий множитель $(3b - y)$ за скобки:
$(3b - y) \cdot (11b^2 + (6y - 3b^2))$
Раскроем скобки и упростим выражение во второй скобке:
$11b^2 + 6y - 3b^2 = (11b^2 - 3b^2) + 6y = 8b^2 + 6y$
Получаем выражение:
$(3b - y)(8b^2 + 6y)$
Во второй скобке $(8b^2 + 6y)$ можно вынести за скобки общий множитель 2:
$8b^2 + 6y = 2(4b^2 + 3y)$
Итоговое разложение:
$(3b - y) \cdot 2(4b^2 + 3y) = 2(3b - y)(4b^2 + 3y)$
Ответ: $2(3b - y)(4b^2 + 3y)$

786. Найдите значение выражения:
а) 5сх + с² при х = 0,17, с = 1,15;
б) 4а² − аb при а = 1,47, b = 5,78.

а) Чтобы найти значение выражения $5cx + c^2$ при $x=0,17$ и $c=1,15$, сначала упростим его, вынеся общий множитель $c$ за скобки:

$5cx + c^2 = c(5x + c)$

Теперь подставим заданные значения $x$ и $c$ в полученное выражение:

$c(5x + c) = 1,15 \cdot (5 \cdot 0,17 + 1,15)$

Выполним вычисления по действиям:

1. Найдем произведение в скобках: $5 \cdot 0,17 = 0,85$.

2. Найдем сумму в скобках: $0,85 + 1,15 = 2$.

3. Найдем окончательное значение выражения: $1,15 \cdot 2 = 2,3$.

Ответ: $2,3$.

б) Чтобы найти значение выражения $4a^2 - ab$ при $a=1,47$ и $b=5,78$, сначала упростим его, вынеся общий множитель $a$ за скобки:

$4a^2 - ab = a(4a - b)$

Теперь подставим заданные значения $a$ и $b$ в полученное выражение:

$a(4a - b) = 1,47 \cdot (4 \cdot 1,47 - 5,78)$

Выполним вычисления по действиям:

1. Найдем произведение в скобках: $4 \cdot 1,47 = 5,88$.

2. Найдем разность в скобках: $5,88 - 5,78 = 0,1$.

3. Найдем окончательное значение выражения: $1,47 \cdot 0,1 = 0,147$.

Ответ: $0,147$.

787. Решите уравнение:

а) Дано неполное квадратное уравнение $1,2x^2 + x = 0$. Это уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(1,2x + 1) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных случая: 1) $x = 0$ 2) $1,2x + 1 = 0$ Решим второе уравнение: $1,2x = -1$ $x = -\frac{1}{1,2} = -\frac{1}{12/10} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6}$. Уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -\frac{5}{6}$.

б) Дано неполное квадратное уравнение $1,6x + x^2 = 0$. Запишем его в стандартном виде $x^2 + 1,6x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x + 1,6) = 0$. Приравниваем каждый множитель к нулю: 1) $x = 0$ 2) $x + 1,6 = 0 \implies x = -1,6$. Уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -1,6$.

в) Дано неполное квадратное уравнение $0,5x^2 - x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(0,5x - 1) = 0$. Приравниваем каждый множитель к нулю: 1) $x = 0$ 2) $0,5x - 1 = 0$ Решим второе уравнение: $0,5x = 1$ $x = \frac{1}{0,5} = 2$. Уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

г) Дано уравнение $5x^2 = x$. Перенесем все члены уравнения в левую часть: $5x^2 - x = 0$. Получили неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(5x - 1) = 0$. Приравниваем каждый множитель к нулю: 1) $x = 0$ 2) $5x - 1 = 0$ Решим второе уравнение: $5x = 1$ $x = \frac{1}{5} = 0,2$. Уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 0,2$.

