Страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

732. Представьте в виде произведения:
а) ас² − ad + с³− cd − bc² + bd;
б) ах² + ay² − bx² − by² + b − a;
в) аn² + сn² − ар + ар² − ср + ср²;
г) ху² − by² − ax + ab + у² − а.

а)

Чтобы представить выражение $ac^2 - ad + c^3 - cd - bc^2 + bd$ в виде произведения, применим метод группировки слагаемых.

Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители. Например, можно сгруппировать члены с множителем $a$, с множителем $c$ и с множителем $b$. Однако, более эффективной будет группировка, которая сразу выявляет общий многочленный множитель.

Сгруппируем члены следующим образом: $(ac^2 - ad) + (c^3 - cd) + (-bc^2 + bd)$.

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$a(c^2 - d) + c(c^2 - d) - b(c^2 - d)$

Мы видим, что у всех трех слагаемых есть общий множитель $(c^2 - d)$. Вынесем его за скобки:

$(a + c - b)(c^2 - d)$

Таким образом, исходный многочлен представлен в виде произведения двух множителей.

Ответ: $(a + c - b)(c^2 - d)$

б)

Чтобы представить выражение $ax^2 + ay^2 - bx^2 - by^2 + b - a$ в виде произведения, воспользуемся методом группировки.

Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $a$, и слагаемые, содержащие множитель $b$:

$(ax^2 + ay^2 - a) + (-bx^2 - by^2 + b)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп. Из первой группы выносим $a$, а из второй — $-b$:

$a(x^2 + y^2 - 1) - b(x^2 + y^2 - 1)$

Теперь видно, что оба слагаемых имеют общий множитель $(x^2 + y^2 - 1)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b)(x^2 + y^2 - 1)$

Ответ: $(a - b)(x^2 + y^2 - 1)$

в)

Для разложения на множители выражения $an^2 + cn^2 - ap + ap^2 - cp + cp^2$ применим метод группировки.

Сгруппируем слагаемые, имеющие общие переменные. Сгруппируем члены с $n^2$, члены с $p$ и члены с $p^2$:

$(an^2 + cn^2) + (-ap - cp) + (ap^2 + cp^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$n^2(a + c) - p(a + c) + p^2(a + c)$

Все три получившихся слагаемых имеют общий множитель $(a + c)$. Вынесем его за скобки:

$(a + c)(n^2 - p + p^2)$

Ответ: $(a + c)(n^2 - p + p^2)$

г)

Чтобы представить выражение $xy^2 - by^2 - ax + ab + y^2 - a$ в виде произведения, используем метод группировки.

Переставим слагаемые для удобства и сгруппируем их. Сгруппируем все члены, содержащие $y^2$, и все остальные члены:

$(xy^2 - by^2 + y^2) + (-ax + ab - a)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. Из первой группы выносим $y^2$, а из второй — $-a$.

$y^2(x - b + 1) - a(x - b + 1)$

Оба слагаемых имеют общий множитель $(x - b + 1)$. Вынесем его за скобки, чтобы получить окончательное разложение:

$(y^2 - a)(x - b + 1)$

Ответ: $(y^2 - a)(x - b + 1)$

733. Разложите на множители многочлен:
а) х²у + х + ху² + у + 2ху + 2;
б) х² − ху + х − xy² + у³ − у².

а) $x^2y + x + xy^2 + y + 2xy + 2$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Перегруппируем слагаемые следующим образом:

$(x^2y + xy^2 + 2xy) + (x + y + 2)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $xy$:

$xy(x + y + 2) + 1(x + y + 2)$

Теперь мы видим, что выражение $(x + y + 2)$ является общим множителем для обоих слагаемых. Вынесем его за скобки:

$(xy + 1)(x + y + 2)$

Ответ: $(xy + 1)(x + y + 2)$

б) $x^2 - xy + x - xy^2 + y^3 - y^2$

Для разложения этого многочлена на множители также применим метод группировки. Сгруппируем первые три члена и последние три члена:

