Страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

764. Если к данному числу приписать справа цифру 9 и к полученному числу прибавить удвоенное данное число, то сумма будет равна 633. Найдите данное число.

Пусть искомое число — это $x$.

Когда мы приписываем к числу $x$ справа цифру 9, мы фактически умножаем исходное число на 10 и прибавляем 9. Например, если число было 12, то приписав 9, мы получим 129, что равно $12 \times 10 + 9$. Таким образом, новое число можно выразить формулой $10x + 9$.

Удвоенное данное число — это $2x$.

Согласно условию задачи, сумма полученного числа и удвоенного данного числа равна 633. Составим и решим уравнение:

$(10x + 9) + 2x = 633$

Сложим слагаемые, содержащие $x$:

$12x + 9 = 633$

Перенесем 9 в правую часть уравнения, поменяв знак на противоположный:

$12x = 633 - 9$

$12x = 624$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 12:

$x = \frac{624}{12}$

$x = 52$

Следовательно, данное число равно 52.

Сделаем проверку:

1. К числу 52 приписываем справа цифру 9, получаем число 529.

2. Удвоенное данное число: $2 \times 52 = 104$.

3. Складываем полученные числа: $529 + 104 = 633$.

Результат совпадает с условием, значит, задача решена верно.

Ответ: 52.

765. К трёхзначному числу слева приписали цифру 5 и из полученного четырёхзначного числа вычли 3032. Получилась разность, которая больше трёхзначного числа в 9 раз. Найдите это трёхзначное число.

Обозначим искомое трёхзначное число переменной $x$.

Когда к трёхзначному числу $x$ приписывают слева цифру 5, получается новое четырёхзначное число. Это действие математически эквивалентно прибавлению 5000 к исходному числу. Таким образом, новое число равно $5000 + x$.

Из полученного четырёхзначного числа вычитают 3032. Результат этой операции можно записать как $(5000 + x) - 3032$.

Согласно условию задачи, полученная разность в 9 раз больше исходного трёхзначного числа. На основе этого составим уравнение:

$(5000 + x) - 3032 = 9x$

Теперь решим это уравнение. Сначала выполним вычитание в левой части:

$5000 - 3032 = 1968$

Уравнение примет вид:

$1968 + x = 9x$

Перенесём слагаемое $x$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$1968 = 9x - x$

$1968 = 8x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:

$x = \frac{1968}{8}$

$x = 246$

Таким образом, искомое трёхзначное число — 246.

Выполним проверку:
1. Исходное число — 246.
2. Приписываем слева цифру 5, получаем число 5246.
3. Вычитаем 3032 из нового числа: $5246 - 3032 = 2214$.
4. Умножаем исходное число на 9: $246 \cdot 9 = 2214$.
Так как $2214 = 2214$, решение найдено верно.

Ответ: 246.

766. Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру переставить на первое место, то число увеличится на 324. Найдите это трёхзначное число.

Обозначим искомое трёхзначное число. Пусть $a$ — это цифра сотен, $b$ — цифра десятков. По условию, число оканчивается на 7, значит, цифра единиц равна 7. Тогда искомое число можно представить в виде $100a + 10b + 7$.

Если цифру 7 переставить на первое место, то получится новое число, у которого цифра сотен будет 7, цифра десятков — $a$, а цифра единиц — $b$. Это новое число можно записать как $700 + 10a + b$.

Согласно условию, новое число на 324 больше исходного. Это позволяет нам составить уравнение: $(100a + 10b + 7) + 324 = 700 + 10a + b$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть: $100a + 10b + 331 = 700 + 10a + b$

Перенесём все слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую: $100a - 10a + 10b - b = 700 - 331$

Приведём подобные слагаемые: $90a + 9b = 369$

Разделим обе части уравнения на 9, чтобы упростить его: $\frac{90a + 9b}{9} = \frac{369}{9}$ $10a + b = 41$

Выражение $10a + b$ представляет собой двузначное число, образованное первыми двумя цифрами исходного трёхзначного числа. Так как $a$ и $b$ — это цифры (целые числа от 0 до 9, причём $a \neq 0$), из уравнения $10a + b = 41$ однозначно следует, что $a = 4$ и $b = 1$.

