Номер 699, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 10. Произведение многочленов. 29. Умножение многочлена на многочлен - номер 699, страница 149.

Условие.

699. Представьте в виде многочлена выражение:

a) (x² + xy − y² )(x + y);
б) (n² − nр + р²)(n − р);
в) (a + x)(a² − ax − x²);
г) (b − c)(b² − bc − c²);

д) (a² − 2a + 3)(a − 4);
е) (5x − 2)(x² − x − 1);
ж) (2 − 2x + x²)(x + 5);
з) (3y − 4)(y² − y + 1).

Решение 1.

a) (x² + xy − y² )(x + y) =
= x³ + x²y + x²y + xy² - xy² - y³ =
= x³ + 2x²y - y³;

б) (n² − nр + р²)(n − р) =
= n³ - n²p - n²p + np² + np² - p³ =
= n³ - 2n²p + 2np² - p³;

в) (a + x)(a² − ax − x²) =
= a³ - a²x - ax² + a²x - ax² - x³ =
= a³ - 2ax² - x³;

г) (b − c)(b² − bc − c²) =
= b³ - b²c - bc² - b²c + bc² + c³ =
= b³ - 2b²c + c³;

д) (a² − 2a + 3)(a − 4) =
= a³ - 4a² - 2a² + 8a + 3a - 12 =
= a³ - 6a² + 11a - 12;

е) (5x − 2)(x² − x − 1) =
= 5x³ - 5x² - 5x - 2x² + 2x + 2 =
= 5x³ - 7x² - 3x + 2;

ж) (2 − 2x + x²)(x + 5) =
= 2x + 10 - 2x² - 10x + x³ + 5x² =
= x³ + 3x² - 8x + 10;

з) (3y − 4)(y² − y + 1) =
= 3y³ - 3y² + 3y - 4y² + 4y - 4 =
= 3y³ - 7y² + 7y - 4.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $(x^2 + xy - y^2)(x + y)$ в виде многочлена, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и затем привести подобные слагаемые.

$(x^2 + xy - y^2)(x + y) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot y + xy \cdot x + xy \cdot y - y^2 \cdot x - y^2 \cdot y = x^3 + x^2y + x^2y + xy^2 - xy^2 - y^3$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$x^3 + (x^2y + x^2y) + (xy^2 - xy^2) - y^3 = x^3 + 2x^2y - y^3$

Ответ: $x^3 + 2x^2y - y^3$

б) Умножим многочлен $(n^2 - np + p^2)$ на двучлен $(n - p)$:

$(n^2 - np + p^2)(n - p) = n^2 \cdot n + n^2 \cdot (-p) - np \cdot n - np \cdot (-p) + p^2 \cdot n + p^2 \cdot (-p) = n^3 - n^2p - n^2p + np^2 + np^2 - p^3$

Приведем подобные слагаемые:

$n^3 + (-n^2p - n^2p) + (np^2 + np^2) - p^3 = n^3 - 2n^2p + 2np^2 - p^3$

Ответ: $n^3 - 2n^2p + 2np^2 - p^3$

в) Умножим двучлен $(a + x)$ на многочлен $(a^2 - ax - x^2)$:

$(a + x)(a^2 - ax - x^2) = a \cdot a^2 + a \cdot (-ax) + a \cdot (-x^2) + x \cdot a^2 + x \cdot (-ax) + x \cdot (-x^2) = a^3 - a^2x - ax^2 + a^2x - ax^2 - x^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-a^2x + a^2x) + (-ax^2 - ax^2) - x^3 = a^3 - 2ax^2 - x^3$

Ответ: $a^3 - 2ax^2 - x^3$

г) Умножим двучлен $(b - c)$ на многочлен $(b^2 - bc - c^2)$:

$(b - c)(b^2 - bc - c^2) = b \cdot b^2 + b \cdot (-bc) + b \cdot (-c^2) - c \cdot b^2 - c \cdot (-bc) - c \cdot (-c^2) = b^3 - b^2c - bc^2 - b^2c + bc^2 + c^3$

Приведем подобные слагаемые:

$b^3 + (-b^2c - b^2c) + (-bc^2 + bc^2) + c^3 = b^3 - 2b^2c + c^3$

Ответ: $b^3 - 2b^2c + c^3$

д) Умножим многочлен $(a^2 - 2a + 3)$ на двучлен $(a - 4)$:

$(a^2 - 2a + 3)(a - 4) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot (-4) - 2a \cdot a - 2a \cdot (-4) + 3 \cdot a + 3 \cdot (-4) = a^3 - 4a^2 - 2a^2 + 8a + 3a - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-4a^2 - 2a^2) + (8a + 3a) - 12 = a^3 - 6a^2 + 11a - 12$

Ответ: $a^3 - 6a^2 + 11a - 12$

е) Умножим двучлен $(5x - 2)$ на многочлен $(x^2 - x - 1)$:

$(5x - 2)(x^2 - x - 1) = 5x \cdot x^2 + 5x \cdot (-x) + 5x \cdot (-1) - 2 \cdot x^2 - 2 \cdot (-x) - 2 \cdot (-1) = 5x^3 - 5x^2 - 5x - 2x^2 + 2x + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^3 + (-5x^2 - 2x^2) + (-5x + 2x) + 2 = 5x^3 - 7x^2 - 3x + 2$

Ответ: $5x^3 - 7x^2 - 3x + 2$

ж) Умножим многочлен $(2 - 2x + x^2)$ на двучлен $(x + 5)$. Для удобства можно поменять множители местами и упорядочить члены первого многочлена:

$(x^2 - 2x + 2)(x + 5) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot 5 - 2x \cdot x - 2x \cdot 5 + 2 \cdot x + 2 \cdot 5 = x^3 + 5x^2 - 2x^2 - 10x + 2x + 10$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (5x^2 - 2x^2) + (-10x + 2x) + 10 = x^3 + 3x^2 - 8x + 10$

Ответ: $x^3 + 3x^2 - 8x + 10$

з) Умножим двучлен $(3y - 4)$ на многочлен $(y^2 - y + 1)$:

$(3y - 4)(y^2 - y + 1) = 3y \cdot y^2 + 3y \cdot (-y) + 3y \cdot 1 - 4 \cdot y^2 - 4 \cdot (-y) - 4 \cdot 1 = 3y^3 - 3y^2 + 3y - 4y^2 + 4y - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$3y^3 + (-3y^2 - 4y^2) + (3y + 4y) - 4 = 3y^3 - 7y^2 + 7y - 4$

Ответ: $3y^3 - 7y^2 + 7y - 4$