Номер 3, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 9. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 3, страница 147.

3 Какое преобразование называют разложением многочлена на множители?

Разложением многочлена на множители называют тождественное преобразование, в результате которого многочлен, представляющий собой сумму одночленов, преобразуется в произведение двух или нескольких множителей. Этими множителями могут быть как многочлены, так и одночлены. Данное преобразование является обратным по отношению к операции умножения многочленов.

Например, умножение многочленов $(x+y)$ и $(x-y)$ дает в результате многочлен $x^2 - y^2$. Обратная операция, то есть представление многочлена $x^2 - y^2$ в виде произведения $(x-y)(x+y)$, и есть разложение на множители.

Существует несколько основных методов разложения многочлена на множители:

Вынесение общего множителя за скобки
Этот метод основан на распределительном свойстве умножения. Если каждый член многочлена имеет общий множитель, то его можно вынести за скобки.
Пример: В многочлене $14a^2b + 21ab^2$ общим множителем для обоих членов является $7ab$. Вынесем его за скобки:$14a^2b + 21ab^2 = 7ab \cdot 2a + 7ab \cdot 3b = 7ab(2a + 3b)$.

Метод группировки
Этот метод применяется, когда не все члены многочлена имеют общий множитель. В этом случае члены многочлена объединяют в группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, после чего появляется общий множитель уже для самих групп.
Пример: Разложим многочлен $ax + by + ay + bx$.$ax + by + ay + bx = (ax + ay) + (bx + by) = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)$.

Применение формул сокращенного умножения
Разложение выполняется с помощью известных алгебраических тождеств, применяемых в обратном порядке:
- Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
- Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
- Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
- Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
- Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
Пример: Разложим многочлен $25x^2 - 16$ с помощью формулы разности квадратов.$25x^2 - 16 = (5x)^2 - 4^2 = (5x-4)(5x+4)$.

Разложение на множители является важной операцией в алгебре, которая используется для упрощения выражений, решения уравнений и сокращения алгебраических дробей.

Ответ: Разложением многочлена на множители называют его представление в виде произведения двух или более многочленов.