Таким образом, искомое трёхзначное число состоит из цифр $a=4$, $b=1$ и $c=7$, то есть это число 417.

Выполним проверку: Исходное число — 417. Новое число, полученное перестановкой цифры 7 в начало, — 741. Разница между новым и исходным числом: $741 - 417 = 324$. Результат соответствует условию задачи.

Ответ: 417.

767. Преобразуйте произведение в многочлен:

а) Чтобы преобразовать данное произведение в многочлен, необходимо каждый член многочлена $(x^4 + 7x^2y^2 - 5y^4)$ умножить на одночлен $(-0,2xy^2)$, используя распределительное свойство умножения.

$(x^4 + 7x^2y^2 - 5y^4) \cdot (-0,2xy^2) = x^4 \cdot (-0,2xy^2) + 7x^2y^2 \cdot (-0,2xy^2) - 5y^4 \cdot (-0,2xy^2)$

Выполним умножение для каждого члена:

1. $x^4 \cdot (-0,2xy^2) = -0,2x^{4+1}y^2 = -0,2x^5y^2$

2. $7x^2y^2 \cdot (-0,2xy^2) = (7 \cdot (-0,2))x^{2+1}y^{2+2} = -1,4x^3y^4$

3. $-5y^4 \cdot (-0,2xy^2) = (-5 \cdot (-0,2))xy^{4+2} = 1xy^6 = xy^6$

Теперь сложим полученные одночлены, чтобы получить итоговый многочлен:

$-0,2x^5y^2 - 1,4x^3y^4 + xy^6$

Ответ: $-0,2x^5y^2 - 1,4x^3y^4 + xy^6$.

б) Умножим каждый член многочлена $(b^7 - \frac{1}{2}b^5c + \frac{2}{3}b^3c^3 - \frac{2}{5}c^5)$ на одночлен $(-30bc^3)$.

$(b^7 - \frac{1}{2}b^5c + \frac{2}{3}b^3c^3 - \frac{2}{5}c^5) \cdot (-30bc^3) = b^7(-30bc^3) - \frac{1}{2}b^5c(-30bc^3) + \frac{2}{3}b^3c^3(-30bc^3) - \frac{2}{5}c^5(-30bc^3)$

Вычислим каждое произведение:

1. $b^7 \cdot (-30bc^3) = -30b^{7+1}c^3 = -30b^8c^3$

2. $-\frac{1}{2}b^5c \cdot (-30bc^3) = (-\frac{1}{2} \cdot (-30))b^{5+1}c^{1+3} = 15b^6c^4$

3. $\frac{2}{3}b^3c^3 \cdot (-30bc^3) = (\frac{2}{3} \cdot (-30))b^{3+1}c^{3+3} = -20b^4c^6$

4. $-\frac{2}{5}c^5 \cdot (-30bc^3) = (-\frac{2}{5} \cdot (-30))bc^{5+3} = 12bc^8$

Сложим полученные одночлены:

$-30b^8c^3 + 15b^6c^4 - 20b^4c^6 + 12bc^8$

Ответ: $-30b^8c^3 + 15b^6c^4 - 20b^4c^6 + 12bc^8$.

в) Умножим каждый член многочлена $(\frac{1}{3}a^5b - ab + \frac{1}{7})$ на одночлен $(-21a^2b^2)$.

