Страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

754. Докажите, что выражение А + В − С тождественно равно выражению С − В − А, если А = 2х − 1, В = 3х + 1 и С = 5х.

Для доказательства того, что выражение $A + B - C$ тождественно равно выражению $C - B - A$, необходимо упростить обе части этого равенства, подставив в них заданные многочлены $A = 2x - 1$, $B = 3x + 1$ и $C = 5x$. Если результаты упрощения окажутся одинаковыми, тождество будет доказано.

1. Упрощение левой части: $A + B - C$

Подставим заданные выражения вместо $A$, $B$ и $C$:

$A + B - C = (2x - 1) + (3x + 1) - (5x)$

Раскроем скобки:

$2x - 1 + 3x + 1 - 5x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):

$(2x + 3x - 5x) + (-1 + 1) = 0x + 0 = 0$

Таким образом, значение левой части равно 0.

2. Упрощение правой части: $C - B - A$

Подставим заданные выражения вместо $C$, $B$ и $A$:

$C - B - A = (5x) - (3x + 1) - (2x - 1)$

Раскроем скобки. Обратим внимание, что знак минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри них на противоположные:

$5x - 3x - 1 - 2x + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5x - 3x - 2x) + (-1 + 1) = 0x + 0 = 0$

Таким образом, значение правой части также равно 0.

Заключение

Поскольку левая часть выражения $A + B - C$ равна 0 и правая часть $C - B - A$ также равна 0, то $0 = 0$. Это означает, что равенство $A + B - C = C - B - A$ верно при любом значении переменной $x$.

Ответ: Тождество доказано.

755. Какой многочлен нужно вычесть из многочлена у² − 5у + 1, чтобы разность была тождественно равна:
а) 0; б) 5; в) у²; г) 4y² − у + 7?

Для решения задачи обозначим искомый многочлен как $M$. По условию, из многочлена $y^2 - 5y + 1$ нужно вычесть многочлен $M$, чтобы получить заданную разность. Это можно записать в виде уравнения: $(y^2 - 5y + 1) - M = \text{Разность}$. Чтобы найти $M$, нужно из уменьшаемого вычесть разность: $M = (y^2 - 5y + 1) - \text{Разность}$.

а) В данном случае разность должна быть равна 0.
$M = (y^2 - 5y + 1) - 0$
$M = y^2 - 5y + 1$
Ответ: $y^2 - 5y + 1$.

б) В данном случае разность должна быть равна 5.
$M = (y^2 - 5y + 1) - 5$
$M = y^2 - 5y - 4$
Ответ: $y^2 - 5y - 4$.

в) В данном случае разность должна быть равна $y^2$.
$M = (y^2 - 5y + 1) - y^2$
$M = (y^2 - y^2) - 5y + 1$
$M = -5y + 1$
Ответ: $-5y + 1$.

г) В данном случае разность должна быть равна $4y^2 - y + 7$.
$M = (y^2 - 5y + 1) - (4y^2 - y + 7)$
Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых в вычитаемом многочлене на противоположные:
$M = y^2 - 5y + 1 - 4y^2 + y - 7$
Приведем подобные слагаемые:
$M = (y^2 - 4y^2) + (-5y + y) + (1 - 7)$
$M = -3y^2 - 4y - 6$
Ответ: $-3y^2 - 4y - 6$.

756. Докажите, что при любом значении х разность многочленов 134x⁴ − 18x³ − 114x² + 25x + 57 и 0,75x⁴ − 0,125x³ − 2,25x² + 0,4x − 37 принимает положительное значение.

Для того чтобы доказать, что разность многочленов принимает положительное значение при любом значении $x$, необходимо найти эту разность и проанализировать полученное выражение.

Обозначим первый многочлен как $P_1(x)$, а второй — как $P_2(x)$:

$P_1(x) = 1\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - 1\frac{1}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}$

$P_2(x) = 0,75x^4 - 0,125x^3 - 2,25x^2 + 0,4x - \frac{3}{7}$

Найдем разность $P_1(x) - P_2(x)$. Для удобства вычислений преобразуем все десятичные и смешанные дроби в обыкновенные:

• $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
• $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
• $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
• $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$
• $2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
• $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь запишем разность многочленов с преобразованными коэффициентами:

$P_1(x) - P_2(x) = (\frac{7}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{5}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}) - (\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{9}{4}x^2 + \frac{2}{5}x - \frac{3}{7})$

Раскроем скобки, изменив знаки второго многочлена на противоположные, и сгруппируем подобные слагаемые:

$= \frac{7}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{5}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7} - \frac{3}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{3}{7}$

$= (\frac{7}{4} - \frac{3}{4})x^4 + (-\frac{1}{8} + \frac{1}{8})x^3 + (-\frac{5}{4} + \frac{9}{4})x^2 + (\frac{2}{5} - \frac{2}{5})x + (\frac{5}{7} + \frac{3}{7})$

Выполним вычисления для каждого коэффициента:

$= (\frac{4}{4})x^4 + (0)x^3 + (\frac{4}{4})x^2 + (0)x + (\frac{8}{7})$

$= x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$

Теперь проанализируем полученное выражение $x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$. Нам нужно доказать, что оно всегда больше нуля.

Рассмотрим каждое слагаемое:

1. $x^4$: так как показатель степени четный, $x^4 \ge 0$ для любого действительного значения $x$. Равенство нулю достигается только при $x = 0$.
2. $x^2$: так как показатель степени четный, $x^2 \ge 0$ для любого действительного значения $x$. Равенство нулю достигается только при $x = 0$.
3. $\frac{8}{7}$: это число является положительной константой.

Сумма двух неотрицательных слагаемых ($x^4$ и $x^2$) и одного положительного слагаемого ($\frac{8}{7}$) всегда будет положительной. Рассмотрим два возможных случая:

• Если $x=0$, то выражение равно $0^4 + 0^2 + \frac{8}{7} = \frac{8}{7}$. Так как $\frac{8}{7} > 0$, значение положительно.
• Если $x \neq 0$, то $x^4 > 0$ и $x^2 > 0$. Сумма трех положительных чисел ($x^4$, $x^2$ и $\frac{8}{7}$) очевидно будет положительным числом.

Таким образом, при любом значении $x$ выражение $x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$ принимает только положительные значения. Наименьшее значение достигается при $x=0$ и равно $\frac{8}{7}$.

Следовательно, разность исходных многочленов всегда положительна.

Ответ: Разность многочленов равна $x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$. Поскольку $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любого $x$, а $\frac{8}{7} > 0$, то их сумма $x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$ всегда будет больше нуля, что и требовалось доказать.

757. Докажите, что при любом значении а сумма многочленов 1,6а⁵ − 113а⁴ + 3,4а³ − а² − 1 и −135а ⁵ − 23а⁴ + 325а³ принимает отрицательное значение.

Для того чтобы доказать, что сумма многочленов принимает отрицательное значение при любом значении a, необходимо найти эту сумму и проанализировать полученное выражение.

Первый многочлен: $P_1(a) = 1,6a^5 - 1\frac{1}{3}a^4 - 3,4a^3 - a^2 - 1$.
Второй многочлен: $P_2(a) = -1\frac{3}{5}a^5 - \frac{2}{3}a^4 + 3\frac{2}{5}a^3$.

Найдем их сумму $S(a) = P_1(a) + P_2(a)$:$S(a) = (1,6a^5 - 1\frac{1}{3}a^4 - 3,4a^3 - a^2 - 1) + (-1\frac{3}{5}a^5 - \frac{2}{3}a^4 + 3\frac{2}{5}a^3)$.

Сгруппируем подобные слагаемые:$S(a) = (1,6 - 1\frac{3}{5})a^5 + (-1\frac{1}{3} - \frac{2}{3})a^4 + (-3,4 + 3\frac{2}{5})a^3 - a^2 - 1$.

Теперь вычислим значения коэффициентов. Для этого приведем десятичные и смешанные дроби к одному виду (к обыкновенным дробям).

• Коэффициент при $a^5$:
  $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$
  $1\frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 1 + 3}{5} = \frac{8}{5}$
  Следовательно, $1,6 - 1\frac{3}{5} = \frac{8}{5} - \frac{8}{5} = 0$.
• Коэффициент при $a^4$:
  $-1\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{4+2}{3} = -\frac{6}{3} = -2$.
• Коэффициент при $a^3$:
  $-3,4 = -\frac{34}{10} = -\frac{17}{5}$
  $3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$
  Следовательно, $-3,4 + 3\frac{2}{5} = -\frac{17}{5} + \frac{17}{5} = 0$.

Подставим полученные коэффициенты обратно в выражение для суммы:$S(a) = 0 \cdot a^5 - 2a^4 + 0 \cdot a^3 - a^2 - 1 = -2a^4 - a^2 - 1$.

Теперь проанализируем полученное выражение $S(a) = -2a^4 - a^2 - 1$.Для любого действительного числа a его четные степени $a^4$ и $a^2$ являются неотрицательными, то есть:$a^4 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$.

Отсюда следует, что:$-2a^4 \le 0$$-a^2 \le 0$

Рассмотрим два случая:

1. Если $a = 0$, то $S(0) = -2(0)^4 - (0)^2 - 1 = 0 - 0 - 1 = -1$. Значение является отрицательным.

2. Если $a \neq 0$, то $a^4 > 0$ и $a^2 > 0$. В этом случае $-2a^4 < 0$ и $-a^2 < 0$. Выражение $S(a)$ представляет собой сумму трех отрицательных чисел $(-2a^4, -a^2, -1)$, которая всегда будет отрицательной.

Таким образом, при любом значении a сумма многочленов $S(a) = -2a^4 - a^2 - 1$ принимает отрицательное значение.

Ответ: Сумма многочленов после упрощения равна $-2a^4 - a^2 - 1$. Поскольку при любом значении a $a^4 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$, то $-2a^4 \le 0$ и $-a^2 \le 0$. Выражение $-2a^4 - a^2 - 1$ является суммой двух неположительных слагаемых и отрицательного числа $-1$, поэтому его значение всегда отрицательно. Что и требовалось доказать.

758. Запись abc означает число, в котором а сотен, b десятков и с единиц. Это число можно представить в виде многочлена abc = 100а + 10b + с.

Например, 845 = 100 · 8 + 10 · 4 + 5.

Представьте в виде многочлена число:

a) xy, б) yx; в) a0b; г) abcd.

а)

Запись $\overline{xy}$ обозначает двузначное число, в котором x — цифра десятков, а y — цифра единиц. Чтобы представить это число в виде многочлена, нужно умножить значение каждой цифры на ее разрядный вес и сложить результаты. Для двузначного числа разрядный вес десятков равен 10, а единиц — 1.

Таким образом, число $\overline{xy}$ можно разложить на сумму десятков и единиц:

$\overline{xy} = 10 \cdot x + 1 \cdot y = 10x + y$

Ответ: $10x + y$

б)

Запись $\overline{yx}$ обозначает двузначное число, в котором y — цифра десятков, а x — цифра единиц. Аналогично предыдущему пункту, представляем число в виде многочлена, умножая каждую цифру на ее разрядный вес.

Здесь y стоит в разряде десятков, а x — в разряде единиц:

$\overline{yx} = 10 \cdot y + 1 \cdot x = 10y + x$

Ответ: $10y + x$

в)

Запись $\overline{a0b}$ обозначает трехзначное число. В этом числе: a — цифра сотен, 0 — цифра десятков, b — цифра единиц. Разрядные веса для трехзначного числа: 100 для сотен, 10 для десятков и 1 для единиц.

Представим число в виде многочлена:

$\overline{a0b} = 100 \cdot a + 10 \cdot 0 + 1 \cdot b = 100a + 0 + b = 100a + b$

Ответ: $100a + b$

г)

Запись $\overline{abcd}$ обозначает четырехзначное число. В нем: a — цифра тысяч, b — цифра сотен, c — цифра десятков, d — цифра единиц. Разрядные веса для четырехзначного числа: 1000, 100, 10 и 1 соответственно.

Представим число в виде многочлена, сложив произведения каждой цифры на ее разрядный вес:

$\overline{abcd} = 1000 \cdot a + 100 \cdot b + 10 \cdot c + 1 \cdot d = 1000a + 100b + 10c + d$

Ответ: $1000a + 100b + 10c + d$

759. Представьте в виде многочлена и упростите получившуюся сумму или разность:

a) abc + cba; б) abc + bс; в) abc − ba; г) abc − ас.

а)

Чтобы представить выражение $\overline{abc} + \overline{cba}$ в виде многочлена, необходимо расписать каждое число, обозначаемое чертой сверху, в виде суммы его разрядных слагаемых.
Число $\overline{abc}$ представляет собой трехзначное число, где $a$ — цифра сотен, $b$ — цифра десятков, а $c$ — цифра единиц. Его можно записать как многочлен:
$\overline{abc} = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c$
Аналогично, число $\overline{cba}$ можно записать как:
$\overline{cba} = 100 \cdot c + 10 \cdot b + a$
Теперь сложим эти два многочлена:
$\overline{abc} + \overline{cba} = (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, группируя члены с одинаковыми переменными:
$100a + 10b + c + 100c + 10b + a = (100a + a) + (10b + 10b) + (c + 100c) = 101a + 20b + 101c$
Ответ: $101a + 20b + 101c$

б)

Представим числа $\overline{abc}$ и $\overline{bc}$ в виде многочленов.
$\overline{abc} = 100a + 10b + c$
Число $\overline{bc}$ является двузначным, где $b$ — цифра десятков, а $c$ — цифра единиц. Его можно записать как:
$\overline{bc} = 10b + c$
Теперь найдем сумму этих многочленов:
$\overline{abc} + \overline{bc} = (100a + 10b + c) + (10b + c)$
Раскроем скобки и упростим выражение, сгруппировав подобные слагаемые:
$100a + 10b + c + 10b + c = 100a + (10b + 10b) + (c + c) = 100a + 20b + 2c$
Ответ: $100a + 20b + 2c$

в)

Представим числа $\overline{abc}$ и $\overline{ba}$ в виде многочленов.
$\overline{abc} = 100a + 10b + c$
Число $\overline{ba}$ является двузначным, где $b$ — цифра десятков, а $a$ — цифра единиц. Его можно записать как:
$\overline{ba} = 10b + a$
Найдем разность этих многочленов:
$\overline{abc} - \overline{ba} = (100a + 10b + c) - (10b + a)$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед вторым многочленом, и приведем подобные слагаемые:
$100a + 10b + c - 10b - a = (100a - a) + (10b - 10b) + c = 99a + 0b + c = 99a + c$
Ответ: $99a + c$

г)

Представим числа $\overline{abc}$ и $\overline{ac}$ в виде многочленов.
$\overline{abc} = 100a + 10b + c$
Число $\overline{ac}$ является двузначным, где $a$ — цифра десятков, а $c$ — цифра единиц. Его можно записать как:
$\overline{ac} = 10a + c$
Найдем разность этих многочленов:
$\overline{abc} - \overline{ac} = (100a + 10b + c) - (10a + c)$
Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$100a + 10b + c - 10a - c = (100a - 10a) + 10b + (c - c) = 90a + 10b + 0c = 90a + 10b$
Ответ: $90a + 10b$

760. Докажите, что:
а) сумма чисел ab и ba кратна сумме а и b;
б) разность чисел ab и ba кратна 9.

а)

Пусть $a$ и $b$ – это цифры, из которых состоят двузначные числа $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$. По определению, число $\overline{ab}$ можно представить в виде суммы разрядных слагаемых как $10a + b$. Аналогично, число $\overline{ba}$ можно представить как $10b + a$.

