Страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

724. Представьте в виде произведения многочленов выражение:

а) Чтобы представить выражение $x(b + c) + 3b + 3c$ в виде произведения, сгруппируем последние два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель 3.

$x(b + c) + 3b + 3c = x(b + c) + 3(b + c)$

Теперь мы видим, что выражение представляет собой сумму двух слагаемых, у которых есть общий множитель $(b + c)$. Вынесем его за скобки.

$(b + c)(x + 3)$

Ответ: $(b + c)(x + 3)$

б) В выражении $y(a - c) + 5a - 5c$ сгруппируем последние два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель 5.

$y(a - c) + 5a - 5c = y(a - c) + 5(a - c)$

Общим множителем для обоих слагаемых является $(a - c)$. Вынесем его за скобки.

$(a - c)(y + 5)$

Ответ: $(a - c)(y + 5)$

в) Рассмотрим выражение $p(c - d) + c - d$. Слагаемое $c - d$ можно представить как $1 \cdot (c - d)$.

$p(c - d) + c - d = p(c - d) + 1 \cdot (c - d)$

Теперь видно, что общий множитель — это $(c - d)$. Вынесем его за скобки.

$(c - d)(p + 1)$

Ответ: $(c - d)(p + 1)$

г) В выражении $a(p - q) + q - p$ заметим, что слагаемое $q - p$ отличается от множителя $(p - q)$ только знаком. Мы можем вынести -1 за скобки из $q - p$.

$q - p = -(p - q) = -1 \cdot (p - q)$

Подставим это в исходное выражение:

$a(p - q) + q - p = a(p - q) - 1 \cdot (p - q)$

Теперь общий множитель $(p - q)$ можно вынести за скобки.

$(p - q)(a - 1)$

Ответ: $(p - q)(a - 1)$

725. Разложите на множители многочлен:

а) $mx + my + 6x + 6y$

Для разложения многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(mx + my) + (6x + 6y)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $m$, а во второй — общий множитель $6$:

$m(x + y) + 6(x + y)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(x + y)$, который мы также можем вынести за скобки:

$(x + y)(m + 6)$

Ответ: $(x + y)(m + 6)$.

б) $9x + ay + 9y + ax$

Сначала перегруппируем слагаемые так, чтобы в каждой группе был общий множитель:

$(9x + ax) + (9y + ay)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$, а во второй — общий множитель $y$:

$x(9 + a) + y(9 + a)$

Вынесем общий множитель $(9 + a)$ за скобки:

$(9 + a)(x + y)$

Ответ: $(9 + a)(x + y)$.

в) $7a - 7b + an - bn$

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(7a - 7b) + (an - bn)$

Вынесем общие множители из каждой группы: в первой — $7$, во второй — $n$:

$7(a - b) + n(a - b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(7 + n)$

Ответ: $(a - b)(7 + n)$.

г) $ax + ay - x - y$

Сгруппируем слагаемые:

$(ax + ay) + (-x - y)$

В первой группе вынесем за скобки $a$, а во второй группе вынесем за скобки $-1$, чтобы получить общий множитель в скобках:

$a(x + y) - 1(x + y)$

Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки:

$(x + y)(a - 1)$

Ответ: $(x + y)(a - 1)$.

д) $1 - bx - x + b$

Перегруппируем слагаемые для удобства разложения:

$(1 - x) + (b - bx)$

В первой группе общий множитель равен $1$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $b$:

$1(1 - x) + b(1 - x)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(1 - x)$:

$(1 - x)(1 + b)$

Ответ: $(1 - x)(1 + b)$.

е) $xy + 2y - 2x - 4$

Сгруппируем слагаемые:

$(xy + 2y) + (-2x - 4)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $y$, а во второй — общий множитель $-2$:

$y(x + 2) - 2(x + 2)$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$(x + 2)(y - 2)$

Ответ: $(x + 2)(y - 2)$.

726. Разложите на множители многочлен:

а) $ab - 8a - bx + 8x$

Для разложения многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое слагаемые.

$(ab - 8a) + (-bx + 8x)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-x$, чтобы получить в скобках такое же выражение, как и в первой группе.

$a(b - 8) - x(b - 8)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(b - 8)$. Вынесем его за скобки.