$(\frac{1}{3}a^5b - ab + \frac{1}{7}) \cdot (-21a^2b^2) = \frac{1}{3}a^5b(-21a^2b^2) - ab(-21a^2b^2) + \frac{1}{7}(-21a^2b^2)$

Вычислим каждое произведение:

1. $\frac{1}{3}a^5b \cdot (-21a^2b^2) = (\frac{1}{3} \cdot (-21))a^{5+2}b^{1+2} = -7a^7b^3$

2. $-ab \cdot (-21a^2b^2) = (-1 \cdot (-21))a^{1+2}b^{1+2} = 21a^3b^3$

3. $\frac{1}{7} \cdot (-21a^2b^2) = (\frac{1}{7} \cdot (-21))a^2b^2 = -3a^2b^2$

Объединяем результаты в многочлен:

$-7a^7b^3 + 21a^3b^3 - 3a^2b^2$

Ответ: $-7a^7b^3 + 21a^3b^3 - 3a^2b^2$.

г) Умножим каждый член многочлена $(0,5x^7y^{12} - 6xy - 1)$ на одночлен $(-\frac{1}{6}xy)$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$.

$(\frac{1}{2}x^7y^{12} - 6xy - 1) \cdot (-\frac{1}{6}xy) = \frac{1}{2}x^7y^{12}(-\frac{1}{6}xy) - 6xy(-\frac{1}{6}xy) - 1(-\frac{1}{6}xy)$

Вычислим каждое произведение:

1. $\frac{1}{2}x^7y^{12} \cdot (-\frac{1}{6}xy) = (\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{6}))x^{7+1}y^{12+1} = -\frac{1}{12}x^8y^{13}$

2. $-6xy \cdot (-\frac{1}{6}xy) = (-6 \cdot (-\frac{1}{6}))x^{1+1}y^{1+1} = 1x^2y^2 = x^2y^2$

3. $-1 \cdot (-\frac{1}{6}xy) = \frac{1}{6}xy$

Сложив полученные одночлены, получаем итоговый многочлен:

$-\frac{1}{12}x^8y^{13} + x^2y^2 + \frac{1}{6}xy$

Ответ: $-\frac{1}{12}x^8y^{13} + x^2y^2 + \frac{1}{6}xy$.

768. Упростите выражение:

а) $5(4x^2 - 2x + 1) - 2(10x^2 - 6x - 1)$

Чтобы упростить выражение, сначала раскроем скобки. Для этого умножим число перед скобками на каждый член внутри скобок, обращая внимание на знаки:

$5 \cdot 4x^2 + 5 \cdot (-2x) + 5 \cdot 1 - 2 \cdot 10x^2 - 2 \cdot (-6x) - 2 \cdot (-1) = 20x^2 - 10x + 5 - 20x^2 + 12x + 2$

Теперь приведем подобные слагаемые, то есть сгруппируем и сложим члены с одинаковой переменной в одинаковой степени:

$(20x^2 - 20x^2) + (-10x + 12x) + (5 + 2)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$0 \cdot x^2 + 2x + 7 = 2x + 7$

Ответ: $2x + 7$

б) $7(2y^2 - 5y - 3) - 4(3y^2 - 9y - 5)$

Раскроем скобки, умножив множители перед ними на каждый член многочлена в скобках:

$7 \cdot 2y^2 + 7 \cdot (-5y) + 7 \cdot (-3) - 4 \cdot 3y^2 - 4 \cdot (-9y) - 4 \cdot (-5) = 14y^2 - 35y - 21 - 12y^2 + 36y + 20$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(14y^2 - 12y^2) + (-35y + 36y) + (-21 + 20)$

Выполним вычисления:

$2y^2 + y - 1$

Ответ: $2y^2 + y - 1$

в) $a(3b - 1) - b(a - 3) - 2(ab - a + b)$

Раскроем все скобки в выражении, применяя распределительный закон умножения:

$a \cdot 3b + a \cdot (-1) - b \cdot a - b \cdot (-3) - 2 \cdot ab - 2 \cdot (-a) - 2 \cdot b = 3ab - a - ab + 3b - 2ab + 2a - 2b$

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их по переменным:

$(3ab - ab - 2ab) + (-a + 2a) + (3b - 2b)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$0 \cdot ab + a + b = a + b$

Ответ: $a + b$

г) $x^2(4 - y^2) + y^2(x^2 - 7) - 4x(x - 3)$

Раскроем скобки, выполнив умножение:

