Номер 754, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 8 - номер 754, страница 158.

Условие.

754. Докажите, что выражение А + В − С тождественно равно выражению С − В − А, если А = 2х − 1, В = 3х + 1 и С = 5х.

Решение 1.

A + B - C = C - B - A

A = 2x - 1; B = 3x + 1;
C = 5x;

(2x - 1) + (3x + 1) - 5x =
= 5x - (3x + 1) - (2x - 1)

2x - 1 + 3x + 1 - 5x =
= 5x - 3x - 1 - 2x + 1

0 = 0 – верно.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что выражение $A + B - C$ тождественно равно выражению $C - B - A$, необходимо упростить обе части этого равенства, подставив в них заданные многочлены $A = 2x - 1$, $B = 3x + 1$ и $C = 5x$. Если результаты упрощения окажутся одинаковыми, тождество будет доказано.

1. Упрощение левой части: $A + B - C$

Подставим заданные выражения вместо $A$, $B$ и $C$:

$A + B - C = (2x - 1) + (3x + 1) - (5x)$

Раскроем скобки:

$2x - 1 + 3x + 1 - 5x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):

$(2x + 3x - 5x) + (-1 + 1) = 0x + 0 = 0$

Таким образом, значение левой части равно 0.

2. Упрощение правой части: $C - B - A$

Подставим заданные выражения вместо $C$, $B$ и $A$:

$C - B - A = (5x) - (3x + 1) - (2x - 1)$

Раскроем скобки. Обратим внимание, что знак минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри них на противоположные:

$5x - 3x - 1 - 2x + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(5x - 3x - 2x) + (-1 + 1) = 0x + 0 = 0$

Таким образом, значение правой части также равно 0.

Заключение

Поскольку левая часть выражения $A + B - C$ равна 0 и правая часть $C - B - A$ также равна 0, то $0 = 0$. Это означает, что равенство $A + B - C = C - B - A$ верно при любом значении переменной $x$.

Ответ: Тождество доказано.