Страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

692. Запишите в виде выражения:
а) произведение разности а и b и их суммы;
б) сумму квадратов а и b;
в) квадрат суммы а и b;
г) разность квадратов b и с;
д) куб разности b и с;
е) сумму кубов b и с.

а) "Произведение разности $a$ и $b$ и их суммы" означает, что нужно умножить результат вычитания $b$ из $a$ на результат сложения $a$ и $b$. Разность $a$ и $b$ записывается как $(a - b)$. Сумма $a$ и $b$ записывается как $(a + b)$. Произведение этих двух выражений будет $(a - b)(a + b)$.

Ответ: $(a - b)(a + b)$

б) "Сумма квадратов $a$ и $b$" означает, что нужно сложить квадрат числа $a$ и квадрат числа $b$. Квадрат числа $a$ — это $a^2$. Квадрат числа $b$ — это $b^2$. Их сумма записывается как $a^2 + b^2$.

Ответ: $a^2 + b^2$

в) "Квадрат суммы $a$ и $b$" означает, что сначала нужно найти сумму чисел $a$ и $b$, а затем возвести результат в квадрат. Сумма $a$ и $b$ — это $(a + b)$. Квадрат этой суммы записывается как $(a + b)^2$.

Ответ: $(a + b)^2$

г) "Разность квадратов $b$ и $c$" означает, что нужно из квадрата числа $b$ вычесть квадрат числа $c$. Квадрат числа $b$ — это $b^2$. Квадрат числа $c$ — это $c^2$. Их разность записывается как $b^2 - c^2$.

Ответ: $b^2 - c^2$

д) "Куб разности $b$ и $c$" означает, что сначала нужно найти разность чисел $b$ и $c$, а затем возвести результат в куб (третью степень). Разность $b$ и $c$ — это $(b - c)$. Куб этой разности записывается как $(b - c)^3$.

Ответ: $(b - c)^3$

е) "Сумма кубов $b$ и $c$" означает, что нужно сложить куб числа $b$ и куб числа $c$. Куб числа $b$ — это $b^3$. Куб числа $c$ — это $c^3$. Их сумма записывается как $b^3 + c^3$.

Ответ: $b^3 + c^3$

1 Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения алгебраически сложить (то есть сложить с учётом их знаков).

Это правило основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения (и вычитания), которое в общем виде записывается так:
$a \cdot (b + c - d) = a \cdot b + a \cdot c - a \cdot d$

Алгоритм умножения одночлена на многочлен:
1. Умножьте одночлен на первый член многочлена.
2. Умножьте одночлен на второй член многочлена.
3. Продолжайте умножение, пока одночлен не будет умножен на все члены многочлена.
4. Запишите полученные произведения в виде суммы.
5. Если в полученном многочлене есть подобные члены (члены с одинаковой буквенной частью), приведите их (то есть сложите или вычтите их коэффициенты).

Пример:
Выполнить умножение одночлена $3a^2b$ на многочлен $(4ab^3 - 2a^2 + 5b)$.
$3a^2b \cdot (4ab^3 - 2a^2 + 5b)$

Шаг 1: Умножаем $3a^2b$ на первый член $4ab^3$.
$(3a^2b) \cdot (4ab^3) = (3 \cdot 4) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b^3) = 12a^{2+1}b^{1+3} = 12a^3b^4$

Шаг 2: Умножаем $3a^2b$ на второй член $-2a^2$.
$(3a^2b) \cdot (-2a^2) = (3 \cdot -2) \cdot (a^2 \cdot a^2) \cdot b = -6a^{2+2}b = -6a^4b$

Шаг 3: Умножаем $3a^2b$ на третий член $5b$.
$(3a^2b) \cdot (5b) = (3 \cdot 5) \cdot a^2 \cdot (b \cdot b) = 15a^2b^{1+1} = 15a^2b^2$

Шаг 4: Складываем полученные произведения.
$12a^3b^4 + (-6a^4b) + 15a^2b^2 = 12a^3b^4 - 6a^4b + 15a^2b^2$

В полученном многочлене $12a^3b^4 - 6a^4b + 15a^2b^2$ подобных членов нет, поэтому это является окончательным результатом.

Ответ: Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

ab и a + 4b

Чтобы преобразовать произведение одночлена и многочлена в многочлен, необходимо умножить одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Этот процесс основан на распределительном свойстве умножения.

Умножим одночлен $ab$ на многочлен $(a + 4b)$:

$ab \cdot (a + 4b) = ab \cdot a + ab \cdot 4b$

Теперь выполним умножение одночленов в каждом слагаемом, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$ab \cdot a = a^{1+1}b = a^2b$

$ab \cdot 4b = 4ab^{1+1} = 4ab^2$

Сложим полученные результаты:

$a^2b + 4ab^2$

Ответ: $a^2b + 4ab^2$

xy и x? + xy + y?

