Страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

693. Выполните умножение:
а) (х + m)(у + n);
б) (а − b)(х + у);
в) (а − х)(b − у);
г) (х + 8)(у − 1);
д) (b − 3)(а − 2);
е) (−а + у)(−1 − у).

а) Чтобы выполнить умножение двух многочленов, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и сложить полученные произведения. Для выражения $(x + m)(y + n)$ это выглядит так:
$(x + m)(y + n) = x \cdot y + x \cdot n + m \cdot y + m \cdot n = xy + xn + my + mn$.
В полученном многочлене нет подобных слагаемых, поэтому это и есть окончательный ответ.
Ответ: $xy + xn + my + mn$.

б) Выполним умножение многочленов $(a - b)$ и $(x + y)$, учитывая знаки при членах.
$(a - b)(x + y) = a \cdot x + a \cdot y + (-b) \cdot x + (-b) \cdot y = ax + ay - bx - by$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $ax + ay - bx - by$.

в) Умножим $(a - x)$ на $(b - y)$. Особое внимание уделим знакам при раскрытии скобок.
$(a - x)(b - y) = a \cdot b + a \cdot (-y) + (-x) \cdot b + (-x) \cdot (-y) = ab - ay - bx + xy$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $ab - ay - bx + xy$.

г) Умножим $(x + 8)$ на $(y - 1)$.
$(x + 8)(y - 1) = x \cdot y + x \cdot (-1) + 8 \cdot y + 8 \cdot (-1) = xy - x + 8y - 8$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $xy - x + 8y - 8$.

д) Умножим $(b - 3)$ на $(a - 2)$.
$(b - 3)(a - 2) = b \cdot a + b \cdot (-2) + (-3) \cdot a + (-3) \cdot (-2) = ba - 2b - 3a + 6$.
Для удобства и приведения к стандартному виду, запишем члены в алфавитном порядке: $ab - 3a - 2b + 6$.
Ответ: $ab - 3a - 2b + 6$.

е) Выполним умножение $(-a + y)$ на $(-1 - y)$, внимательно следя за знаками.
$(-a + y)(-1 - y) = (-a) \cdot (-1) + (-a) \cdot (-y) + y \cdot (-1) + y \cdot (-y) = a + ay - y - y^2$.
Подобные слагаемые в итоговом выражении отсутствуют.
Ответ: $a + ay - y - y^2$.

694. Упростите выражение:
а) (х + 6)(х + 5);
б) (а − 4)(а + 1);
в) (2 − у)(у − 8);
г) (а − 4)(2а + 1);
д) (2у − 1)(3у + 2);
е) (5х − 3)(4 + 3х).

а) Чтобы упростить выражение, необходимо умножить каждый член первого многочлена (в первой скобке) на каждый член второго многочлена (во второй скобке) и сложить полученные произведения.
$(x+6)(x+5) = x \cdot x + x \cdot 5 + 6 \cdot x + 6 \cdot 5 = x^2 + 5x + 6x + 30$
Далее приводим подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью):
$x^2 + (5x + 6x) + 30 = x^2 + 11x + 30$
Ответ: $x^2 + 11x + 30$

б) Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:
$(a-4)(a+1) = a \cdot a + a \cdot 1 - 4 \cdot a - 4 \cdot 1 = a^2 + a - 4a - 4$
Приводим подобные слагаемые:
$a^2 + (1-4)a - 4 = a^2 - 3a - 4$
Ответ: $a^2 - 3a - 4$

в) Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:
$(2-y)(y-8) = 2 \cdot y + 2 \cdot (-8) - y \cdot y - y \cdot (-8) = 2y - 16 - y^2 + 8y$
Приводим подобные слагаемые и для стандартного вида располагаем члены в порядке убывания степеней переменной:
$-y^2 + (2y + 8y) - 16 = -y^2 + 10y - 16$
Ответ: $-y^2 + 10y - 16$

г) Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:
$(a-4)(2a+1) = a \cdot 2a + a \cdot 1 - 4 \cdot 2a - 4 \cdot 1 = 2a^2 + a - 8a - 4$
Приводим подобные слагаемые:
$2a^2 + (1-8)a - 4 = 2a^2 - 7a - 4$
Ответ: $2a^2 - 7a - 4$

д) Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:
$(2y-1)(3y+2) = 2y \cdot 3y + 2y \cdot 2 - 1 \cdot 3y - 1 \cdot 2 = 6y^2 + 4y - 3y - 2$
Приводим подобные слагаемые:
$6y^2 + (4-3)y - 2 = 6y^2 + y - 2$
Ответ: $6y^2 + y - 2$

е) Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:
$(5x-3)(4-3x) = 5x \cdot 4 + 5x \cdot (-3x) - 3 \cdot 4 - 3 \cdot (-3x) = 20x - 15x^2 - 12 + 9x$
Приводим подобные слагаемые и располагаем члены в порядке убывания степеней переменной:
$-15x^2 + (20x + 9x) - 12 = -15x^2 + 29x - 12$
Ответ: $-15x^2 + 29x - 12$

695. Представьте в виде многочлена выражение:

а) Чтобы представить произведение двучленов в виде многочлена, необходимо каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго и сложить полученные произведения. Это правило называется правилом умножения многочлена на многочлен.

Применим это правило к выражению $(m - n)(x + c)$:

$(m - n)(x + c) = m \cdot x + m \cdot c + (-n) \cdot x + (-n) \cdot c = mx + mc - nx - nc$.

В получившемся многочлене нет подобных слагаемых, поэтому это окончательный вид.

Ответ: $mx + mc - nx - nc$

б) Умножим двучлен $(k - p)$ на двучлен $(k - n)$:

$(k - p)(k - n) = k \cdot k + k \cdot (-n) + (-p) \cdot k + (-p) \cdot (-n) = k^2 - kn - pk + pn$.

Подобных слагаемых в этом выражении нет.

Ответ: $k^2 - kn - pk + pn$

в) Умножим двучлен $(a + 3)$ на двучлен $(a - 2)$:

$(a + 3)(a - 2) = a \cdot a + a \cdot (-2) + 3 \cdot a + 3 \cdot (-2) = a^2 - 2a + 3a - 6$.

Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие одинаковую переменную в одинаковой степени):

$-2a + 3a = a$.

Подставим результат в выражение:

$a^2 + a - 6$.

Ответ: $a^2 + a - 6$

г) Умножим двучлен $(5 - x)$ на двучлен $(4 - x)$:

$(5 - x)(4 - x) = 5 \cdot 4 + 5 \cdot (-x) + (-x) \cdot 4 + (-x) \cdot (-x) = 20 - 5x - 4x + x^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$-5x - 4x = -9x$.

Получаем многочлен: $20 - 9x + x^2$.

Для приведения к стандартному виду расположим члены многочлена по убыванию степеней переменной $x$:

$x^2 - 9x + 20$.

Ответ: $x^2 - 9x + 20$

д) Умножим двучлен $(1 - 2a)$ на двучлен $(3a + 1)$:

$(1 - 2a)(3a + 1) = 1 \cdot 3a + 1 \cdot 1 + (-2a) \cdot 3a + (-2a) \cdot 1 = 3a + 1 - 6a^2 - 2a$.

Приведем подобные слагаемые:

$3a - 2a = a$.

Получаем многочлен: $a + 1 - 6a^2$.

Приведем многочлен к стандартному виду, расположив члены по убыванию степеней переменной $a$:

$-6a^2 + a + 1$.

Ответ: $-6a^2 + a + 1$

е) Умножим двучлен $(6m - 3)$ на двучлен $(2 - 5m)$:

$(6m - 3)(2 - 5m) = 6m \cdot 2 + 6m \cdot (-5m) + (-3) \cdot 2 + (-3) \cdot (-5m) = 12m - 30m^2 - 6 + 15m$.

Приведем подобные слагаемые:

$12m + 15m = 27m$.

Получаем многочлен: $27m - 30m^2 - 6$.

Приведем многочлен к стандартному виду, расположив члены по убыванию степеней переменной $m$:

$-30m^2 + 27m - 6$.

Ответ: $-30m^2 + 27m - 6$

696. Запишите в виде многочлена выражение:

а) Чтобы записать выражение $(x^2 + y)(x + y^2)$ в виде многочлена, необходимо каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго двучлена и сложить полученные произведения. Этот процесс также известен как раскрытие скобок.

$(x^2 + y)(x + y^2) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot y^2 + y \cdot x + y \cdot y^2$

Выполним умножение одночленов:

$x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$

$x^2 \cdot y^2 = x^2y^2$

$y \cdot x = xy$

$y \cdot y^2 = y^{1+2} = y^3$

Теперь сложим полученные результаты:

$x^3 + x^2y^2 + xy + y^3$

В получившемся многочлене нет подобных слагаемых, поэтому это окончательный вид.

Ответ: $x^3 + x^2y^2 + xy + y^3$.