$(b - 8)(a - x)$

Ответ: $(b - 8)(a - x)$

б) $ax - b + bx - a$

Перегруппируем слагаемые для удобства разложения на множители. Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ и слагаемые с переменной $b$.

$(ax - a) + (bx - b)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $b$.

$a(x - 1) + b(x - 1)$

Общим множителем является выражение $(x - 1)$. Вынесем его за скобки.

$(x - 1)(a + b)$

Ответ: $(a + b)(x - 1)$

в) $ax - by + bx - ay$

Перегруппируем слагаемые, чтобы сгруппировать члены с одинаковыми переменными. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и слагаемые с переменной $y$.

$(ax + bx) + (-ay - by)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-y$.

$x(a + b) - y(a + b)$

Теперь у нас есть общий множитель $(a + b)$. Вынесем его за скобки.

$(a + b)(x - y)$

Ответ: $(a + b)(x - y)$

г) $ax - 3bx + ay - 3by$

Для разложения на множители сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое.

$(ax - 3bx) + (ay - 3by)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $y$.

$x(a - 3b) + y(a - 3b)$

Общим множителем для полученных слагаемых является $(a - 3b)$. Вынесем его за скобки.

$(a - 3b)(x + y)$

Ответ: $(a - 3b)(x + y)$

727. Разложите на множители многочлен:

а) $x^3 + x^2 + x + 1$

Для разложения многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$x^3 + x^2 + x + 1 = (x^3 + x^2) + (x + 1)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$x^2(x + 1) + 1(x + 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(x + 1)$, который также можно вынести за скобки:

$(x + 1)(x^2 + 1)$

Ответ: $(x + 1)(x^2 + 1)$

б) $y^5 - y^3 - y^2 + 1$

Сгруппируем слагаемые: первые два и последние два. Обратим внимание на знак перед второй скобкой.

$y^5 - y^3 - y^2 + 1 = (y^5 - y^3) - (y^2 - 1)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y^3(y^2 - 1) - 1(y^2 - 1)$

Вынесем общий множитель $(y^2 - 1)$ за скобки:

$(y^2 - 1)(y^3 - 1)$

Каждый из множителей в скобках можно разложить дальше, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и разность кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$(y - 1)(y + 1)(y - 1)(y^2 + y + 1)$

Соберем одинаковые множители:

$(y - 1)^2(y + 1)(y^2 + y + 1)$

Ответ: $(y - 1)^2(y + 1)(y^2 + y + 1)$

в) $a^4 + 2a^3 - a - 2$

Сгруппируем слагаемые:

$a^4 + 2a^3 - a - 2 = (a^4 + 2a^3) - (a + 2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^3(a + 2) - 1(a + 2)$

Вынесем общий множитель $(a + 2)$ за скобки:

$(a + 2)(a^3 - 1)$

Множитель $(a^3 - 1)$ является разностью кубов и может быть разложен:

$(a + 2)(a - 1)(a^2 + a + 1)$

Ответ: $(a + 2)(a - 1)(a^2 + a + 1)$

г) $b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6$

Сгруппируем слагаемые:

$b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6 = (b^6 - 3b^4) - (2b^2 - 6)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$b^4(b^2 - 3) - 2(b^2 - 3)$

Вынесем общий множитель $(b^2 - 3)$ за скобки:

$(b^2 - 3)(b^4 - 2)$

Ответ: $(b^2 - 3)(b^4 - 2)$

д) $a^2 - ab - 8a + 8b$

Сгруппируем слагаемые:

$a^2 - ab - 8a + 8b = (a^2 - ab) - (8a - 8b)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(a - b) - 8(a - b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(a - 8)$

Ответ: $(a - b)(a - 8)$

е) $ab - 3b + b^2 - 3a$

Для удобства перегруппируем слагаемые:

$ab - 3b + b^2 - 3a = (ab - 3a) + (b^2 - 3b)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(b - 3) + b(b - 3)$

Вынесем общий множитель $(b - 3)$ за скобки:

$(b - 3)(a + b)$

Ответ: $(b - 3)(a + b)$

ж) $11x - xy + 11y - x^2$

Перегруппируем слагаемые, чтобы сгруппировать члены с коэффициентом 11 и члены с переменной $x$:

$11x - xy + 11y - x^2 = (11x + 11y) - (xy + x^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$11(x + y) - x(y + x)$

Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки:

$(x + y)(11 - x)$

Ответ: $(x + y)(11 - x)$

з) $kn - mn - n^2 + mk$

Перегруппируем слагаемые для удобства:

$kn - mn - n^2 + mk = (kn + mk) - (mn + n^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$k(n + m) - n(m + n)$

Вынесем общий множитель $(n + m)$ за скобки:

$(n + m)(k - n)$

Ответ: $(n + m)(k - n)$

728. Представьте в виде произведения многочлен:

а) Для того чтобы разложить многочлен $mn - mk + xk - xn$ на множители, сгруппируем его члены. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым, вынеся из второй группы знак минус:

$(mn - mk) - (xn - xk)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $m$, а во второй — $x$:

$m(n - k) - x(n - k)$

Теперь мы видим общий множитель $(n - k)$, который также можно вынести за скобки:

$(n - k)(m - x)$

Ответ: $(n - k)(m - x)$.

б) Рассмотрим многочлен $x^2 + 7x - ax - 7a$. Сгруппируем его члены: первый со вторым и третий с четвертым.

$(x^2 + 7x) + (-ax - 7a)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $x$, а из второй $-a$:

$x(x + 7) - a(x + 7)$

Общим множителем является выражение $(x + 7)$. Вынесем его за скобки:

$(x + 7)(x - a)$

Ответ: $(x + 7)(x - a)$.

в) Разложим на множители многочлен $3m - mk + 3k - k^2$. Применим метод группировки:

$(3m - mk) + (3k - k^2)$

В первой группе вынесем за скобки $m$, а во второй — $k$:

$m(3 - k) + k(3 - k)$

Общий множитель $(3 - k)$ выносим за скобки:

$(3 - k)(m + k)$

Ответ: $(3 - k)(m + k)$.

г) Рассмотрим многочлен $xk - xy - x^2 + yk$. Для удобства разложения на множители перегруппируем его члены. Сгруппируем первый член с четвертым, а второй с третьим:

$(xk + yk) + (-xy - x^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $k$, а из второй $-x$:

$k(x + y) - x(y + x)$

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $y + x = x + y$. Теперь мы видим общий множитель $(x + y)$, который выносим за скобки:

$(x + y)(k - x)$

Ответ: $(x + y)(k - x)$.

729. Найдите значение выражения:
а) р²q² + pq − q³ − р³ при р = 0,5 и q = −0,5;
б) 3х³ − 2y³ − 6x²y² + ху при х = 23 и у = 12.

а) $p^2q^2 + pq - q^3 - p^3$ при $p = 0,5$ и $q = -0,5$

Прежде чем подставлять значения, упростим выражение. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$p^2q^2 + pq - q^3 - p^3 = (p^2q^2 + pq) - (p^3 + q^3)$

Вторую скобку можно разложить по формуле суммы кубов: $p^3 + q^3 = (p+q)(p^2 - pq + q^2)$. Найдем значение суммы $p+q$ при заданных значениях переменных:

$p+q = 0,5 + (-0,5) = 0$

Так как один из множителей равен нулю, то и все произведение равно нулю:

$p^3 + q^3 = 0 \cdot (p^2 - pq + q^2) = 0$

Таким образом, исходное выражение упрощается до:

$p^2q^2 + pq - 0 = p^2q^2 + pq$

Теперь найдем значение произведения $pq$:

$pq = 0,5 \cdot (-0,5) = -0,25$

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$p^2q^2 + pq = (pq)^2 + pq = (-0,25)^2 + (-0,25) = 0,0625 - 0,25 = -0,1875$

Ответ: $-0,1875$

б) $3x^3 - 2y^3 - 6x^2y^2 + xy$ при $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{1}{2}$

Для упрощения вычислений сгруппируем члены многочлена и разложим его на множители:

$3x^3 - 2y^3 - 6x^2y^2 + xy = (3x^3 - 6x^2y^2) + (xy - 2y^3)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$3x^2(x - 2y^2) + y(x - 2y^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2y^2)$ за скобки:

$(3x^2 + y)(x - 2y^2)$

Теперь подставим заданные значения $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{1}{2}$ в полученное выражение. Вычислим значение каждого множителя отдельно.