Найдем сумму этих чисел:

$\overline{ab} + \overline{ba} = (10a + b) + (10b + a)$

Сгруппируем слагаемые с $a$ и с $b$:

$(10a + a) + (b + 10b) = 11a + 11b$

Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$11a + 11b = 11(a + b)$

Полученное выражение $11(a + b)$ представляет собой произведение числа 11 и суммы $(a + b)$. Чтобы проверить, кратна ли сумма чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ сумме $a$ и $b$, разделим полученное выражение на $(a + b)$:

$\frac{11(a + b)}{a + b} = 11$

Поскольку в результате деления получается целое число 11, это доказывает, что сумма чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ всегда кратна сумме цифр $a$ и $b$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Используем те же представления чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$, что и в предыдущем пункте: $\overline{ab} = 10a + b$ и $\overline{ba} = 10b + a$.

Найдем разность этих чисел. Порядок вычитания не имеет значения для свойства кратности, так как если число кратно 9, то и противоположное ему число кратно 9.

$\overline{ab} - \overline{ba} = (10a + b) - (10b + a)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$10a + b - 10b - a = (10a - a) + (b - 10b) = 9a - 9b$

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$9a - 9b = 9(a - b)$

Полученное выражение $9(a - b)$ является произведением числа 9 и разности цифр $(a - b)$. Поскольку $a$ и $b$ – цифры, их разность $(a - b)$ является целым числом. Любое число, которое можно представить в виде произведения целого числа и 9, по определению кратно 9.

Чтобы убедиться в этом, разделим разность на 9:

$\frac{9(a - b)}{9} = a - b$

Результат деления – целое число $(a - b)$, что и доказывает, что разность чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ всегда кратна 9.

Ответ: Что и требовалось доказать.

761. Решите уравнение:

а) $(4 - 2x) + (5x - 3) = (x - 2) - (x + 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. На левой стороне скобки можно просто убрать, так как перед ними стоит знак плюс. На правой стороне перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки внутри нее меняются на противоположные.

$4 - 2x + 5x - 3 = x - 2 - x - 3$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.

В левой части: $(-2x + 5x) + (4 - 3) = 3x + 1$

В правой части: $(x - x) + (-2 - 3) = -5$

Получаем уравнение:

$3x + 1 = -5$

Перенесем свободные члены в правую часть уравнения, изменив знак:

$3x = -5 - 1$

$3x = -6$

Найдем $x$, разделив обе части на 3:

$x = \frac{-6}{3}$

$x = -2$

Ответ: $-2$

б) $5 - 3y - (4 - 2y) = y - 8 - (y - 1)$

Раскроем скобки. Перед скобками в обеих частях уравнения стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$5 - 3y - 4 + 2y = y - 8 - y + 1$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.

В левой части: $(-3y + 2y) + (5 - 4) = -y + 1$

В правой части: $(y - y) + (-8 + 1) = -7$

Получаем уравнение:

$-y + 1 = -7$

Перенесем 1 в правую часть с противоположным знаком:

$-y = -7 - 1$

$-y = -8$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $y$:

$y = 8$

Ответ: $8$

в) $7 - 1\frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a - 5\frac{1}{2}) = 2a + \frac{3}{4} - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}a)$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ и $5\frac{1}{2} = \frac{11}{2}$.

Уравнение примет вид:

$7 - \frac{3}{2}a + (\frac{1}{2}a - \frac{11}{2}) = 2a + \frac{3}{4} - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}a)$

Раскроем скобки:

$7 - \frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a - \frac{11}{2} = 2a + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}a$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях. В левой части: $(-\frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a) + (7 - \frac{11}{2}) = -\frac{2}{2}a + (\frac{14}{2} - \frac{11}{2}) = -a + \frac{3}{2}$.