б) Аналогично раскроем скобки в выражении $(m^2 - n)(m^2 + 2n^2)$:

$(m^2 - n)(m^2 + 2n^2) = m^2 \cdot m^2 + m^2 \cdot 2n^2 - n \cdot m^2 - n \cdot 2n^2$

Выполним умножение:

$m^2 \cdot m^2 = m^{2+2} = m^4$

$m^2 \cdot 2n^2 = 2m^2n^2$

$-n \cdot m^2 = -m^2n$

$-n \cdot 2n^2 = -2n^{1+2} = -2n^3$

Сложим полученные одночлены:

$m^4 + 2m^2n^2 - m^2n - 2n^3$

Подобных слагаемых нет.

Ответ: $m^4 + 2m^2n^2 - m^2n - 2n^3$.

в) Раскроем скобки в выражении $(4a^2 + b^2)(3a^2 - b^2)$:

$(4a^2 + b^2)(3a^2 - b^2) = 4a^2 \cdot 3a^2 + 4a^2 \cdot (-b^2) + b^2 \cdot 3a^2 + b^2 \cdot (-b^2)$

Выполним умножение:

$12a^{2+2} - 4a^2b^2 + 3a^2b^2 - b^{2+2} = 12a^4 - 4a^2b^2 + 3a^2b^2 - b^4$

Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $a^2b^2$):

$-4a^2b^2 + 3a^2b^2 = (-4 + 3)a^2b^2 = -1a^2b^2 = -a^2b^2$

Запишем итоговый многочлен:

$12a^4 - a^2b^2 - b^4$

Ответ: $12a^4 - a^2b^2 - b^4$.

г) Раскроем скобки в выражении $(5x^2 - 4x)(x + 1)$:

$(5x^2 - 4x)(x + 1) = 5x^2 \cdot x + 5x^2 \cdot 1 - 4x \cdot x - 4x \cdot 1$

Выполним умножение:

$5x^{2+1} + 5x^2 - 4x^{1+1} - 4x = 5x^3 + 5x^2 - 4x^2 - 4x$

Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $x^2$):

$5x^2 - 4x^2 = (5 - 4)x^2 = 1x^2 = x^2$

Запишем итоговый многочлен:

$5x^3 + x^2 - 4x$

Ответ: $5x^3 + x^2 - 4x$.

д) Раскроем скобки в выражении $(a - 2)(4a^3 - 3a^2)$:

$(a - 2)(4a^3 - 3a^2) = a \cdot 4a^3 + a \cdot (-3a^2) - 2 \cdot 4a^3 - 2 \cdot (-3a^2)$

Выполним умножение:

$4a^{1+3} - 3a^{1+2} - 8a^3 + 6a^2 = 4a^4 - 3a^3 - 8a^3 + 6a^2$

Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $a^3$):

$-3a^3 - 8a^3 = (-3 - 8)a^3 = -11a^3$

Запишем итоговый многочлен:

$4a^4 - 11a^3 + 6a^2$

Ответ: $4a^4 - 11a^3 + 6a^2$.

е) Раскроем скобки в выражении $(7p^2 - 2p)(8p - 5)$:

$(7p^2 - 2p)(8p - 5) = 7p^2 \cdot 8p + 7p^2 \cdot (-5) - 2p \cdot 8p - 2p \cdot (-5)$

Выполним умножение:

$56p^{2+1} - 35p^2 - 16p^{1+1} + 10p = 56p^3 - 35p^2 - 16p^2 + 10p$

Приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $p^2$):

$-35p^2 - 16p^2 = (-35 - 16)p^2 = -51p^2$

Запишем итоговый многочлен:

$56p^3 - 51p^2 + 10p$

Ответ: $56p^3 - 51p^2 + 10p$.

697. Выполните умножение:

а) Для выполнения умножения многочленов $(2x^2 - y)$ и $(x^2 + y)$, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и затем сложить полученные произведения.