д) Дано уравнение $1,6x^2 = 3x$. Перенесем все члены уравнения в левую часть: $1,6x^2 - 3x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(1,6x - 3) = 0$. Приравниваем каждый множитель к нулю: 1) $x = 0$ 2) $1,6x - 3 = 0$ Решим второе уравнение: $1,6x = 3$ $x = \frac{3}{1,6} = \frac{3}{16/10} = \frac{3 \cdot 10}{16} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8} = 1,875$. Уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1,875$.

е) Дано уравнение $x = x^2$. Перенесем все члены уравнения в одну часть, например, в правую: $x^2 - x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 1) = 0$. Приравниваем каждый множитель к нулю: 1) $x = 0$ 2) $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

788. Вынесите за скобки числовой множитель:

а) В выражении $(3a + 6)^2$ вынесем за скобки общий множитель для слагаемых $3a$ и $6$. Этим множителем является число $3$. Получим $3a + 6 = 3(a + 2)$. Теперь исходное выражение можно записать так: $(3(a + 2))^2$. Используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$, получим $3^2(a + 2)^2$, что равно $9(a + 2)^2$.
Ответ: $9(a + 2)^2$

б) В выражении $(12b - 4)^2$ вынесем за скобки общий множитель для $12b$ и $4$. Наибольший общий делитель чисел $12$ и $4$ равен $4$. Получим $12b - 4 = 4(3b - 1)$. Подставим это в исходное выражение: $(4(3b - 1))^2$. По свойству степени произведения это равно $4^2(3b - 1)^2$, то есть $16(3b - 1)^2$.
Ответ: $16(3b - 1)^2$

в) В выражении $(7x + 7y)^2$ общим множителем для слагаемых $7x$ и $7y$ является $7$. Выносим его за скобки: $7(x + y)$. Тогда исходное выражение примет вид $(7(x + y))^2$. Раскрывая скобки по свойству степени, получаем $7^2(x + y)^2$, что равно $49(x + y)^2$.
Ответ: $49(x + y)^2$

г) В выражении $(-3p + 6)^3$ вынесем за скобки общий множитель для $-3p$ и $6$. Общим множителем является $3$. Получим $-3p + 6 = 3(-p + 2) = 3(2 - p)$. Теперь исходное выражение можно записать как $(3(2 - p))^3$. По свойству степени произведения это равно $3^3(2 - p)^3$, то есть $27(2 - p)^3$.
Ответ: $27(2 - p)^3$

д) В выражении $(5q - 30)^3$ вынесем за скобки общий множитель для $5q$ и $30$. Наибольший общий делитель чисел $5$ и $30$ равен $5$. Получим $5q - 30 = 5(q - 6)$. Подставим в исходное выражение: $(5(q - 6))^3$. Это равно $5^3(q - 6)^3$, то есть $125(q - 6)^3$.
Ответ: $125(q - 6)^3$

е) В выражении $(2a - 8)^4$ вынесем за скобки общий множитель для $2a$ и $8$. Общий множитель равен $2$. Получим $2a - 8 = 2(a - 4)$. Подставим в исходное выражение: $(2(a - 4))^4$. По свойству степени произведения это равно $2^4(a - 4)^4$, то есть $16(a - 4)^4$.
Ответ: $16(a - 4)^4$

789. Докажите, что значение выражения а² − а кратно 2 при любом целом а.

Чтобы доказать, что значение выражения $a^2 - a$ кратно 2 при любом целом $a$, преобразуем это выражение, вынеся общий множитель $a$ за скобки.

$a^2 - a = a(a - 1)$

Полученное выражение представляет собой произведение двух последовательных целых чисел: $(a - 1)$ и $a$. Среди любых двух последовательных целых чисел одно обязательно является четным, а другое — нечетным.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если число $a$ является четным, то оно делится на 2. В этом случае произведение $a(a-1)$ также будет делиться на 2, так как один из его множителей ($a$) делится на 2.

2. Если число $a$ является нечетным, то предшествующее ему число $(a - 1)$ будет четным. В этом случае произведение $a(a-1)$ будет делиться на 2, так как множитель $(a-1)$ делится на 2.

