Номер 748, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 10. Произведение многочленов. 31. Деление с остатком - номер 748, страница 157.

Условие.

748. Найдите целое число, которое как при делении на 5, так и при делении на 7 даёт остаток 1, причём первое частное на 4 больше второго.

Решение 1.

Пусть a – целое число. По условию:

a : 5 = k₁ (ост. 1)
a = 5k₁ + 1;

a : 7 = k₂ (ост. 1),
a = 7k₂ + 1;

5k₁ + 1 = 7k₂ + 1 (1)

Зная, что k₁ > k₂ на 4, получим k₁ = 4 + k₂. Подставим значение k₂ в равенство (1)

5(4 + k₂) + 1 = 7k₂ + 1;
20 + 5k₂ + 1 = 7k₂ + 1;
7k₂ + 1 = 21 + 5k₂;
7k₂ - 5k₂ = 21 - 1;
2k₂ = 20;
k₂ = 10;

a = 7 ⋅ 10 + 1 = 71.

Ответ: 71.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомое целое число равно $x$.

Из условия задачи известно, что при делении числа $x$ на 5 с остатком, частное (назовём его $q_1$) и остаток равный 1. Это можно записать в виде уравнения: $x = 5 \cdot q_1 + 1$

Аналогично, при делении числа $x$ на 7 с остатком, частное (назовём его $q_2$) и остаток равный 1. Это можно записать в виде второго уравнения: $x = 7 \cdot q_2 + 1$

Также в условии сказано, что первое частное на 4 больше второго, то есть: $q_1 = q_2 + 4$

Поскольку левые части первых двух уравнений равны ($x$), мы можем приравнять их правые части: $5 \cdot q_1 + 1 = 7 \cdot q_2 + 1$

Вычтем 1 из обеих частей равенства: $5 \cdot q_1 = 7 \cdot q_2$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $q_1$ ($q_1 = q_2 + 4$): $5 \cdot (q_2 + 4) = 7 \cdot q_2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $q_2$: $5 \cdot q_2 + 20 = 7 \cdot q_2$ $20 = 7 \cdot q_2 - 5 \cdot q_2$ $20 = 2 \cdot q_2$ $q_2 = \frac{20}{2}$ $q_2 = 10$

Теперь, когда мы нашли второе частное ($q_2 = 10$), мы можем найти и первое частное: $q_1 = q_2 + 4 = 10 + 4 = 14$

Зная значения частных, мы можем найти искомое число $x$, подставив любое из них в соответствующее уравнение. Подставим $q_2=10$ во второе уравнение: $x = 7 \cdot q_2 + 1 = 7 \cdot 10 + 1 = 70 + 1 = 71$

Для проверки подставим $q_1=14$ в первое уравнение: $x = 5 \cdot q_1 + 1 = 5 \cdot 14 + 1 = 70 + 1 = 71$

Оба вычисления дали одинаковый результат. Проверим, удовлетворяет ли число 71 всем условиям задачи:
1. При делении на 5: $71 = 5 \cdot 14 + 1$. Остаток 1. Частное 14.
2. При делении на 7: $71 = 7 \cdot 10 + 1$. Остаток 1. Частное 10.
3. Сравнение частных: $14 - 10 = 4$. Первое частное на 4 больше второго.
Все условия выполнены.

Ответ: 71.