Номер 745, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, оранжевый, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-102535-4, 978-5-09-110804-0

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

31. Деление с остатком. § 10. Произведение многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 745, страница 157.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№745 (с. 157)
Условие. №745 (с. 157)
скриншот условия
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 157, номер 745, Условие

745. Верно ли, что при любых целых значениях а и b произведение ab(a + b)(ab) делится на 3?

Решение 1. №745 (с. 157)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 157, номер 745, Решение 1 Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 157, номер 745, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №745 (с. 157)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 157, номер 745, Решение 2
Решение 3. №745 (с. 157)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 157, номер 745, Решение 3
Решение 4. №745 (с. 157)
Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 157, номер 745, Решение 4 Алгебра, 7 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 157, номер 745, Решение 4 (продолжение 2)
Решение 5. №745 (с. 157)

Чтобы ответить на вопрос, необходимо доказать, что произведение $ab(a+b)(a-b)$ делится на 3 при любых целых значениях $a$ и $b$. Для этого можно использовать два разных подхода.

Способ 1: Анализ остатков при делении на 3

Любое целое число при делении на 3 даёт один из трёх остатков: 0, 1 или 2. Проанализируем все возможные комбинации остатков для чисел $a$ и $b$. Для того чтобы произведение делилось на 3, достаточно, чтобы хотя бы один из его множителей ($a$, $b$, $(a+b)$ или $(a-b)$) делился на 3.

1. Если хотя бы одно из чисел, $a$ или $b$, делится на 3.
В этом случае остаток от деления на 3 равен 0. Если $a$ делится на 3, то всё произведение $ab(a+b)(a-b)$ содержит множитель, кратный 3, и, следовательно, само делится на 3. Аналогично, если $b$ делится на 3.

2. Если ни $a$, ни $b$ не делятся на 3.
В этом случае остатки от деления $a$ и $b$ на 3 могут быть только 1 или 2.
- Случай, когда остатки одинаковы. Если $a$ и $b$ дают одинаковый остаток при делении на 3 (оба 1 или оба 2), то их разность $(a-b)$ будет делиться на 3. Например, если $a = 3k+r$ и $b = 3m+r$, то $a-b = 3(k-m)$. Таким образом, множитель $(a-b)$ в произведении делится на 3, а значит, и всё произведение делится на 3.
- Случай, когда остатки разные. Если $a$ и $b$ дают разные остатки (один 1, а другой 2), то их сумма $(a+b)$ будет делиться на 3, так как остаток от её деления будет $1+2=3$, что равно 0 по модулю 3. Например, если $a = 3k+1$ и $b = 3m+2$, то $a+b = 3k+3m+3 = 3(k+m+1)$. Таким образом, множитель $(a+b)$ делится на 3, и всё произведение также делится на 3.

Мы рассмотрели все возможные случаи и в каждом из них произведение оказалось кратным 3. Следовательно, утверждение верно.

Способ 2: Использование Малой теоремы Ферма

Сначала преобразуем исходное выражение, используя формулу разности квадратов:
$ab(a+b)(a-b) = ab(a^2 - b^2) = a^3b - ab^3$.

Согласно Малой теореме Ферма, для любого целого числа $n$ и простого числа $p$ выполняется сравнение $n^p \equiv n \pmod{p}$.
Для простого числа $p=3$ это означает, что для любого целого $a$ верно $a^3 \equiv a \pmod{3}$, и для любого целого $b$ верно $b^3 \equiv b \pmod{3}$.

Теперь рассмотрим наше преобразованное выражение по модулю 3, используя указанные выше сравнения:
$a^3b - ab^3 \equiv (a)b - a(b) \pmod{3}$
$a^3b - ab^3 \equiv ab - ab \pmod{3}$
$a^3b - ab^3 \equiv 0 \pmod{3}$

То, что выражение сравнимо с 0 по модулю 3, означает, что оно делится на 3 без остатка при любых целых $a$ и $b$.

Ответ: Да, верно.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 745 расположенного на странице 157 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №745 (с. 157), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться