Номер 685, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Вынесение общего множителя за скобки. § 9. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 685, страница 146.

685. Разложите на множитель многочлен:

а) 4c⁴ − 6x²c² + 8c;
б) 10a²x − 15a³ − 20a⁴x;

в) 3ax − 6ax² − 9a²x;
г) 8a⁴b³ − 12a²b⁴ + 16a³b².

а) Чтобы разложить многочлен $4c^4 - 6x^2c^2 + 8c$ на множители, найдем наибольший общий множитель для всех его членов. Наибольший общий делитель для коэффициентов 4, 6 и 8 равен 2. Переменная $c$ входит во все члены многочлена, её наименьшая степень равна 1. Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $2c$. Выполним вынесение общего множителя: $4c^4 - 6x^2c^2 + 8c = 2c \cdot (\frac{4c^4}{2c} - \frac{6x^2c^2}{2c} + \frac{8c}{2c}) = 2c(2c^3 - 3x^2c + 4)$. Дальнейшее разложение выражения в скобках невозможно. Ответ: $2c(2c^3 - 3x^2c + 4)$.

б) Рассмотрим многочлен $10a^2x - 15a^3 - 20a^4x$. Найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 10, 15 и 20 равен 5. Переменная $a$ входит во все члены, её наименьшая степень равна 2. Переменная $x$ входит не во все члены. Таким образом, общий множитель — это $5a^2$. Вынесем его за скобки: $10a^2x - 15a^3 - 20a^4x = 5a^2 \cdot (\frac{10a^2x}{5a^2} - \frac{15a^3}{5a^2} - \frac{20a^4x}{5a^2}) = 5a^2(2x - 3a - 4a^2x)$. Многочлен в скобках далее не раскладывается. Ответ: $5a^2(2x - 3a - 4a^2x)$.

в) В многочлене $3ax - 6ax^2 - 9a^2x$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 3, 6 и 9 равен 3. Переменная $a$ входит во все члены с наименьшей степенью 1. Переменная $x$ также входит во все члены с наименьшей степенью 1. Значит, общий множитель — это $3ax$. Вынесем его за скобки: $3ax - 6ax^2 - 9a^2x = 3ax \cdot (\frac{3ax}{3ax} - \frac{6ax^2}{3ax} - \frac{9a^2x}{3ax}) = 3ax(1 - 2x - 3a)$. Ответ: $3ax(1 - 2x - 3a)$.

г) Для многочлена $8a^4b^3 - 12a^2b^4 + 16a^3b^2$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 8, 12 и 16 равен 4. Переменная $a$ входит во все члены с наименьшей степенью 2. Переменная $b$ входит во все члены с наименьшей степенью 2. Общий множитель — $4a^2b^2$. Выполним вынесение за скобки: $8a^4b^3 - 12a^2b^4 + 16a^3b^2 = 4a^2b^2 \cdot (\frac{8a^4b^3}{4a^2b^2} - \frac{12a^2b^4}{4a^2b^2} + \frac{16a^3b^2}{4a^2b^2}) = 4a^2b^2(2a^2b - 3b^2 + 4a)$. Ответ: $4a^2b^2(2a^2b - 3b^2 + 4a)$.