$(x^2 - xy + x) + (-xy^2 + y^3 - y^2)$

Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $x$:

$x(x - y + 1)$

Из второй группы вынесем за скобки общий множитель $-y^2$. При вынесении отрицательного множителя знаки в скобках меняются на противоположные:

$-y^2(x - y + 1)$

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$x(x - y + 1) - y^2(x - y + 1)$

Общий множитель $(x - y + 1)$ выносим за скобки:

$(x - y^2)(x - y + 1)$

Ответ: $(x - y^2)(x - y + 1)$

734. Разложите на множители трёхчлен:

а) х² + 6х + 5; б) х² − х − 6; в) а² − 5а + 4; г) а² − 6а − 16.

Чтобы разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то разложение на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. В задачах ниже старший коэффициент $a$ равен 1, поэтому формула для разложения упрощается до $(x - x_1)(x - x_2)$.

а) $x^2 + 6x + 5$

Сначала найдём корни квадратного уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение корней равно $q$.
В нашем случае $p=6$ и $q=5$. Значит:
$x_1 + x_2 = -6$
$x_1 \cdot x_2 = 5$
Подбором находим, что корнями являются числа $-1$ и $-5$.
$x_1 = -1$, $x_2 = -5$.
Теперь подставляем найденные корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 6x + 5 = (x - (-1))(x - (-5)) = (x + 1)(x + 5)$.
Ответ: $(x + 1)(x + 5)$.

б) $x^2 - x - 6$

Найдём корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -(-1) = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -6$
Подбором находим, что корнями являются числа $3$ и $-2$.
$x_1 = 3$, $x_2 = -2$.
Подставляем корни в формулу разложения:
$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x - (-2)) = (x - 3)(x + 2)$.
Ответ: $(x - 3)(x + 2)$.

в) $a^2 - 5a + 4$

Найдём корни уравнения $a^2 - 5a + 4 = 0$.
По теореме Виета:
$a_1 + a_2 = -(-5) = 5$
$a_1 \cdot a_2 = 4$
Подбором находим, что корнями являются числа $1$ и $4$.
$a_1 = 1$, $a_2 = 4$.
Подставляем корни в формулу разложения $(a - a_1)(a - a_2)$:
$a^2 - 5a + 4 = (a - 1)(a - 4)$.
Ответ: $(a - 1)(a - 4)$.

г) $a^2 - 6a - 16$

Найдём корни уравнения $a^2 - 6a - 16 = 0$.
Найдём корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.
Корни находятся по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a_1 = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
$a_2 = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Подставляем корни $8$ и $-2$ в формулу разложения:
$a^2 - 6a - 16 = (a - 8)(a - (-2)) = (a - 8)(a + 2)$.
Ответ: $(a - 8)(a + 2)$.

735. Число коров в стаде возросло на 60 голов, а в связи с улучшением кормовой базы удой молока от одной коровы возрос в среднем с 12,8 л в день до 15 л. Сколько коров стало в стаде, если ежедневно стали получать на 1340 л молока больше, чем раньше?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $x$ — это первоначальное количество коров в стаде.

При среднем удое $12,8$ л в день от одной коровы, ежедневный удой со всего стада до изменений составлял: $12,8 \cdot x$ литров.

Число коров в стаде возросло на $60$ голов, значит, новое количество коров стало равно $x + 60$.

Средний удой от одной коровы увеличился до $15$ л в день, поэтому новый ежедневный удой со всего стада составляет: $15 \cdot (x + 60)$ литров.

Из условия известно, что новый ежедневный удой на $1340$ л больше, чем прежний. На основе этого составим уравнение:

$15 \cdot (x + 60) = 12,8 \cdot x + 1340$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

$15x + 15 \cdot 60 = 12,8x + 1340$

$15x + 900 = 12,8x + 1340$

2. Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$15x - 12,8x = 1340 - 900$

3. Упростим обе части уравнения:

$2,2x = 440$

4. Найдем $x$, разделив обе части на $2,2$:

$x = \frac{440}{2,2} = \frac{4400}{22} = 200$

Таким образом, первоначальное количество коров в стаде ($x$) составляло $200$ голов.

В задаче спрашивается, сколько коров стало в стаде. Для этого к первоначальному числу коров прибавим $60$:

$200 + 60 = 260$

Итак, в стаде стало $260$ коров.

Проверим решение:

• Первоначальный удой: $200 \text{ коров} \times 12,8 \text{ л/корову} = 2560 \text{ л}$.
• Новый удой: $260 \text{ коров} \times 15 \text{ л/корову} = 3900 \text{ л}$.
• Разница в удое: $3900 \text{ л} - 2560 \text{ л} = 1340 \text{ л}$.

Результат проверки совпадает с условием задачи, следовательно, задача решена верно.

Ответ: в стаде стало 260 коров.

736. Решите уравнение:

а) 4 − х(х + 8) = 11 − х²; б) 4х(3х − 1) − 2х(6х + 8) = 5.

а)

Дано уравнение: $4 - x(x + 8) = 11 - x^2$.

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Для этого умножим $-x$ на каждый член в скобках $(x+8)$:

$4 - x \cdot x - x \cdot 8 = 11 - x^2$

$4 - x^2 - 8x = 11 - x^2$

Теперь соберем все члены, содержащие переменную $x$, в левой части уравнения, а постоянные члены (числа) — в правой. Для этого перенесем $-x^2$ из правой части в левую (знак изменится на "+") и перенесем 4 из левой части в правую (знак изменится на "?"):

$-x^2 - 8x + x^2 = 11 - 4$

Приведем подобные слагаемые. Члены $-x^2$ и $+x^2$ в левой части взаимно уничтожаются:

$-8x = 7$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -8:

$x = \frac{7}{-8}$

$x = -\frac{7}{8}$

Ответ: $x = -\frac{7}{8}$.

б)

Дано уравнение: $4x(3x - 1) - 2x(6x + 8) = 5$.

Раскроем скобки, умножив множители перед ними на каждый член внутри скобок:

$(4x \cdot 3x - 4x \cdot 1) - (2x \cdot 6x + 2x \cdot 8) = 5$

$(12x^2 - 4x) - (12x^2 + 16x) = 5$

Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак "?", знаки всех членов внутри скобок изменятся на противоположные:

$12x^2 - 4x - 12x^2 - 16x = 5$

Приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с $x^2$ и с $x$:

$(12x^2 - 12x^2) + (-4x - 16x) = 5$

Члены $12x^2$ и $-12x^2$ взаимно уничтожаются. Складываем члены с $x$:

$-20x = 5$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -20:

$x = \frac{5}{-20}$

Сократим полученную дробь на 5:

$x = -\frac{1}{4}$

Ответ: $x = -\frac{1}{4}$.

737. Запишите в виде выражения:
а) квадрат разности х и у;
б) сумму числа 3 и произведения а и b;
в) разность числа 7 и удвоенного произведения а и b.

а) Чтобы записать "квадрат разности x и y", нужно сначала составить выражение для "разности x и y". Разность — это результат вычитания, поэтому разность $x$ и $y$ записывается как $x - y$. Затем это выражение нужно возвести в квадрат, то есть во вторую степень. Для этого всю разность заключают в скобки и ставят показатель степени 2.
Ответ: $(x - y)^2$

б) Чтобы записать "сумму числа 3 и произведения a и b", нужно сначала найти "произведение a и b". Произведение — это результат умножения, оно записывается как $a \cdot b$ или просто $ab$. Затем к числу 3 нужно прибавить это произведение. Сумма — это результат сложения.
Ответ: $3 + ab$

в) Чтобы записать "разность числа 7 и удвоенного произведения a и b", нужно сначала найти "произведение a и b", которое равно $ab$. Затем это произведение нужно удвоить, то есть умножить на 2, что дает $2ab$. Наконец, нужно найти разность числа 7 и полученного выражения. Это означает, что из 7 нужно вычесть $2ab$.
Ответ: $7 - 2ab$

1. Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член (одночлен) первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена, а затем полученные произведения сложить. Если в получившемся многочлене есть подобные члены (одночлены с одинаковой буквенной частью), их следует привести.