Аналогично первому случаю, умножим одночлен $xy$ на каждый член многочлена $(x^2 + xy + y^2)$:

$xy \cdot (x^2 + xy + y^2) = xy \cdot x^2 + xy \cdot xy + xy \cdot y^2$

Выполним умножение в каждом слагаемом:

$xy \cdot x^2 = x^{1+2}y = x^3y$

$xy \cdot xy = x^{1+1}y^{1+1} = x^2y^2$

$xy \cdot y^2 = xy^{1+2} = xy^3$

Сложим полученные одночлены:

$x^3y + x^2y^2 + xy^3$

Ответ: $x^3y + x^2y^2 + xy^3$

Разложением многочлена на множители называют тождественное преобразование, в результате которого многочлен, представляющий собой сумму одночленов, преобразуется в произведение двух или нескольких множителей. Этими множителями могут быть как многочлены, так и одночлены. Данное преобразование является обратным по отношению к операции умножения многочленов.

Например, умножение многочленов $(x+y)$ и $(x-y)$ дает в результате многочлен $x^2 - y^2$. Обратная операция, то есть представление многочлена $x^2 - y^2$ в виде произведения $(x-y)(x+y)$, и есть разложение на множители.

Существует несколько основных методов разложения многочлена на множители:

Вынесение общего множителя за скобки
Этот метод основан на распределительном свойстве умножения. Если каждый член многочлена имеет общий множитель, то его можно вынести за скобки.
Пример: В многочлене $14a^2b + 21ab^2$ общим множителем для обоих членов является $7ab$. Вынесем его за скобки:$14a^2b + 21ab^2 = 7ab \cdot 2a + 7ab \cdot 3b = 7ab(2a + 3b)$.

Метод группировки
Этот метод применяется, когда не все члены многочлена имеют общий множитель. В этом случае члены многочлена объединяют в группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, после чего появляется общий множитель уже для самих групп.
Пример: Разложим многочлен $ax + by + ay + bx$.$ax + by + ay + bx = (ax + ay) + (bx + by) = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)$.

Применение формул сокращенного умножения
Разложение выполняется с помощью известных алгебраических тождеств, применяемых в обратном порядке:
- Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
- Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
- Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
- Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
- Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
Пример: Разложим многочлен $25x^2 - 16$ с помощью формулы разности квадратов.$25x^2 - 16 = (5x)^2 - 4^2 = (5x-4)(5x+4)$.

Разложение на множители является важной операцией в алгебре, которая используется для упрощения выражений, решения уравнений и сокращения алгебраических дробей.

Ответ: Разложением многочлена на множители называют его представление в виде произведения двух или более многочленов.

Разложение многочлена $2xy - 6x^2$ на множители вынесением общего множителя за скобки — это процесс нахождения общих частей в каждом члене многочлена и их "выноса" за скобку. Этот процесс можно разбить на следующие шаги:

1. Нахождение общего множителя для коэффициентов.
Сначала рассмотрим числовые коэффициенты каждого члена многочлена: 2 у члена $2xy$ и 6 у члена $-6x^2$. Нам нужно найти их наибольший общий делитель (НОД).
НОД(2, 6) = 2.
Таким образом, числовая часть общего множителя — это 2.

2. Нахождение общего множителя для переменных.
Теперь рассмотрим переменные в каждом члене: $xy$ и $x^2$.
Первый член ($2xy$) содержит переменные $x$ в первой степени ($x^1$) и $y$ в первой степени ($y^1$).
Второй член ($-6x^2$) содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$).
Общей переменной для обоих членов является $x$. Чтобы найти общий множитель, мы берем общую переменную в наименьшей степени, в которой она встречается. Сравнивая $x^1$ и $x^2$, наименьшая степень — это $x^1$, или просто $x$.
Переменная $y$ не является общей, так как она присутствует только в первом члене, но отсутствует во втором.

3. Формирование общего множителя.
Общий множитель для всего многочлена — это произведение общей числовой части и общей переменной части.
Общий множитель = (НОД коэффициентов) $\cdot$ (Общие переменные в наименьшей степени) = $2 \cdot x = 2x$.

4. Вынесение общего множителя за скобки.
Этот шаг заключается в делении каждого члена исходного многочлена на найденный общий множитель ($2x$). Результаты деления записываются в скобках, а сам общий множитель ставится перед ними.
Делим первый член: $\frac{2xy}{2x} = y$.
Делим второй член: $\frac{-6x^2}{2x} = -3x$.
Собираем все вместе: $2xy - 6x^2 = 2x(y - 3x)$.

В результате мы представили многочлен в виде произведения общего множителя $2x$ и многочлена в скобках $(y - 3x)$. Проверить правильность можно, раскрыв скобки: $2x \cdot y - 2x \cdot 3x = 2xy - 6x^2$, что соответствует исходному выражению.

Ответ: Разложение многочлена $2xy - 6x^2$ на множители выполняется путем нахождения наибольшего общего множителя для его членов, который равен $2x$, и вынесения его за скобки. Для этого каждый член многочлена делится на $2x$, а результаты ($y$ и $-3x$) записываются в скобках, что приводит к выражению $2x(y-3x)$.