Таким образом, поскольку любое целое число $a$ является либо четным, либо нечетным, мы показали, что в любом из этих случаев произведение $a(a-1)$ кратно 2. Следовательно, и значение выражения $a^2 - a$ всегда кратно 2.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $a^2 - a$ можно представить в виде $a(a-1)$, что является произведением двух последовательных целых чисел. Так как одно из этих чисел всегда является четным, их произведение всегда кратно 2.

790. окажите, что если к целому числу прибавить его квадрат, то полученная сумма будет чётным числом.

Пусть $n$ — произвольное целое число. Нам необходимо доказать, что сумма этого числа и его квадрата, то есть выражение $n + n^2$, всегда является чётным числом.

Преобразуем данное выражение, вынеся общий множитель $n$ за скобки: $n + n^2 = n(n + 1)$.

Полученное выражение представляет собой произведение двух последовательных целых чисел: $n$ и $n + 1$. Для доказательства утверждения рассмотрим два возможных случая в зависимости от чётности числа $n$.

Случай 1: $n$ — чётное число.
Если $n$ является чётным, то его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда произведение $n(n + 1) = 2k(2k + 1)$ очевидно делится на 2, а значит, является чётным.

Случай 2: $n$ — нечётное число.
Если $n$ является нечётным, то следующее за ним число $n + 1$ будет чётным. Его можно представить в виде $n + 1 = 2m$, где $m$ — некоторое целое число. Тогда произведение $n(n + 1) = n \cdot 2m$ также делится на 2 и, следовательно, является чётным.

Поскольку любое целое число является либо чётным, либо нечётным, мы рассмотрели все возможные варианты. В каждом из них произведение $n(n+1)$, а следовательно и сумма $n + n^2$, является чётным числом.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма целого числа и его квадрата $n + n^2$ равна произведению двух последовательных целых чисел $n(n+1)$. Среди двух последовательных целых чисел одно всегда является чётным, поэтому их произведение всегда будет чётным числом.

791. Докажите, что разность чисел abc и cba, где а ≠ 0, с ≠ 0, кратна 11.

Для доказательства представим трехзначные числа $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ в виде суммы их разрядных слагаемых. В записи $\overline{abc}$ буква a обозначает количество сотен, b – количество десятков, а c – количество единиц.

Запись числа $\overline{abc}$ в виде многочлена:
$\overline{abc} = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c$

Аналогично, для числа $\overline{cba}$:
$\overline{cba} = c \cdot 100 + b \cdot 10 + a$

Условия $a \neq 0$ и $c \neq 0$ гарантируют, что оба числа являются трехзначными.

Теперь найдем разность этих чисел. Можно рассмотреть разность $\overline{abc} - \overline{cba}$ (результат для $\overline{cba} - \overline{abc}$ будет отличаться только знаком, что не влияет на кратность).
$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:
$100a + 10b + c - 100c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + (c - 100c)$

Упростим выражение:
$99a + 0b - 99c = 99a - 99c$

Вынесем общий множитель 99 за скобки:
$99(a - c)$

Чтобы доказать, что полученное выражение кратно 11, представим множитель 99 в виде произведения, где один из множителей равен 11:
$99 = 9 \cdot 11$

Тогда разность можно записать так:
$99(a - c) = 11 \cdot 9 \cdot (a - c)$

Поскольку a и c — это целые числа (цифры), то их разность $(a-c)$ также является целым числом. Значит, произведение $9 \cdot (a-c)$ — это целое число. Таким образом, разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ всегда является произведением числа 11 и некоторого целого числа $k = 9(a-c)$. Это по определению означает, что разность кратна 11.

Ответ: Разность чисел $\overline{abc}$ и $\overline{cba}$ равна $99(a-c)$, что можно представить как $11 \cdot 9(a-c)$. Так как один из множителей в произведении равен 11, все произведение делится на 11 без остатка.