$x^2 \cdot 4 + x^2 \cdot (-y^2) + y^2 \cdot x^2 + y^2 \cdot (-7) - 4x \cdot x - 4x \cdot (-3) = 4x^2 - x^2y^2 + x^2y^2 - 7y^2 - 4x^2 + 12x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Члены $-x^2y^2$ и $+x^2y^2$ взаимно уничтожаются, так же как и члены $4x^2$ и $-4x^2$:

$(4x^2 - 4x^2) + (-x^2y^2 + x^2y^2) - 7y^2 + 12x$

Выполним вычисления:

$0 + 0 - 7y^2 + 12x = 12x - 7y^2$

Ответ: $12x - 7y^2$

769. Докажите, что при любых значениях переменной значение выражения:
а) 3(х² − х + 1) − 0,5х(4х − 6) является положительным числом;
б) у(2 + у − у²) − 23(6 + 3у + 1,5у²) является отрицательным числом.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения $3(x^2 - x + 1) - 0,5x(4x - 6)$ является положительным числом при любых значениях переменной $x$, необходимо упростить это выражение.

1. Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на множитель перед ними:
$3(x^2 - x + 1) = 3 \cdot x^2 - 3 \cdot x + 3 \cdot 1 = 3x^2 - 3x + 3$
$-0,5x(4x - 6) = -0,5x \cdot 4x - 0,5x \cdot (-6) = -2x^2 + 3x$

2. Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$(3x^2 - 3x + 3) + (-2x^2 + 3x) = 3x^2 - 3x + 3 - 2x^2 + 3x$
$(3x^2 - 2x^2) + (-3x + 3x) + 3 = x^2 + 0 + 3 = x^2 + 3$

3. Проанализируем полученное выражение $x^2 + 3$.
Выражение $x^2$ (квадрат любого действительного числа) всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
Следовательно, сумма $x^2 + 3$ всегда будет больше или равна $0 + 3 = 3$.
Так как $x^2 + 3 \ge 3$, а 3 — положительное число, то значение исходного выражения всегда положительно, что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $x^2 + 3$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 3 \ge 3$, следовательно, выражение всегда является положительным числом.

б)

Чтобы доказать, что значение выражения $y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2)$ является отрицательным числом при любых значениях переменной $y$, необходимо упростить это выражение.

1. Раскроем скобки. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $1,5$ как обыкновенную: $1,5 = \frac{3}{2}$.
$y(2 + y - y^3) = y \cdot 2 + y \cdot y - y \cdot y^3 = 2y + y^2 - y^4$
$-\frac{2}{3}(6 + 3y + \frac{3}{2}y^2) = -\frac{2}{3} \cdot 6 - \frac{2}{3} \cdot 3y - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}y^2 = -4 - 2y - y^2$

2. Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:
$(2y + y^2 - y^4) + (-4 - 2y - y^2) = 2y + y^2 - y^4 - 4 - 2y - y^2$
$(-y^4) + (y^2 - y^2) + (2y - 2y) - 4 = -y^4 + 0 + 0 - 4 = -y^4 - 4$

3. Проанализируем полученное выражение $-y^4 - 4$.
Выражение $y^4$ (любое действительное число в четной степени) всегда неотрицательно, то есть $y^4 \ge 0$ при любом значении $y$.
Если умножить это неравенство на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-y^4 \le 0$.
Следовательно, выражение $-y^4 - 4$ всегда будет меньше или равно $0 - 4 = -4$.
Так как $-y^4 - 4 \le -4$, а -4 — отрицательное число, то значение исходного выражения всегда отрицательно, что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $-y^4 - 4$. Так как $y^4 \ge 0$ для любого $y$, то $-y^4 \le 0$, и $-y^4 - 4 \le -4$, следовательно, выражение всегда является отрицательным числом.

