Номер 742, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

742. При делении целого числа m на 35 в остатке получили 15. Делится ли число m на 5; на 7?

По условию, при делении целого числа $m$ на 35 в остатке получается 15. Это можно записать с помощью формулы деления с остатком:

$m = 35 \cdot q + 15$, где $q$ — некоторое целое число (неполное частное).

Теперь проверим делимость числа $m$ на 5 и на 7.

Делится ли число m на 5

Чтобы проверить, делится ли число $m$ на 5, проанализируем выражение $m = 35 \cdot q + 15$.

Первое слагаемое, $35 \cdot q$, делится на 5, так как множитель 35 делится на 5 ($35 = 5 \cdot 7$).

Второе слагаемое, 15, также делится на 5 ($15 = 5 \cdot 3$).

Если каждое слагаемое в сумме делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. В нашем случае оба слагаемых делятся на 5, значит, и их сумма $m$ делится на 5.

Можно показать это, вынеся 5 за скобки:

$m = 35 \cdot q + 15 = (5 \cdot 7) \cdot q + (5 \cdot 3) = 5 \cdot (7 \cdot q + 3)$

Так как число $m$ можно представить в виде произведения числа 5 и целого числа $(7q + 3)$, то $m$ делится на 5 без остатка.

Ответ: да, делится.

Делится ли число m на 7

Аналогично проверим делимость числа $m$ на 7, используя то же выражение $m = 35 \cdot q + 15$.

Первое слагаемое, $35 \cdot q$, делится на 7, так как множитель 35 делится на 7 ($35 = 7 \cdot 5$).

Второе слагаемое, 15, при делении на 7 дает остаток 1 ($15 = 7 \cdot 2 + 1$).

Если в сумме одно слагаемое делится на некоторое число, а другое — не делится, то вся сумма на это число не делится.

Представим число $m$ иначе, чтобы увидеть остаток от деления на 7:

$m = 35 \cdot q + 15 = 35 \cdot q + 14 + 1 = (35 \cdot q + 14) + 1$

Вынесем 7 за скобки в выражении $(35 \cdot q + 14)$:

$m = 7 \cdot (5 \cdot q + 2) + 1$

Эта запись показывает, что при делении числа $m$ на 7 получается остаток 1. Следовательно, число $m$ не делится на 7 без остатка.

Ответ: нет, не делится.