Страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

674. Вынесите за скобки общий множитель:

а) В выражении $a^2 + a$ необходимо найти общий множитель для обоих слагаемых. Представим $a^2$ как $a \cdot a$ и $a$ как $a \cdot 1$. Видно, что общим множителем является $a$. Вынесем его за скобки.
$a^2 + a = a \cdot a + a \cdot 1 = a(a + 1)$.
Ответ: $a(a+1)$

б) В выражении $x^3 - x^2$ общим множителем является степень переменной с наименьшим показателем, то есть $x^2$.
Представим выражение как $x^2 \cdot x - x^2 \cdot 1$.
Вынесем $x^2$ за скобки: $x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$.
Ответ: $x^2(x-1)$

в) В выражении $c^5 + c^7$ общим множителем является степень переменной с наименьшим показателем, то есть $c^5$.
Представим выражение как $c^5 \cdot 1 + c^5 \cdot c^2$.
Вынесем $c^5$ за скобки: $c^5 + c^7 = c^5(1 + c^2)$.
Ответ: $c^5(1+c^2)$

г) В выражении $a^3 - a^7$ общим множителем является $a^3$, так как это наименьшая степень переменной $a$ в данном выражении.
Представим выражение как $a^3 \cdot 1 - a^3 \cdot a^4$.
Вынесем $a^3$ за скобки: $a^3 - a^7 = a^3(1 - a^4)$.
Ответ: $a^3(1-a^4)$

д) В выражении $3m^2 + 9m^3$ найдем общий множитель для числовых коэффициентов и для переменных.
Наибольший общий делитель для чисел 3 и 9 это 3. Общий множитель для $m^2$ и $m^3$ это $m^2$. Таким образом, общий множитель для всего выражения — $3m^2$.
Вынесем его за скобки: $3m^2 + 9m^3 = 3m^2 \cdot 1 + 3m^2 \cdot 3m = 3m^2(1 + 3m)$.
Ответ: $3m^2(1+3m)$

е) В выражении $9p^3 - 8p$ найдем общий множитель. Для коэффициентов 9 и 8 наибольший общий делитель равен 1. Для переменных $p^3$ и $p$ общим множителем является $p$.
Следовательно, выносим за скобки $p$.
$9p^3 - 8p = p \cdot 9p^2 - p \cdot 8 = p(9p^2 - 8)$.
Ответ: $p(9p^2-8)$

ж) В выражении $4c^2 - 12c^4$ найдем общий множитель.
Наибольший общий делитель для коэффициентов 4 и 12 равен 4. Общий множитель для $c^2$ и $c^4$ — это $c^2$. Таким образом, общий множитель — $4c^2$.
Вынесем его за скобки: $4c^2 - 12c^4 = 4c^2 \cdot 1 - 4c^2 \cdot 3c^2 = 4c^2(1 - 3c^2)$.
Ответ: $4c^2(1-3c^2)$

з) В выражении $5x^5 - 15x^3$ найдем общий множитель.
Наибольший общий делитель для коэффициентов 5 и 15 равен 5. Общий множитель для $x^5$ и $x^3$ — это $x^3$. Таким образом, общий множитель — $5x^3$.
Вынесем его за скобки: $5x^5 - 15x^3 = 5x^3 \cdot x^2 - 5x^3 \cdot 3 = 5x^3(x^2 - 3)$.
Ответ: $5x^3(x^2-3)$

и) В выражении $-12y^4 - 16y$ оба члена отрицательны, поэтому удобно вынести за скобки отрицательный общий множитель.
Наибольший общий делитель для 12 и 16 равен 4. Общий множитель для $y^4$ и $y$ — это $y$. Вынесем за скобки $-4y$.
Разделим каждый член на $-4y$: $\frac{-12y^4}{-4y} = 3y^3$ и $\frac{-16y}{-4y} = 4$.
Получаем: $-12y^4 - 16y = -4y(3y^3 + 4)$.
Ответ: $-4y(3y^3+4)$

675. Представьте в виде произведения:

а) Чтобы представить выражение $14x + 21y$ в виде произведения, необходимо найти общий множитель для слагаемых. Наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 14 и 21 равен 7. Общих переменных у слагаемых нет. Вынесем общий множитель 7 за скобки: $14x + 21y = 7 \cdot 2x + 7 \cdot 3y = 7(2x + 3y)$.
Ответ: $7(2x + 3y)$