В общем виде это правило можно представить формулой:

$ (a + b)(c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d $

Рассмотрим на конкретном примере:

Умножим многочлен $(3x - 5)$ на многочлен $(2x + 4)$.

1. Умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$ (3x - 5)(2x + 4) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 4 + (-5) \cdot 2x + (-5) \cdot 4 $

2. Выполним умножение в каждом слагаемом:

$ = 6x^2 + 12x - 10x - 20 $

3. Приведем подобные члены ($12x$ и $-10x$):

$ 12x - 10x = 2x $

4. Запишем итоговый результат:

$ 6x^2 + 2x - 20 $

Ответ: Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Чтобы представить произведение многочленов в виде многочлена, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Исходные многочлены: $(x - 2y)$ и $(xy + 4)$.

Выполним умножение по правилу "фонтанчика":

$(x - 2y)(xy + 4) = x \cdot xy + x \cdot 4 - 2y \cdot xy - 2y \cdot 4$

Теперь вычислим каждое произведение:

$x \cdot xy = x^2y$

$x \cdot 4 = 4x$

$-2y \cdot xy = -2xy^2$

$-2y \cdot 4 = -8y$

Сложим полученные одночлены:

$x^2y + 4x - 2xy^2 - 8y$

Подобных слагаемых в полученном выражении нет, поэтому это окончательный вид многочлена. Для удобства можно сгруппировать члены по степеням переменных, например, так: $x^2y - 2xy^2 + 4x - 8y$.

Ответ: $x^2y - 2xy^2 + 4x - 8y$.

Разложение многочлена на множители способом группировки — это метод, при котором члены многочлена объединяют в группы, из каждой группы выносят общий множитель, а затем выносят за скобки общий для всех групп множитель (часто это двучлен). Продемонстрируем этот метод на примере многочлена $ab - 2b + 5a - 10$.

Шаг 1: Группировка слагаемых

Необходимо объединить члены многочлена в группы (обычно попарно) так, чтобы у каждой группы был свой общий множитель. Один из возможных вариантов — сгруппировать первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым.

$ (ab - 2b) + (5a - 10) $

Шаг 2: Вынесение общего множителя из каждой группы

Теперь из каждой группы вынесем за скобки общий множитель.

Для первой группы $(ab - 2b)$ общим множителем является переменная $b$. После вынесения получим: $b(a - 2)$.

Для второй группы $(5a - 10)$ общим множителем является число $5$. После вынесения получим: $5(a - 2)$.

В результате весь многочлен примет вид суммы двух слагаемых:

$ b(a - 2) + 5(a - 2) $

Шаг 3: Вынесение общего двучленного множителя

Мы видим, что оба получившихся слагаемых, $b(a - 2)$ и $5(a - 2)$, имеют общий множитель — двучлен $(a - 2)$. Теперь нужно вынести этот общий множитель за скобки. От первого слагаемого в скобках останется $b$, а от второго — $+5$.

$ (a - 2)(b + 5) $

Таким образом, мы представили исходный многочлен в виде произведения двух множителей (двучленов). Процесс разложения завершен.

Проверка другим способом группировки

Стоит отметить, что результат не зависит от первоначального выбора групп (если разложение этим методом возможно). Попробуем сгруппировать иначе: первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым.

$ (ab + 5a) + (-2b - 10) $

Вынесем из первой группы общий множитель $a$, а из второй — $-2$.

$ a(b + 5) - 2(b + 5) $

Общим множителем стал двучлен $(b + 5)$. Вынесем его за скобки.

$ (b + 5)(a - 2) $

Результат тот же самый, что подтверждает верность решения.

Ответ: $ab - 2b + 5a - 10 = (a - 2)(b + 5)$.