770. Решите уравнение:

Исходное уравнение: $5(y + \frac{2}{3}) - 3 = 4(3y - \frac{1}{2})$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5y + 5 \cdot \frac{2}{3} - 3 = 4 \cdot 3y - 4 \cdot \frac{1}{2}$

$5y + \frac{10}{3} - 3 = 12y - 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части, представив 3 как $\frac{9}{3}$:

$5y + \frac{10}{3} - \frac{9}{3} = 12y - 2$

$5y + \frac{1}{3} = 12y - 2$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$\frac{1}{3} + 2 = 12y - 5y$

$\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = 7y$

$\frac{7}{3} = 7y$

Разделим обе части на 7, чтобы найти $y$:

$y = \frac{7}{3} \div 7 = \frac{7}{3 \cdot 7} = \frac{1}{3}$

Ответ: $y = \frac{1}{3}$

Исходное уравнение: $7(2y - 2) - 2(3y - 3,5) = 9$

Раскроем скобки:

$14y - 14 - 6y + 7 = 9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(14y - 6y) + (-14 + 7) = 9$

$8y - 7 = 9$

Перенесем свободный член в правую часть:

$8y = 9 + 7$

$8y = 16$

Найдем $y$, разделив обе части на 8:

$y = \frac{16}{8} = 2$

Ответ: $y = 2$

Исходное уравнение: $21,5(4x - 1) + 8(12,5 - 9x) = 82$

Раскроем скобки:

$21,5 \cdot 4x - 21,5 \cdot 1 + 8 \cdot 12,5 - 8 \cdot 9x = 82$

$86x - 21,5 + 100 - 72x = 82$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(86x - 72x) + (100 - 21,5) = 82$

$14x + 78,5 = 82$

Перенесем свободный член в правую часть:

$14x = 82 - 78,5$

$14x = 3,5$

Найдем $x$:

$x = \frac{3,5}{14} = \frac{35}{140} = \frac{1}{4} = 0,25$

Ответ: $x = 0,25$

Исходное уравнение: $12,5(3x - 1) + 132,4 = (2,8 - 4x) \cdot 0,5$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$37,5x - 12,5 + 132,4 = 1,4 - 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$37,5x + 119,9 = 1,4 - 2x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$37,5x + 2x = 1,4 - 119,9$

$39,5x = -118,5$

Найдем $x$:

$x = \frac{-118,5}{39,5} = \frac{-1185}{395} = -3$

Ответ: $x = -3$

Исходное уравнение: $\frac{3x+6}{2} - \frac{7x-14}{3} - \frac{x+1}{9} = 0$

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей. НОК(2, 3, 9) = 18.

Умножим обе части уравнения на 18, чтобы избавиться от знаменателей:

$18 \cdot \frac{3x+6}{2} - 18 \cdot \frac{7x-14}{3} - 18 \cdot \frac{x+1}{9} = 18 \cdot 0$

$9(3x+6) - 6(7x-14) - 2(x+1) = 0$

Раскроем скобки:

$27x + 54 - 42x + 84 - 2x - 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(27x - 42x - 2x) + (54 + 84 - 2) = 0$

$-17x + 136 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-17x = -136$

Найдем $x$:

$x = \frac{-136}{-17} = 8$

Ответ: $x = 8$

Исходное уравнение: $\frac{1-6x}{2} - \frac{2x+19}{12} = \frac{23-2x}{3}$

Найдем наименьший общий знаменатель. НОК(2, 12, 3) = 12.

Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \frac{1-6x}{2} - 12 \cdot \frac{2x+19}{12} = 12 \cdot \frac{23-2x}{3}$

$6(1-6x) - (2x+19) = 4(23-2x)$

Раскроем скобки:

$6 - 36x - 2x - 19 = 92 - 8x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-38x - 13 = 92 - 8x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$-13 - 92 = -8x + 38x$

$-105 = 30x$

Найдем $x$:

$x = \frac{-105}{30} = -\frac{105 \div 15}{30 \div 15} = -\frac{7}{2} = -3,5$

Ответ: $x = -3,5$