Номер 757, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 8 - номер 757, страница 158.

Условие.

757. Докажите, что при любом значении а сумма многочленов 1,6а⁵ − 113а⁴ + 3,4а³ − а² − 1 и −135а ⁵ − 23а⁴ + 325а³ принимает отрицательное значение.

Решение 1.

$\left(1,6{\mathrm{a}}^5-1\frac{1}{3}{\mathrm{a}}^4-3,4{\mathrm{a}}^3-{\mathrm{a}}^2-1\right)+$

$+\left(-1\frac{3}{5}{\mathrm{a}}^5-\frac{2}{3}{\mathrm{a}}^4+3\frac{2}{5}{\mathrm{a}}^3\right)=$

$=1,6{\mathrm{a}}^5-1\frac{1}{3}{\mathrm{a}}^4-3,4{\mathrm{a}}^3-{\mathrm{a}}^2-1-$

$-1,6{\mathrm{a}}^5-\frac{2}{3}{\mathrm{a}}^4+3,4{\mathrm{a}}^3=$

$=-2{\mathrm{a}}^4-{\mathrm{a}}^2-1=-\left(2{\mathrm{a}}^4+{\mathrm{a}}^2+1\right)<0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что сумма многочленов принимает отрицательное значение при любом значении a, необходимо найти эту сумму и проанализировать полученное выражение.

Первый многочлен: $P_1(a) = 1,6a^5 - 1\frac{1}{3}a^4 - 3,4a^3 - a^2 - 1$.
Второй многочлен: $P_2(a) = -1\frac{3}{5}a^5 - \frac{2}{3}a^4 + 3\frac{2}{5}a^3$.

Найдем их сумму $S(a) = P_1(a) + P_2(a)$:$S(a) = (1,6a^5 - 1\frac{1}{3}a^4 - 3,4a^3 - a^2 - 1) + (-1\frac{3}{5}a^5 - \frac{2}{3}a^4 + 3\frac{2}{5}a^3)$.

Сгруппируем подобные слагаемые:$S(a) = (1,6 - 1\frac{3}{5})a^5 + (-1\frac{1}{3} - \frac{2}{3})a^4 + (-3,4 + 3\frac{2}{5})a^3 - a^2 - 1$.

Теперь вычислим значения коэффициентов. Для этого приведем десятичные и смешанные дроби к одному виду (к обыкновенным дробям).

• Коэффициент при $a^5$:
  $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$
  $1\frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 1 + 3}{5} = \frac{8}{5}$
  Следовательно, $1,6 - 1\frac{3}{5} = \frac{8}{5} - \frac{8}{5} = 0$.
• Коэффициент при $a^4$:
  $-1\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{4+2}{3} = -\frac{6}{3} = -2$.
• Коэффициент при $a^3$:
  $-3,4 = -\frac{34}{10} = -\frac{17}{5}$
  $3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$
  Следовательно, $-3,4 + 3\frac{2}{5} = -\frac{17}{5} + \frac{17}{5} = 0$.

Подставим полученные коэффициенты обратно в выражение для суммы:$S(a) = 0 \cdot a^5 - 2a^4 + 0 \cdot a^3 - a^2 - 1 = -2a^4 - a^2 - 1$.

Теперь проанализируем полученное выражение $S(a) = -2a^4 - a^2 - 1$.Для любого действительного числа a его четные степени $a^4$ и $a^2$ являются неотрицательными, то есть:$a^4 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$.

Отсюда следует, что:$-2a^4 \le 0$$-a^2 \le 0$

Рассмотрим два случая:

1. Если $a = 0$, то $S(0) = -2(0)^4 - (0)^2 - 1 = 0 - 0 - 1 = -1$. Значение является отрицательным.

2. Если $a \neq 0$, то $a^4 > 0$ и $a^2 > 0$. В этом случае $-2a^4 < 0$ и $-a^2 < 0$. Выражение $S(a)$ представляет собой сумму трех отрицательных чисел $(-2a^4, -a^2, -1)$, которая всегда будет отрицательной.

Таким образом, при любом значении a сумма многочленов $S(a) = -2a^4 - a^2 - 1$ принимает отрицательное значение.

Ответ: Сумма многочленов после упрощения равна $-2a^4 - a^2 - 1$. Поскольку при любом значении a $a^4 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$, то $-2a^4 \le 0$ и $-a^2 \le 0$. Выражение $-2a^4 - a^2 - 1$ является суммой двух неположительных слагаемых и отрицательного числа $-1$, поэтому его значение всегда отрицательно. Что и требовалось доказать.