б) В выражении $15a + 10b$ найдем НОД для коэффициентов 15 и 10, который равен 5. Общих переменных у слагаемых нет. Вынесем 5 за скобки: $15a + 10b = 5 \cdot 3a + 5 \cdot 2b = 5(3a + 2b)$.
Ответ: $5(3a + 2b)$

в) В выражении $8ab - 6ac$ НОД для коэффициентов 8 и 6 равен 2. Также оба слагаемых содержат общую переменную $a$. Таким образом, общий множитель равен $2a$. Вынесем его за скобки: $8ab - 6ac = 2a \cdot 4b - 2a \cdot 3c = 2a(4b - 3c)$.
Ответ: $2a(4b - 3c)$

г) В выражении $9xa + 9xb$ общий числовой коэффициент равен 9, а общая переменная — $x$. Общий множитель равен $9x$. Выносим его за скобки: $9xa + 9xb = 9x(a + b)$.
Ответ: $9x(a + b)$

д) В выражении $6ab - 3a$ НОД для коэффициентов 6 и 3 равен 3. Общая переменная — $a$. Общий множитель равен $3a$. Вынесем его за скобки: $6ab - 3a = 3a \cdot 2b - 3a \cdot 1 = 3a(2b - 1)$.
Ответ: $3a(2b - 1)$

е) В выражении $4x - 12x^2$ НОД для коэффициентов 4 и 12 равен 4. Оба слагаемых содержат переменную $x$. Выносим за скобки $x$ в наименьшей степени, то есть $x^1=x$. Общий множитель равен $4x$. Получаем: $4x - 12x^2 = 4x \cdot 1 - 4x \cdot 3x = 4x(1 - 3x)$.
Ответ: $4x(1 - 3x)$

ж) В выражении $m^4 - m^2$ общий множитель — это переменная $m$ в наименьшей степени, то есть $m^2$. Вынесем $m^2$ за скобки: $m^4 - m^2 = m^2 \cdot m^2 - m^2 \cdot 1 = m^2(m^2 - 1)$.
Ответ: $m^2(m^2 - 1)$

з) В выражении $c^3 + c^4$ общий множитель — это переменная $c$ в наименьшей степени, то есть $c^3$. Вынесем $c^3$ за скобки: $c^3 + c^4 = c^3 \cdot 1 + c^3 \cdot c = c^3(1 + c)$.
Ответ: $c^3(1 + c)$

и) В выражении $7x - 14x^3$ НОД для коэффициентов 7 и 14 равен 7. Общий переменный множитель — $x$ в наименьшей степени, то есть $x$. Общий множитель всего выражения равен $7x$. Вынесем его за скобки: $7x - 14x^3 = 7x \cdot 1 - 7x \cdot 2x^2 = 7x(1 - 2x^2)$.
Ответ: $7x(1 - 2x^2)$

676. Найдите значение выражения:
а) 3,28x − x при x = 2,28;
б) а²y + а³ при а = −1,5 и у = −8,5;
в) ау² − у² при а = 8,8 и y = −1,2;
г) −mb − m² при m = 3,48 и b = 96,52.

а) Дано выражение $3,28x - x^2$ и значение $x = 2,28$. Для упрощения вычислений вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(3,28 - x)$. Теперь подставим значение $x$ в полученное выражение:
$2,28 \cdot (3,28 - 2,28) = 2,28 \cdot 1 = 2,28$.
Ответ: 2,28.

б) Дано выражение $a^2y + a^3$ и значения $a = -1,5$, $y = -8,5$. Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки: $a^2(y + a)$. Подставим значения переменных:
$(-1,5)^2 \cdot (-8,5 + (-1,5)) = 2,25 \cdot (-8,5 - 1,5) = 2,25 \cdot (-10) = -22,5$.
Ответ: -22,5.

в) Дано выражение $ay^2 - y^3$ и значения $a = 8,8$, $y = -1,2$. Вынесем общий множитель $y^2$ за скобки: $y^2(a - y)$. Подставим значения переменных:
$(-1,2)^2 \cdot (8,8 - (-1,2)) = 1,44 \cdot (8,8 + 1,2) = 1,44 \cdot 10 = 14,4$.
Ответ: 14,4.

г) Дано выражение $-mb - m^2$ и значения $m = 3,48$, $b = 96,52$. Вынесем общий множитель $-m$ за скобки: $-m(b + m)$. Подставим значения переменных:
$-3,48 \cdot (96,52 + 3,48) = -3,48 \cdot 100 = -348$.
Ответ: -348.

