Номер 679, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 9. Произведение одночлена и многочлена. 28. Вынесение общего множителя за скобки - номер 679, страница 145.

Условие.

679. (Для работы в парах.) Докажите, что значение выражения:

а) 16⁵ − 16⁴ кратно 17;
б) 38⁹ − 38⁸ кратно 37;

в) 36⁵ − 6⁹ кратно 30;
г) 5¹⁸ − 25⁸ кратно 120.

1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто − задания б), г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.

3) Предложите друг другу составить задание, аналогичное заданию б).

Решение 1.

а) 16⁵ + 16⁴ = 16⁴ ⋅ (16 + 1) =
= 17 ⋅ 16⁴;

б) 38⁹ - 38⁸ = 38⁸ ⋅ (38 - 1) =
= 37 ⋅ 38⁸;

в) 36⁵ - 6⁹ = (6²)⁵ - 6⁹ =
= 6¹⁰ - 6⁹ = 6⁹ ⋅ (6 - 1) =
= 5 ⋅ 6⁹ = 5 ⋅ 6 ⋅ 6⁸ = 30 ⋅ 6⁸;

г) 5¹⁸ - 25⁸ = 5¹⁸ - (5²)⁸ =
= 5¹⁸ - 5¹⁶ = 5¹⁶ ⋅ (5² - 1) =
= 5¹⁶ ⋅ (25 - 1) = 5¹⁶ ⋅ 24 =
= 5¹⁵ ⋅ 5 ⋅ 24 = 120 ⋅ 5¹⁵.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $16^5 + 16^4$ кратно 17, вынесем за скобки общий множитель $16^4$:

$16^5 + 16^4 = 16^4 \cdot 16^1 + 16^4 \cdot 1 = 16^4 \cdot (16 + 1) = 16^4 \cdot 17$.

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 17, то все выражение делится на 17 без остатка, то есть кратно 17. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $38^9 - 38^8$ кратно 37, вынесем за скобки общий множитель $38^8$:

$38^9 - 38^8 = 38^8 \cdot 38^1 - 38^8 \cdot 1 = 38^8 \cdot (38 - 1) = 38^8 \cdot 37$.

Поскольку один из множителей в полученном произведении равен 37, то все выражение делится на 37 без остатка, то есть кратно 37. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

в) Чтобы доказать, что значение выражения $36^5 - 6^9$ кратно 30, приведем степени к одному основанию 6, зная, что $36 = 6^2$:

$36^5 - 6^9 = (6^2)^5 - 6^9 = 6^{10} - 6^9$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $6^9$:

$6^{10} - 6^9 = 6^9 \cdot 6^1 - 6^9 \cdot 1 = 6^9 \cdot (6 - 1) = 6^9 \cdot 5$.

Нам нужно доказать кратность 30. Разложим 30 на множители: $30 = 5 \cdot 6$. Представим полученное выражение в виде произведения, содержащего 30:

$6^9 \cdot 5 = (6^8 \cdot 6) \cdot 5 = 6^8 \cdot (6 \cdot 5) = 6^8 \cdot 30$.

Так как один из множителей равен 30, то все выражение кратно 30. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

г) Чтобы доказать, что значение выражения $5^{18} - 25^8$ кратно 120, приведем степени к одному основанию 5, зная, что $25 = 5^2$:

$5^{18} - 25^8 = 5^{18} - (5^2)^8 = 5^{18} - 5^{16}$.

Вынесем за скобки общий множитель $5^{16}$:

$5^{18} - 5^{16} = 5^{16} \cdot 5^2 - 5^{16} \cdot 1 = 5^{16} \cdot (5^2 - 1) = 5^{16} \cdot (25 - 1) = 5^{16} \cdot 24$.

Нам нужно доказать кратность 120. Разложим 120 на множители: $120 = 5 \cdot 24$. Представим полученное выражение в виде произведения, содержащего 120:

$5^{16} \cdot 24 = (5^{15} \cdot 5) \cdot 24 = 5^{15} \cdot (5 \cdot 24) = 5^{15} \cdot 120$.

Так как один из множителей равен 120, то все выражение кратно 120. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.