Первый множитель:

$3x^2 + y = 3 \cdot (\frac{2}{3})^2 + \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{4}{9} + \frac{1}{2} = \frac{4}{3} + \frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} + \frac{3}{6} = \frac{11}{6}$

Второй множитель:

$x - 2y^2 = \frac{2}{3} - 2 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{3} - \frac{2}{4} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$

Теперь перемножим значения множителей:

$(\frac{11}{6}) \cdot (\frac{1}{6}) = \frac{11}{36}$

Ответ: $\frac{11}{36}$

730. Чему равно значение выражения:
а) 2а + ас² − а²с − 2с при а = 113 и с = −123;
б) х²у − у + ху² − х при х = 4 и у = 0,25?

а) Чтобы найти значение выражения $2a + ac^2 - a^2c - 2c$, сначала упростим его, применив метод группировки. Сгруппируем слагаемые с общими множителями:
$ (2a - 2c) + (ac^2 - a^2c) $
Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп:
$ 2(a - c) - ac(a - c) $
Теперь мы видим общий множитель $(a-c)$, который также можно вынести за скобки:
$ (a - c)(2 - ac) $
Теперь подставим в полученное выражение числовые значения $a = 1\frac{1}{3}$ и $c = -1\frac{2}{3}$.
Для удобства вычислений переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$ a = 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3} $
$ c = -1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3} $
Теперь вычислим значение каждой из скобок отдельно:
$ a - c = \frac{4}{3} - (-\frac{5}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{4+5}{3} = \frac{9}{3} = 3 $
$ 2 - ac = 2 - \left(\frac{4}{3} \cdot (-\frac{5}{3})\right) = 2 - (-\frac{20}{9}) = 2 + \frac{20}{9} = \frac{18}{9} + \frac{20}{9} = \frac{38}{9} $
Наконец, перемножим результаты:
$ 3 \cdot \frac{38}{9} = \frac{3 \cdot 38}{9} = \frac{38}{3} = 12\frac{2}{3} $
Ответ: $12\frac{2}{3}$

б) Чтобы найти значение выражения $x^2y - y + xy^2 - x$, сначала упростим его, применив метод группировки. Сгруппируем слагаемые с общими множителями:
$ (x^2y + xy^2) - (x + y) $
Вынесем общие множители за скобки в первой группе:
$ xy(x + y) - 1(x + y) $
Теперь вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:
$ (x + y)(xy - 1) $
Теперь подставим в полученное выражение числовые значения $x = 4$ и $y = 0,25$.
Вычислим значение каждой из скобок отдельно:
$ x + y = 4 + 0,25 = 4,25 $
$ xy - 1 = 4 \cdot 0,25 - 1 = 1 - 1 = 0 $
Наконец, перемножим результаты:
$ 4,25 \cdot 0 = 0 $
Ответ: 0

731. Докажите тождество:
а) ах − у + х − ау = (х − у)(а + 1);
б) ах − 2bу + ау − 2bх = (а − 2b)(х + у).

а) $ax - y + x - ay = (x - y)(a + 1)$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Чтобы доказать тождество, нужно показать, что его левая и правая части равны. Мы преобразуем левую часть, используя метод группировки слагаемых.

Перегруппируем слагаемые в левой части выражения: сгруппируем члены, содержащие $a$, и члены, не содержащие $a$.

$ax - y + x - ay = (ax - ay) + (x - y)$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе общим множителем является $a$.

$a(x - y) + 1 \cdot (x - y)$

Мы видим, что теперь у нас есть общий множитель $(x - y)$, который мы также можем вынести за скобки.

$(x - y)(a + 1)$

В результате преобразования левая часть тождества стала равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) $ax - 2by + ay - 2bx = (a - 2b)(x + y)$

Для доказательства этого тождества также преобразуем его левую часть методом группировки.

Сгруппируем слагаемые, имеющие общие переменные. Сгруппируем члены, содержащие $x$, и члены, содержащие $y$.

$ax - 2by + ay - 2bx = (ax - 2bx) + (ay - 2by)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп. В первой группе это $x$, во второй — $y$.

$x(a - 2b) + y(a - 2b)$

Теперь у обоих слагаемых появился общий множитель $(a - 2b)$. Вынесем его за скобки.

$(a - 2b)(x + y)$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.