677. Решите уравнение:

а) Дано неполное квадратное уравнение $x^2 + 8x = 0$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 8) = 0$
Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два возможных случая:
1) $x_1 = 0$
2) $x + 8 = 0 \implies x_2 = -8$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; -8$.

б) Дано уравнение $5x^2 - x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5x - 1) = 0$
Приравняем каждый из множителей к нулю:
1) $x_1 = 0$
2) $5x - 1 = 0 \implies 5x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{5} = 0,2$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; 0,2$.

в) Дано уравнение $6y^2 - 30y = 0$. Вынесем за скобки общий множитель $6y$:
$6y(y - 5) = 0$
Приравняем каждый из множителей к нулю:
1) $6y = 0 \implies y_1 = 0$
2) $y - 5 = 0 \implies y_2 = 5$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; 5$.

г) Дано уравнение $3x^2 - 1,2x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x - 1,2) = 0$
Приравняем каждый из множителей к нулю:
1) $x_1 = 0$
2) $3x - 1,2 = 0 \implies 3x = 1,2 \implies x_2 = \frac{1,2}{3} = 0,4$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; 0,4$.

д) Дано уравнение $6x^2 - 0,5x = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(6x - 0,5) = 0$
Приравняем каждый из множителей к нулю:
1) $x_1 = 0$
2) $6x - 0,5 = 0 \implies 6x = 0,5 \implies x_2 = \frac{0,5}{6} = \frac{1/2}{6} = \frac{1}{12}$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; \frac{1}{12}$.

е) Дано уравнение $\frac{1}{4}y^2 + y = 0$. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(\frac{1}{4}y + 1) = 0$
Приравняем каждый из множителей к нулю:
1) $y_1 = 0$
2) $\frac{1}{4}y + 1 = 0 \implies \frac{1}{4}y = -1 \implies y_2 = -4$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; -4$.

ж) Дано уравнение $x - 10x^2 = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(1 - 10x) = 0$
Приравняем каждый из множителей к нулю:
1) $x_1 = 0$
2) $1 - 10x = 0 \implies 1 = 10x \implies x_2 = \frac{1}{10} = 0,1$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; 0,1$.

з) Дано уравнение $6x - 0,2x^2 = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(6 - 0,2x) = 0$
Приравняем каждый из множителей к нулю:
1) $x_1 = 0$
2) $6 - 0,2x = 0 \implies 6 = 0,2x \implies x_2 = \frac{6}{0,2} = \frac{60}{2} = 30$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; 30$.

и) Дано уравнение $y^2 + \frac{2}{3}y = 0$. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(y + \frac{2}{3}) = 0$
Приравняем каждый из множителей к нулю:
1) $y_1 = 0$
2) $y + \frac{2}{3} = 0 \implies y_2 = -\frac{2}{3}$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $0; -\frac{2}{3}$.

678. Найдите корни уравнения:

а) Дано уравнение $5x^2 + 3x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x = 0$

2) $5x + 3 = 0$

Решим второе уравнение:

$5x = -3$

$x = -3/5 = -0,6$

Таким образом, корни уравнения: $0$ и $-0,6$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -0,6$.

б) Дано уравнение $x^2 - 11x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 11) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x - 11 = 0$.

Из второго уравнения получаем $x = 11$.

Таким образом, корни уравнения: $0$ и $11$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 11$.

в) Дано уравнение $6x^2 - 3,6x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(6x - 3,6) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $6x - 3,6 = 0$.

Решим второе уравнение:

$6x = 3,6$

$x = 3,6 / 6 = 0,6$

Таким образом, корни уравнения: $0$ и $0,6$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 0,6$.

г) Дано уравнение $0,3x^2 - 3x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(0,3x - 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $0,3x - 3 = 0$.

Решим второе уравнение:

$0,3x = 3$

$x = 3 / 0,3 = 30 / 3 = 10$

Таким образом, корни уравнения: $0$ и $10$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 10$.

д) Дано уравнение $5x^2 - 0,8x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x - 0,8) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $5x - 0,8 = 0$.

Решим второе уравнение:

$5x = 0,8$

$x = 0,8 / 5 = 0,16$

Таким образом, корни уравнения: $0$ и $0,16$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 0,16$.

е) Дано уравнение $7x^2 - 0,28x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(7x - 0,28) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $7x - 0,28 = 0$.

Решим второе уравнение:

$7x = 0,28$

$x = 0,28 / 7 = 0,04$

Таким образом, корни уравнения: $0$ и $0,04$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 0,04$.

