Номер 696, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. § 10. Произведение многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 696, страница 149.

696. Запишите в виде многочлена выражение:

а) (x² + y)(x + y²);
б) (m² − n)(m² + 2n²);
в) (4a² + b²)(3a² − b²);

г) (5x² − 4x)(x + 1);
д) (a − 2)(4a³ − 3a²);
е) (7p² − 2p)(8p − 5).

а) Чтобы записать выражение $(x^2 + y)(x + y^2)$ в виде многочлена, необходимо каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго двучлена и сложить полученные произведения. Этот процесс также известен как раскрытие скобок.

$(x^2 + y)(x + y^2) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot y^2 + y \cdot x + y \cdot y^2$

Выполним умножение одночленов:

$x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$

$x^2 \cdot y^2 = x^2y^2$

$y \cdot x = xy$

$y \cdot y^2 = y^{1+2} = y^3$

Теперь сложим полученные результаты:

$x^3 + x^2y^2 + xy + y^3$

В получившемся многочлене нет подобных слагаемых, поэтому это окончательный вид.

Ответ: $x^3 + x^2y^2 + xy + y^3$.

б) Аналогично раскроем скобки в выражении $(m^2 - n)(m^2 + 2n^2)$:

$(m^2 - n)(m^2 + 2n^2) = m^2 \cdot m^2 + m^2 \cdot 2n^2 - n \cdot m^2 - n \cdot 2n^2$

Выполним умножение:

$m^2 \cdot m^2 = m^{2+2} = m^4$

$m^2 \cdot 2n^2 = 2m^2n^2$

$-n \cdot m^2 = -m^2n$

$-n \cdot 2n^2 = -2n^{1+2} = -2n^3$

Сложим полученные одночлены:

$m^4 + 2m^2n^2 - m^2n - 2n^3$

Подобных слагаемых нет.

Ответ: $m^4 + 2m^2n^2 - m^2n - 2n^3$.

в) Раскроем скобки в выражении $(4a^2 + b^2)(3a^2 - b^2)$:

$(4a^2 + b^2)(3a^2 - b^2) = 4a^2 \cdot 3a^2 + 4a^2 \cdot (-b^2) + b^2 \cdot 3a^2 + b^2 \cdot (-b^2)$

Выполним умножение:

$12a^{2+2} - 4a^2b^2 + 3a^2b^2 - b^{2+2} = 12a^4 - 4a^2b^2 + 3a^2b^2 - b^4$

Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $a^2b^2$):

$-4a^2b^2 + 3a^2b^2 = (-4 + 3)a^2b^2 = -1a^2b^2 = -a^2b^2$

Запишем итоговый многочлен:

$12a^4 - a^2b^2 - b^4$

Ответ: $12a^4 - a^2b^2 - b^4$.

г) Раскроем скобки в выражении $(5x^2 - 4x)(x + 1)$:

$(5x^2 - 4x)(x + 1) = 5x^2 \cdot x + 5x^2 \cdot 1 - 4x \cdot x - 4x \cdot 1$

Выполним умножение:

$5x^{2+1} + 5x^2 - 4x^{1+1} - 4x = 5x^3 + 5x^2 - 4x^2 - 4x$

Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x^2$):

$5x^2 - 4x^2 = (5 - 4)x^2 = 1x^2 = x^2$

Запишем итоговый многочлен:

$5x^3 + x^2 - 4x$

Ответ: $5x^3 + x^2 - 4x$.

д) Раскроем скобки в выражении $(a - 2)(4a^3 - 3a^2)$:

$(a - 2)(4a^3 - 3a^2) = a \cdot 4a^3 + a \cdot (-3a^2) - 2 \cdot 4a^3 - 2 \cdot (-3a^2)$

Выполним умножение:

$4a^{1+3} - 3a^{1+2} - 8a^3 + 6a^2 = 4a^4 - 3a^3 - 8a^3 + 6a^2$

Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $a^3$):

$-3a^3 - 8a^3 = (-3 - 8)a^3 = -11a^3$

Запишем итоговый многочлен:

$4a^4 - 11a^3 + 6a^2$

Ответ: $4a^4 - 11a^3 + 6a^2$.

е) Раскроем скобки в выражении $(7p^2 - 2p)(8p - 5)$:

$(7p^2 - 2p)(8p - 5) = 7p^2 \cdot 8p + 7p^2 \cdot (-5) - 2p \cdot 8p - 2p \cdot (-5)$

Выполним умножение:

$56p^{2+1} - 35p^2 - 16p^{1+1} + 10p = 56p^3 - 35p^2 - 16p^2 + 10p$

Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $p^2$):

$-35p^2 - 16p^2 = (-35 - 16)p^2 = -51p^2$

Запишем итоговый многочлен:

$56p^3 - 51p^2 + 10p$

Ответ: $56p^3 - 51p^2 + 10p$.