В правой части: $(2a - \frac{1}{2}a) + (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) = (\frac{4}{2}a - \frac{1}{2}a) + (\frac{3}{4} - \frac{2}{4}) = \frac{3}{2}a + \frac{1}{4}$.

Получаем уравнение:

$-a + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}a + \frac{1}{4}$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в правую часть, а свободные члены в левую:

$\frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{3}{2}a + a$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{6}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{2}a + \frac{2}{2}a$

$\frac{5}{4} = \frac{5}{2}a$

Чтобы найти $a$, разделим обе части на $\frac{5}{2}$ (или умножим на $\frac{2}{5}$):

$a = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5}$

$a = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $-3,6 - (1,5x + 1) = -4x - 0,8 - (0,4x - 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Так как перед обеими скобками стоит знак минус, знаки слагаемых внутри них меняются на противоположные.

$-3,6 - 1,5x - 1 = -4x - 0,8 - 0,4x + 2$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.

В левой части: $-1,5x + (-3,6 - 1) = -1,5x - 4,6$

В правой части: $(-4x - 0,4x) + (-0,8 + 2) = -4,4x + 1,2$

Получаем уравнение:

$-1,5x - 4,6 = -4,4x + 1,2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены в правую, меняя их знаки:

$-1,5x + 4,4x = 1,2 + 4,6$

$2,9x = 5,8$

Найдем $x$, разделив обе части на 2,9:

$x = \frac{5,8}{2,9}$

$x = 2$

Ответ: $2$

762. Найдите четыре числа, пропорциональные числам 2, 4, 5 и 6, если разность между суммой двух последних и суммой двух первых чисел равна 4,8.

Пусть искомые четыре числа, пропорциональные числам 2, 4, 5 и 6, можно представить с помощью коэффициента пропорциональности $k$. Тогда эти числа равны $2k$, $4k$, $5k$ и $6k$.

Согласно условию задачи, разность между суммой двух последних чисел и суммой двух первых чисел равна 4,8. Составим уравнение на основе этого условия:

$(5k + 6k) - (2k + 4k) = 4,8$

Упростим выражение в левой части уравнения:

$11k - 6k = 4,8$

$5k = 4,8$

Теперь найдем значение коэффициента пропорциональности $k$:

$k = 4,8 : 5$

$k = 0,96$

Зная коэффициент пропорциональности, мы можем найти каждое из четырех чисел:

Первое число: $2 \cdot 0,96 = 1,92$
Второе число: $4 \cdot 0,96 = 3,84$
Третье число: $5 \cdot 0,96 = 4,8$
Четвертое число: $6 \cdot 0,96 = 5,76$

Проведем проверку. Найдем разность между суммой двух последних и суммой двух первых чисел:

$(4,8 + 5,76) - (1,92 + 3,84) = 10,56 - 5,76 = 4,8$

Разность равна 4,8, что соответствует условию задачи.

Ответ: искомые числа: 1,92; 3,84; 4,8; 5,76.

763. Если к задуманному числу приписать справа нуль и результат вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное число. Какое число было задумано?

Обозначим задуманное число переменной $x$.

Приписать к числу справа нуль — это то же самое, что умножить его на 10. Таким образом, после приписывания нуля к задуманному числу $x$ мы получим число $10x$.

По условию задачи, если этот результат ($10x$) вычесть из числа 143, то получится утроенное задуманное число, то есть $3x$.

Составим и решим уравнение, исходя из условия:

$143 - 10x = 3x$

Чтобы решить уравнение, перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону. Прибавим $10x$ к обеим частям уравнения:

$143 = 3x + 10x$

$143 = 13x$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 13:

$x = \frac{143}{13}$

$x = 11$

Следовательно, задуманное число — это 11.

Проверим решение:
1. Задуманное число — 11.
2. Приписываем справа нуль, получаем 110.
3. Вычитаем результат из 143: $143 - 110 = 33$.
4. Утроенное задуманное число: $3 \times 11 = 33$.
Поскольку $33 = 33$, решение найдено верно.

Ответ: 11.