Номер 681, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 9. Произведение одночлена и многочлена. 28. Вынесение общего множителя за скобки - номер 681, страница 145.

Условие.

681. (Для работы в парах.) Докажите, что:
а) 7⁸ − 7⁷ + 7⁶ делится на 43;
б) 2¹³ − 2¹⁰ − 2⁹ делится на 13;
в) 27⁴ − 9⁵ + 3⁹ делится на 25;
г) 16⁴ − 2¹³ − 4⁵ делится на 110.
1) Распределите, кто выполняет задания а), в), а кто − задания б), г), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
3) Обсудите, какие свойства делимости использованы при выполнении задания.

Решение 1.

а) 7⁸ - 7⁷ + 7⁶ = 7⁶(7² - 7 + 1) =
= 7⁶(49 - 7 + 1) = 7⁶ ⋅ 43;

б) 2¹³ - 2¹⁰ - 2⁹ = 2⁹(2⁴ - 2 - 1) =
= 2⁹ ⋅ 13;

в) 27⁴ - 9⁵ + 3⁹ = (3³)⁴ - (3²)⁵ + 3⁹ =
= 3¹² - 3¹⁰ + 3⁹ = 3⁹(3³ - 3 + 1) =
= 3⁹(27 - 3 + 1) = 3⁹ ⋅ 25;

г) 16⁴ - 2¹³ - 4⁵ = (2⁴)⁴ - 2¹³ - (2²)⁵ =
= 2¹⁶ - 2¹³ - 2¹⁰ = 2¹⁰(2⁶ - 2³ - 1) =
= 2¹⁰(64 - 8 - 1) = 2¹⁰ ⋅ 55 =
= 2⁹ ⋅ 2 ⋅ 55 = 2⁹ ⋅ 110.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что выражение $7^8 - 7^7 + 7^6$ делится на 43, вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $7^6$:
$7^8 - 7^7 + 7^6 = 7^6(7^{8-6} - 7^{7-6} + 7^{6-6}) = 7^6(7^2 - 7^1 + 7^0)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$7^2 - 7 + 1 = 49 - 7 + 1 = 42 + 1 = 43$
Таким образом, исходное выражение равно $7^6 \cdot 43$. Поскольку один из множителей равен 43, все произведение делится на 43.
Ответ: выражение $7^8 - 7^7 + 7^6$ делится на 43.

б) Чтобы доказать, что выражение $2^{13} - 2^{10} - 2^9$ делится на 13, вынесем за скобки общий множитель $2^9$:
$2^{13} - 2^{10} - 2^9 = 2^9(2^{13-9} - 2^{10-9} - 2^{9-9}) = 2^9(2^4 - 2^1 - 2^0)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$2^4 - 2 - 1 = 16 - 2 - 1 = 13$
Исходное выражение равно $2^9 \cdot 13$. Так как один из множителей равен 13, все произведение делится на 13.
Ответ: выражение $2^{13} - 2^{10} - 2^9$ делится на 13.

в) Чтобы доказать, что выражение $27^4 - 9^5 + 3^9$ делится на 25, приведем все степени к одному основанию 3, зная, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$:
$27^4 - 9^5 + 3^9 = (3^3)^4 - (3^2)^5 + 3^9 = 3^{12} - 3^{10} + 3^9$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $3^9$:
$3^9(3^{12-9} - 3^{10-9} + 3^{9-9}) = 3^9(3^3 - 3^1 + 3^0)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$3^3 - 3 + 1 = 27 - 3 + 1 = 25$
Исходное выражение равно $3^9 \cdot 25$. Так как один из множителей равен 25, все произведение делится на 25.
Ответ: выражение $27^4 - 9^5 + 3^9$ делится на 25.

г) Чтобы доказать, что выражение $16^4 - 2^{13} - 4^5$ делится на 110, приведем все степени к одному основанию 2, зная, что $16 = 2^4$ и $4 = 2^2$:
$16^4 - 2^{13} - 4^5 = (2^4)^4 - 2^{13} - (2^2)^5 = 2^{16} - 2^{13} - 2^{10}$
Вынесем за скобки общий множитель $2^{10}$:
$2^{10}(2^{16-10} - 2^{13-10} - 2^{10-10}) = 2^{10}(2^6 - 2^3 - 2^0)$
Вычислим значение выражения в скобках:
$2^6 - 2^3 - 1 = 64 - 8 - 1 = 55$
Исходное выражение равно $2^{10} \cdot 55$. Нам нужно доказать делимость на 110. Разложим 110 на множители: $110 = 11 \cdot 10 = 11 \cdot 5 \cdot 2$.
Представим наше выражение следующим образом:
$2^{10} \cdot 55 = 2^{10} \cdot 5 \cdot 11 = 2^9 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11 = 2^9 \cdot (2 \cdot 5 \cdot 11) = 2^9 \cdot 110$
Поскольку один из множителей равен 110, все произведение делится на 110.
Ответ: выражение $16^4 - 2^{13} - 4^5$ делится на 110.