$(2x^2 - y)(x^2 + y) = 2x^2 \cdot x^2 + 2x^2 \cdot y - y \cdot x^2 - y \cdot y$

Выполним умножение и получим:

$2x^4 + 2x^2y - x^2y - y^2$

Теперь приведем подобные слагаемые ($2x^2y$ и $-x^2y$):

$2x^4 + (2 - 1)x^2y - y^2 = 2x^4 + x^2y - y^2$

Ответ: $2x^4 + x^2y - y^2$

б) Умножим многочлены $(7x^2 + a^2)$ и $(x^2 - 3a^2)$ по тому же правилу:

$(7x^2 + a^2)(x^2 - 3a^2) = 7x^2 \cdot x^2 + 7x^2 \cdot (-3a^2) + a^2 \cdot x^2 + a^2 \cdot (-3a^2)$

Выполним умножение:

$7x^4 - 21a^2x^2 + a^2x^2 - 3a^4$

Приведем подобные слагаемые ($-21a^2x^2$ и $a^2x^2$):

$7x^4 + (-21 + 1)a^2x^2 - 3a^4 = 7x^4 - 20a^2x^2 - 3a^4$

Ответ: $7x^4 - 20a^2x^2 - 3a^4$

в) Выполним умножение многочленов $(11y^2 - 9)$ и $(3y - 2)$:

$(11y^2 - 9)(3y - 2) = 11y^2 \cdot 3y + 11y^2 \cdot (-2) - 9 \cdot 3y - 9 \cdot (-2)$

Перемножим одночлены:

$33y^3 - 22y^2 - 27y + 18$

В полученном многочлене нет подобных слагаемых, так как все степени переменной $y$ различны. Таким образом, это окончательный результат.

Ответ: $33y^3 - 22y^2 - 27y + 18$

г) Умножим многочлены $(5a - 3a^3)$ и $(4a - 1)$:

$(5a - 3a^3)(4a - 1) = 5a \cdot 4a + 5a \cdot (-1) - 3a^3 \cdot 4a - 3a^3 \cdot (-1)$

Выполним умножение:

$20a^2 - 5a - 12a^4 + 3a^3$

В данном многочлене также нет подобных слагаемых. Для приведения к стандартному виду принято располагать его члены в порядке убывания степеней переменной $a$:

$-12a^4 + 3a^3 + 20a^2 - 5a$

Ответ: $-12a^4 + 3a^3 + 20a^2 - 5a$

698. амените степень произведением, а затем произведение преобразуйте в многочлен:

а) (х + 10)²; б) (1 − у)²; в) (3а − 1)²; г) (5 − 6b)².

а) Сначала заменим степень $(x + 10)^2$ на произведение двух одинаковых множителей:

$(x + 10)^2 = (x + 10)(x + 10)$

Затем преобразуем произведение в многочлен, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(x + 10)(x + 10) = x \cdot x + x \cdot 10 + 10 \cdot x + 10 \cdot 10 = x^2 + 10x + 10x + 100$

Приводим подобные слагаемые ($10x$ и $10x$):

$x^2 + (10x + 10x) + 100 = x^2 + 20x + 100$

Ответ: $x^2 + 20x + 100$

б) Заменим степень $(1 - y)^2$ на произведение:

$(1 - y)^2 = (1 - y)(1 - y)$

Теперь преобразуем произведение в многочлен:

$(1 - y)(1 - y) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-y) - y \cdot 1 + (-y) \cdot (-y) = 1 - y - y + y^2$

Приводим подобные слагаемые ($-y$ и $-y$):

$1 - 2y + y^2$

Запишем результат в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной):

$y^2 - 2y + 1$

Ответ: $y^2 - 2y + 1$

в) Заменим степень $(3a - 1)^2$ на произведение:

$(3a - 1)^2 = (3a - 1)(3a - 1)$

Преобразуем полученное произведение в многочлен:

$(3a - 1)(3a - 1) = (3a) \cdot (3a) + (3a) \cdot (-1) - 1 \cdot (3a) + (-1) \cdot (-1) = 9a^2 - 3a - 3a + 1$

Приводим подобные слагаемые ($-3a$ и $-3a$):

$9a^2 - 6a + 1$

Ответ: $9a^2 - 6a + 1$

г) Заменим степень $(5 - 6b)^2$ на произведение:

$(5 - 6b)^2 = (5 - 6b)(5 - 6b)$

Преобразуем произведение в многочлен:

$(5 - 6b)(5 - 6b) = 5 \cdot 5 + 5 \cdot (-6b) - 6b \cdot 5 + (-6b) \cdot (-6b) = 25 - 30b - 30b + 36b^2$

Приводим подобные слагаемые ($-30b$ и $-30b$):

$25 - 60b + 36b^2$

Запишем результат в стандартном виде:

$36b^2 - 60b + 25$

Ответ: $36b^2 - 60b + 25$

699. Представьте в виде многочлена выражение:

а) Чтобы представить выражение $(x^2 + xy - y^2)(x + y)$ в виде многочлена, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и затем привести подобные слагаемые.

