Номер 688, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 9. Произведение одночлена и многочлена. 28. Вынесение общего множителя за скобки - номер 688, страница 146.

Условие.

688. Разложите на многочлен:

а) 8m(a − 3) + n(a − 3);
б) (p − 5) − q(p − 5);
в) x(y − 9) + y(9 − y);

г) 7(c + 2) + (c + 2)²;
д) (a − b)² − 3(b − a);
е) −(x + 2y) − 4(x + 2y)².

Решение 1.

а) 8m(a − 3) + n(a − 3) =
= (a - 3) (8m + n);

б) (p² − 5) − q(p² − 5) =
= (p² - 5) (1 - q);

в) x(y − 9) + y(9 − y) =
= x(y - 9) - y(y - 9) =
= (y - 9) (x - y);

г) 7(c + 2) + (c + 2)² =
= (c + 2) (7 + c + 2) =
= (c + 2) (c + 9);

д) (a − b)² − 3(b − a) =
= (a - b)² + 3(a - b) =
= (a - b) (a - b + 3);

е) −(x + 2y) − 4(x + 2y)² =
= (x + 2y) (-1 - 4(x + 2y)) =
= (x + 2y) (-1 - 4x - 8y) =
= -(x + 2y) (1 + 4x + 8y).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) В выражении $8m(a - 3) + n(a - 3)$ общим множителем для обоих слагаемых является двучлен $(a - 3)$. Вынесение общего множителя за скобки — это основное свойство распределительного закона умножения. Применим его.

$8m(a - 3) + n(a - 3) = (8m + n)(a - 3)$.

Ответ: $(8m + n)(a - 3)$.

б) В выражении $(p^2 - 5) - q(p^2 - 5)$ общий множитель — это выражение в скобках $(p^2 - 5)$. Первое слагаемое можно представить как $1 \cdot (p^2 - 5)$.

$(p^2 - 5) - q(p^2 - 5) = 1 \cdot (p^2 - 5) - q(p^2 - 5)$.

Вынесем общий множитель $(p^2 - 5)$ за скобки. В скобках останутся коэффициенты при этом множителе, то есть $1$ и $-q$.

$(1 - q)(p^2 - 5)$.

Ответ: $(1 - q)(p^2 - 5)$.

в) В выражении $x(y - 9) + y(9 - y)$ на первый взгляд нет общего множителя. Однако заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $(9 - y) = -(y - 9)$. Используем это тождество для преобразования второго слагаемого.

$x(y - 9) + y(9 - y) = x(y - 9) + y \cdot (-(y - 9)) = x(y - 9) - y(y - 9)$.

Теперь мы видим, что общим множителем является $(y - 9)$. Вынесем его за скобки.

$(x - y)(y - 9)$.

Ответ: $(x - y)(y - 9)$.

г) В выражении $7(c + 2) + (c + 2)^2$ общим множителем является $(c + 2)$. Второе слагаемое $(c + 2)^2$ можно представить как $(c + 2)(c + 2)$.

$7(c + 2) + (c + 2)(c + 2)$.

Вынесем общий множитель $(c + 2)$ за скобки. В скобках останется сумма того, что было умножено на $(c + 2)$ в каждом слагаемом.

$(c + 2)(7 + (c + 2))$.

Упростим выражение во второй скобке.

$(c + 2)(7 + c + 2) = (c + 2)(c + 9)$.

Ответ: $(c + 2)(c + 9)$.

д) В выражении $(a - b)^2 - 3(b - a)$ так же, как и в пункте в), выражения в скобках отличаются знаком: $(b - a) = -(a - b)$. Преобразуем второй член выражения.

$(a - b)^2 - 3(b - a) = (a - b)^2 - 3(-(a - b)) = (a - b)^2 + 3(a - b)$.

Теперь общим множителем является $(a - b)$. Вынесем его за скобки. Первое слагаемое $(a - b)^2$ равно $(a - b)(a - b)$.

$(a - b)((a - b) + 3)$.

Упростим выражение во второй скобке.

$(a - b)(a - b + 3)$.

Ответ: $(a - b)(a - b + 3)$.

е) В выражении $-(x + 2y) - 4(x + 2y)^2$ общим множителем является $(x + 2y)$. Также оба слагаемых имеют отрицательный знак. Удобно вынести за скобки $-(x + 2y)$.

$-(x + 2y) - 4(x + 2y)^2 = -(x + 2y) \cdot 1 - (x + 2y) \cdot 4(x + 2y)$.

Вынесем $-(x + 2y)$ за скобки. От первого слагаемого останется $1$, от второго $4(x + 2y)$.

$-(x + 2y)(1 + 4(x + 2y))$.

Раскроем скобки внутри второй скобки и приведем подобные.

$-(x + 2y)(1 + 4x + 8y)$.

Ответ: $-(x + 2y)(1 + 4x + 8y)$.