679. (Для работы в парах.) Докажите, что значение выражения:

1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто − задания б), г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.

3) Предложите друг другу составить задание, аналогичное заданию б).

а) Чтобы доказать, что значение выражения $16^5 + 16^4$ кратно 17, вынесем за скобки общий множитель $16^4$:

$16^5 + 16^4 = 16^4 \cdot 16^1 + 16^4 \cdot 1 = 16^4 \cdot (16 + 1) = 16^4 \cdot 17$.

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 17, то все выражение делится на 17 без остатка, то есть кратно 17. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $38^9 - 38^8$ кратно 37, вынесем за скобки общий множитель $38^8$:

$38^9 - 38^8 = 38^8 \cdot 38^1 - 38^8 \cdot 1 = 38^8 \cdot (38 - 1) = 38^8 \cdot 37$.

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 37, то все выражение делится на 37 без остатка, то есть кратно 37. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

в) Чтобы доказать, что значение выражения $36^5 - 6^9$ кратно 30, приведем степени к одному основанию 6, зная, что $36 = 6^2$:

$36^5 - 6^9 = (6^2)^5 - 6^9 = 6^{10} - 6^9$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $6^9$:

$6^{10} - 6^9 = 6^9 \cdot 6^1 - 6^9 \cdot 1 = 6^9 \cdot (6 - 1) = 6^9 \cdot 5$.

Нам нужно доказать кратность 30. Разложим 30 на множители: $30 = 5 \cdot 6$. Представим полученное выражение в виде произведения, содержащего 30:

$6^9 \cdot 5 = (6^8 \cdot 6) \cdot 5 = 6^8 \cdot (6 \cdot 5) = 6^8 \cdot 30$.

Так как один из множителей равен 30, то все выражение кратно 30. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

г) Чтобы доказать, что значение выражения $5^{18} - 25^8$ кратно 120, приведем степени к одному основанию 5, зная, что $25 = 5^2$:

$5^{18} - 25^8 = 5^{18} - (5^2)^8 = 5^{18} - 5^{16}$.

Вынесем за скобки общий множитель $5^{16}$:

$5^{18} - 5^{16} = 5^{16} \cdot 5^2 - 5^{16} \cdot 1 = 5^{16} \cdot (5^2 - 1) = 5^{16} \cdot (25 - 1) = 5^{16} \cdot 24$.

Нам нужно доказать кратность 120. Разложим 120 на множители: $120 = 5 \cdot 24$. Представим полученное выражение в виде произведения, содержащего 120:

$5^{16} \cdot 24 = (5^{15} \cdot 5) \cdot 24 = 5^{15} \cdot (5 \cdot 24) = 5^{15} \cdot 120$.

Так как один из множителей равен 120, то все выражение кратно 120. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

680. Разложите на множители:

а) Чтобы разложить на множители многочлен $x^5 + x^4 - x^3$, найдем общий множитель для всех его членов. Общим множителем является степень переменной $x$ с наименьшим показателем, то есть $x^3$. Вынесем $x^3$ за скобки:
$x^5 + x^4 - x^3 = x^3 \cdot x^{5-3} + x^3 \cdot x^{4-3} - x^3 \cdot x^{3-3} = x^3(x^2 + x^1 - x^0) = x^3(x^2 + x - 1)$.
Квадратный трехчлен $x^2 + x - 1$ не имеет целых корней, поэтому дальнейшее разложение в рамках целых чисел невозможно.
Ответ: $x^3(x^2 + x - 1)$.

б) Для многочлена $y^7 - y^5 - y^2$ общим множителем является степень переменной $y$ с наименьшим показателем, то есть $y^2$. Вынесем $y^2$ за скобки:
$y^7 - y^5 - y^2 = y^2 \cdot y^{7-2} - y^2 \cdot y^{5-2} - y^2 \cdot y^{2-2} = y^2(y^5 - y^3 - y^0) = y^2(y^5 - y^3 - 1)$.
Дальнейшее разложение выражения в скобках на простые множители затруднительно.
Ответ: $y^2(y^5 - y^3 - 1)$.

в) Для многочлена $a^4 + a^5 - a^8$ общим множителем является степень переменной $a$ с наименьшим показателем, то есть $a^4$. Вынесем $a^4$ за скобки:
$a^4 + a^5 - a^8 = a^4 \cdot a^{4-4} + a^4 \cdot a^{5-4} - a^4 \cdot a^{8-4} = a^4(a^0 + a^1 - a^4) = a^4(1 + a - a^4)$.
Для удобства можно записать члены в скобках в порядке убывания степеней: $a^4(-a^4 + a + 1)$.
Ответ: $a^4(1 + a - a^4)$.