$(x^2 + xy - y^2)(x + y) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot y + xy \cdot x + xy \cdot y - y^2 \cdot x - y^2 \cdot y = x^3 + x^2y + x^2y + xy^2 - xy^2 - y^3$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$x^3 + (x^2y + x^2y) + (xy^2 - xy^2) - y^3 = x^3 + 2x^2y - y^3$

Ответ: $x^3 + 2x^2y - y^3$

б) Умножим многочлен $(n^2 - np + p^2)$ на двучлен $(n - p)$:

$(n^2 - np + p^2)(n - p) = n^2 \cdot n + n^2 \cdot (-p) - np \cdot n - np \cdot (-p) + p^2 \cdot n + p^2 \cdot (-p) = n^3 - n^2p - n^2p + np^2 + np^2 - p^3$

Приведем подобные слагаемые:

$n^3 + (-n^2p - n^2p) + (np^2 + np^2) - p^3 = n^3 - 2n^2p + 2np^2 - p^3$

Ответ: $n^3 - 2n^2p + 2np^2 - p^3$

в) Умножим двучлен $(a + x)$ на многочлен $(a^2 - ax - x^2)$:

$(a + x)(a^2 - ax - x^2) = a \cdot a^2 + a \cdot (-ax) + a \cdot (-x^2) + x \cdot a^2 + x \cdot (-ax) + x \cdot (-x^2) = a^3 - a^2x - ax^2 + a^2x - ax^2 - x^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-a^2x + a^2x) + (-ax^2 - ax^2) - x^3 = a^3 - 2ax^2 - x^3$

Ответ: $a^3 - 2ax^2 - x^3$

г) Умножим двучлен $(b - c)$ на многочлен $(b^2 - bc - c^2)$:

$(b - c)(b^2 - bc - c^2) = b \cdot b^2 + b \cdot (-bc) + b \cdot (-c^2) - c \cdot b^2 - c \cdot (-bc) - c \cdot (-c^2) = b^3 - b^2c - bc^2 - b^2c + bc^2 + c^3$

Приведем подобные слагаемые:

$b^3 + (-b^2c - b^2c) + (-bc^2 + bc^2) + c^3 = b^3 - 2b^2c + c^3$

Ответ: $b^3 - 2b^2c + c^3$

д) Умножим многочлен $(a^2 - 2a + 3)$ на двучлен $(a - 4)$:

$(a^2 - 2a + 3)(a - 4) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot (-4) - 2a \cdot a - 2a \cdot (-4) + 3 \cdot a + 3 \cdot (-4) = a^3 - 4a^2 - 2a^2 + 8a + 3a - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-4a^2 - 2a^2) + (8a + 3a) - 12 = a^3 - 6a^2 + 11a - 12$

Ответ: $a^3 - 6a^2 + 11a - 12$

е) Умножим двучлен $(5x - 2)$ на многочлен $(x^2 - x - 1)$:

$(5x - 2)(x^2 - x - 1) = 5x \cdot x^2 + 5x \cdot (-x) + 5x \cdot (-1) - 2 \cdot x^2 - 2 \cdot (-x) - 2 \cdot (-1) = 5x^3 - 5x^2 - 5x - 2x^2 + 2x + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^3 + (-5x^2 - 2x^2) + (-5x + 2x) + 2 = 5x^3 - 7x^2 - 3x + 2$

Ответ: $5x^3 - 7x^2 - 3x + 2$

ж) Умножим многочлен $(2 - 2x + x^2)$ на двучлен $(x + 5)$. Для удобства можно поменять множители местами и упорядочить члены первого многочлена:

$(x^2 - 2x + 2)(x + 5) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot 5 - 2x \cdot x - 2x \cdot 5 + 2 \cdot x + 2 \cdot 5 = x^3 + 5x^2 - 2x^2 - 10x + 2x + 10$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (5x^2 - 2x^2) + (-10x + 2x) + 10 = x^3 + 3x^2 - 8x + 10$

Ответ: $x^3 + 3x^2 - 8x + 10$

з) Умножим двучлен $(3y - 4)$ на многочлен $(y^2 - y + 1)$:

$(3y - 4)(y^2 - y + 1) = 3y \cdot y^2 + 3y \cdot (-y) + 3y \cdot 1 - 4 \cdot y^2 - 4 \cdot (-y) - 4 \cdot 1 = 3y^3 - 3y^2 + 3y - 4y^2 + 4y - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$3y^3 + (-3y^2 - 4y^2) + (3y + 4y) - 4 = 3y^3 - 7y^2 + 7y - 4$

Ответ: $3y^3 - 7y^2 + 7y - 4$