Номер 756, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 8 - номер 756, страница 158.

Условие.

756. Докажите, что при любом значении х разность многочленов 134x⁴ − 18x³ − 114x² + 25x + 57 и 0,75x⁴ − 0,125x³ − 2,25x² + 0,4x − 37 принимает положительное значение.

Решение 1.

$\left(1\frac{3}{4}{\mathrm{x}}^4-\frac{1}{8}{\mathrm{x}}^3-1\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^2+\frac{2}{5}\mathrm{x}+\frac{5}{7}\right)-$

$-\left(0,75{\mathrm{x}}^4-0,125{\mathrm{x}}^3-2,25{\mathrm{x}}^2+0,4\mathrm{x}-\frac{3}{7}\right)=$

$=1,75{\mathrm{x}}^4-0,125{\mathrm{x}}^3-1,25{\mathrm{x}}^2+0,4\mathrm{x}+$

$+\frac{5}{7}-0,75{\mathrm{x}}^4+0,125{\mathrm{x}}^3+2,25{\mathrm{x}}^2-$

$-0,4\mathrm{x}+\frac{3}{7}={\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^2+\frac{8}{7}=$

$={\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^2+1\frac{1}{7}>0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что разность многочленов принимает положительное значение при любом значении $x$, необходимо найти эту разность и проанализировать полученное выражение.

Обозначим первый многочлен как $P_1(x)$, а второй — как $P_2(x)$:

$P_1(x) = 1\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - 1\frac{1}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}$

$P_2(x) = 0,75x^4 - 0,125x^3 - 2,25x^2 + 0,4x - \frac{3}{7}$

Найдем разность $P_1(x) - P_2(x)$. Для удобства вычислений преобразуем все десятичные и смешанные дроби в обыкновенные:

• $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
• $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
• $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
• $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$
• $2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
• $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь запишем разность многочленов с преобразованными коэффициентами:

$P_1(x) - P_2(x) = (\frac{7}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{5}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}) - (\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{9}{4}x^2 + \frac{2}{5}x - \frac{3}{7})$

Раскроем скобки, изменив знаки второго многочлена на противоположные, и сгруппируем подобные слагаемые:

$= \frac{7}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{5}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7} - \frac{3}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{3}{7}$

$= (\frac{7}{4} - \frac{3}{4})x^4 + (-\frac{1}{8} + \frac{1}{8})x^3 + (-\frac{5}{4} + \frac{9}{4})x^2 + (\frac{2}{5} - \frac{2}{5})x + (\frac{5}{7} + \frac{3}{7})$

Выполним вычисления для каждого коэффициента:

$= (\frac{4}{4})x^4 + (0)x^3 + (\frac{4}{4})x^2 + (0)x + (\frac{8}{7})$

$= x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$

Теперь проанализируем полученное выражение $x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$. Нам нужно доказать, что оно всегда больше нуля.

Рассмотрим каждое слагаемое:

1. $x^4$: так как показатель степени четный, $x^4 \ge 0$ для любого действительного значения $x$. Равенство нулю достигается только при $x = 0$.
2. $x^2$: так как показатель степени четный, $x^2 \ge 0$ для любого действительного значения $x$. Равенство нулю достигается только при $x = 0$.
3. $\frac{8}{7}$: это число является положительной константой.

Сумма двух неотрицательных слагаемых ($x^4$ и $x^2$) и одного положительного слагаемого ($\frac{8}{7}$) всегда будет положительной. Рассмотрим два возможных случая:

• Если $x=0$, то выражение равно $0^4 + 0^2 + \frac{8}{7} = \frac{8}{7}$. Так как $\frac{8}{7} > 0$, значение положительно.
• Если $x \neq 0$, то $x^4 > 0$ и $x^2 > 0$. Сумма трех положительных чисел ($x^4$, $x^2$ и $\frac{8}{7}$) очевидно будет положительным числом.

Таким образом, при любом значении $x$ выражение $x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$ принимает только положительные значения. Наименьшее значение достигается при $x=0$ и равно $\frac{8}{7}$.

Следовательно, разность исходных многочленов всегда положительна.

Ответ: Разность многочленов равна $x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$. Поскольку $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любого $x$, а $\frac{8}{7} > 0$, то их сумма $x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$ всегда будет больше нуля, что и требовалось доказать.