г) Для многочлена $-b^{10} - b^{15} - b^{20}$ все члены отрицательны. Общим множителем является $-b$ в степени с наименьшим показателем, то есть $-b^{10}$. Вынесем $-b^{10}$ за скобки:
$-b^{10} - b^{15} - b^{20} = -b^{10}(1) - b^{10}(b^5) - b^{10}(b^{10}) = -b^{10}(1 + b^5 + b^{10})$.
Ответ: $-b^{10}(1 + b^5 + b^{10})$.

681. (Для работы в парах.) Докажите, что:
а) 7⁸ − 7⁷ + 7⁶ делится на 43;
б) 2¹³ − 2¹⁰ − 2⁹ делится на 13;
в) 27⁴ − 9⁵ + 3⁹ делится на 25;
г) 16⁴ − 2¹³ − 4⁵ делится на 110.
1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто − задания б), г), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
3) Обсудите, какие свойства делимости использованы при выполнении задания.

а) Чтобы доказать, что выражение $7^8 - 7^7 + 7^6$ делится на 43, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $7^6$:
$7^8 - 7^7 + 7^6 = 7^6(7^{8-6} - 7^{7-6} + 7^{6-6}) = 7^6(7^2 - 7^1 + 7^0)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$7^2 - 7 + 1 = 49 - 7 + 1 = 42 + 1 = 43$
Таким образом, исходное выражение равно $7^6 \cdot 43$. Поскольку один из множителей равен 43, все произведение делится на 43.
Ответ: выражение $7^8 - 7^7 + 7^6$ делится на 43.

б) Чтобы доказать, что выражение $2^{13} - 2^{10} - 2^9$ делится на 13, вынесем за скобки общий множитель $2^9$:
$2^{13} - 2^{10} - 2^9 = 2^9(2^{13-9} - 2^{10-9} - 2^{9-9}) = 2^9(2^4 - 2^1 - 2^0)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$2^4 - 2 - 1 = 16 - 2 - 1 = 13$
Исходное выражение равно $2^9 \cdot 13$. Так как один из множителей равен 13, все произведение делится на 13.
Ответ: выражение $2^{13} - 2^{10} - 2^9$ делится на 13.

в) Чтобы доказать, что выражение $27^4 - 9^5 + 3^9$ делится на 25, приведем все степени к одному основанию 3, зная, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$:
$27^4 - 9^5 + 3^9 = (3^3)^4 - (3^2)^5 + 3^9 = 3^{12} - 3^{10} + 3^9$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $3^9$:
$3^9(3^{12-9} - 3^{10-9} + 3^{9-9}) = 3^9(3^3 - 3^1 + 3^0)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$3^3 - 3 + 1 = 27 - 3 + 1 = 25$
Исходное выражение равно $3^9 \cdot 25$. Так как один из множителей равен 25, все произведение делится на 25.
Ответ: выражение $27^4 - 9^5 + 3^9$ делится на 25.

г) Чтобы доказать, что выражение $16^4 - 2^{13} - 4^5$ делится на 110, приведем все степени к одному основанию 2, зная, что $16 = 2^4$ и $4 = 2^2$:
$16^4 - 2^{13} - 4^5 = (2^4)^4 - 2^{13} - (2^2)^5 = 2^{16} - 2^{13} - 2^{10}$
Вынесем за скобки общий множитель $2^{10}$:
$2^{10}(2^{16-10} - 2^{13-10} - 2^{10-10}) = 2^{10}(2^6 - 2^3 - 2^0)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$2^6 - 2^3 - 1 = 64 - 8 - 1 = 55$
Исходное выражение равно $2^{10} \cdot 55$. Нам нужно доказать делимость на 110. Разложим 110 на множители: $110 = 11 \cdot 10 = 11 \cdot 5 \cdot 2$.
Представим наше выражение следующим образом:
$2^{10} \cdot 55 = 2^{10} \cdot 5 \cdot 11 = 2^9 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11 = 2^9 \cdot (2 \cdot 5 \cdot 11) = 2^9 \cdot 110$
Поскольку один из множителей равен 110, все произведение делится на 110.
Ответ: выражение $16^4 - 2^{13} - 4^5$ делится на 110.