Номер 682, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

682. Разложите на множители многочлен:

а) Чтобы разложить многочлен $x^3 - 3x^2 + x$ на множители, нужно вынести за скобки общий множитель. В данном случае общим множителем для всех членов является $x$.
Выносим $x$ за скобки: $x \cdot (x^2) - x \cdot (3x) + x \cdot 1 = x(x^2 - 3x + 1)$.
Квадратный трёхчлен $x^2 - 3x + 1$ не разлагается на множители с целыми коэффициентами, так как его дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5$ не является полным квадратом.
Ответ: $x(x^2 - 3x + 1)$.

б) В многочлене $m^2 - 2m^3 - m^4$ сначала расположим его члены в порядке убывания степеней: $-m^4 - 2m^3 + m^2$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем является $m^2$. Чтобы старший коэффициент в скобках был положительным, вынесем $-m^2$:
$-m^2(\frac{-m^4}{-m^2} + \frac{-2m^3}{-m^2} + \frac{m^2}{-m^2}) = -m^2(m^2 + 2m - 1)$.
Ответ: $-m^2(m^2 + 2m - 1)$.

в) В многочлене $4a^5 - 2a^3 + a$ общим множителем для всех членов является $a$. Вынесем его за скобки:
$a \cdot (4a^4) - a \cdot (2a^2) + a \cdot 1 = a(4a^4 - 2a^2 + 1)$.
Выражение в скобках $4a^4 - 2a^2 + 1$ является биквадратным. Проверим, можно ли его разложить. Пусть $y = a^2$, тогда получим квадратный трёхчлен $4y^2 - 2y + 1$. Его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12 < 0$, значит, он не разлагается на множители с действительными коэффициентами.
Ответ: $a(4a^4 - 2a^2 + 1)$.

г) В многочлене $6x^2 - 4x^3 + 10x^4$ сначала расположим его члены в порядке убывания степеней: $10x^4 - 4x^3 + 6x^2$.
Найдём общий множитель. Для коэффициентов 10, -4, 6 наибольший общий делитель (НОД) равен 2. Для переменных $x^4, x^3, x^2$ наименьшая степень – $x^2$. Таким образом, общий множитель – $2x^2$.
Выносим $2x^2$ за скобки: $2x^2(\frac{10x^4}{2x^2} - \frac{4x^3}{2x^2} + \frac{6x^2}{2x^2}) = 2x^2(5x^2 - 2x + 3)$.
Ответ: $2x^2(5x^2 - 2x + 3)$.

д) В многочлене $15a^3 - 9a^2 + 6a$ общим множителем является $3a$, так как НОД коэффициентов 15, -9, 6 равен 3, а наименьшая степень переменной $a$ – первая.
Выносим $3a$ за скобки: $3a(\frac{15a^3}{3a} - \frac{9a^2}{3a} + \frac{6a}{3a}) = 3a(5a^2 - 3a + 2)$.
Дискриминант квадратного трёхчлена $5a^2 - 3a + 2$ равен $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 - 40 = -31 < 0$, поэтому дальнейшее разложение невозможно.
Ответ: $3a(5a^2 - 3a + 2)$.

е) В многочлене $-3m^2 - 6m^3 + 12m^5$ сначала расположим его члены в порядке убывания степеней: $12m^5 - 6m^3 - 3m^2$.
Общий множитель для коэффициентов 12, -6, -3 – это 3. Общий множитель для переменных $m^5, m^3, m^2$ – это $m^2$. Таким образом, выносим за скобки $3m^2$.
$3m^2(\frac{12m^5}{3m^2} - \frac{6m^3}{3m^2} - \frac{3m^2}{3m^2}) = 3m^2(4m^3 - 2m - 1)$.
Ответ: $3m^2(4m^3 - 2m - 1)$.