Номер 745, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 10. Произведение многочленов. 31. Деление с остатком - номер 745, страница 157.

Условие.

745. Верно ли, что при любых целых значениях а и b произведение ab(a + b)(a − b) делится на 3?

Решение 1.

Для того чтобы произведение ab(a + b) (a - b) делилось на 3, нужно, чтобы хотя бы один из множителей a, b, (a + b) или a - b делился на 3.

Если a или b делится на 3, то всё произведение делится на 3. Предположим, что ни a, ни b не делится на 3, тогда остаток от деления может быть 1 или 2.

Рассмотрим три случая:

1) a : 3 = k₁ (ост. 1),
a = 3k₁ + 1

b : 3 = k₂ (ост. 1),
b = 3k₂ + 1

ab(a + b) (a - b) = (3k₁ + 1) ×
× (3k₂ + 1) (3k₁ + 1 + 3k₂ + 1) ×
× (3k₁ + 1 - 3k₂ - 1) =
= (3k₁ + 1) (3k₂ + 1) ×
× (3k₁ + 3k₂ + 2) (3k₁ - 3k₂) =
= (3k₁ + 1) (3k₂ + 1) ×
× (3k₁ + 3k₂ + 2) (k₁ - k₂) ⋅ 3 делится на 3.

2) a : 3 = k₁ (ост. 2),
a = 3k₁ + 2

b : 3 = k₂ (ост. 2),
b = 3k₂ + 2

ab(a + b) (a - b) = (3k₁ + 2) ×
× (3k₂ + 2) (3k₁ + 2 + 3k₂ + 2) ×
× (3k₁ + 2 - 3k₂ - 2) =
= (3k₁ + 2) (3k₂ + 2) ×
× (3k₁ + 3k₂ + 4) (3k₁ - 3k₂) =
= (3k₁ + 2) (3k₂ + 2) ×
× (3k₁ + 3k₂ + 4) (k₁ - k₂) ⋅ 3 делится на 3.

3) a : 3 = k₁ (ост. 1),
a = 3k₁ + 1

b : 3 = k₂ (ост. 2),
b = 3k₂ + 2

ab(a + b) (a - b) = (3k₁ + 1) ×
× (3k₂ + 2) (3k₁ + 1 + 3k₂ + 2) ×
× (3k₁ + 1 - 3k₂ - 2) =
= (3k₁ + 1) (3k₂ + 2) ×
× (3k₁ + 3k₂ + 3) (3k₁ - 3k₂ - 1) =
= (3k₁ + 1) (3k₂ + 2) ×
× (3k₁ - 3k₂ - 1) (k₁ + k₂ + 1) ⋅ 3 делится на 3.

ab(a + b) (a - b) делится на 3.

Ответ: верно.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо доказать, что произведение $ab(a+b)(a-b)$ делится на 3 при любых целых значениях $a$ и $b$. Для этого можно использовать два разных подхода.

Способ 1: Анализ остатков при делении на 3

Любое целое число при делении на 3 даёт один из трёх остатков: 0, 1 или 2. Проанализируем все возможные комбинации остатков для чисел $a$ и $b$. Для того чтобы произведение делилось на 3, достаточно, чтобы хотя бы один из его множителей ($a$, $b$, $(a+b)$ или $(a-b)$) делился на 3.

1. Если хотя бы одно из чисел, $a$ или $b$, делится на 3.
В этом случае остаток от деления на 3 равен 0. Если $a$ делится на 3, то всё произведение $ab(a+b)(a-b)$ содержит множитель, кратный 3, и, следовательно, само делится на 3. Аналогично, если $b$ делится на 3.

2. Если ни $a$, ни $b$ не делятся на 3.
В этом случае остатки от деления $a$ и $b$ на 3 могут быть только 1 или 2.
- Случай, когда остатки одинаковы. Если $a$ и $b$ дают одинаковый остаток при делении на 3 (оба 1 или оба 2), то их разность $(a-b)$ будет делиться на 3. Например, если $a = 3k+r$ и $b = 3m+r$, то $a-b = 3(k-m)$. Таким образом, множитель $(a-b)$ в произведении делится на 3, а значит, и всё произведение делится на 3.
- Случай, когда остатки разные. Если $a$ и $b$ дают разные остатки (один 1, а другой 2), то их сумма $(a+b)$ будет делиться на 3, так как остаток от её деления будет $1+2=3$, что равно 0 по модулю 3. Например, если $a = 3k+1$ и $b = 3m+2$, то $a+b = 3k+3m+3 = 3(k+m+1)$. Таким образом, множитель $(a+b)$ делится на 3, и всё произведение также делится на 3.

Мы рассмотрели все возможные случаи и в каждом из них произведение оказалось кратным 3. Следовательно, утверждение верно.

Способ 2: Использование Малой теоремы Ферма

Сначала преобразуем исходное выражение, используя формулу разности квадратов:
$ab(a+b)(a-b) = ab(a^2 - b^2) = a^3b - ab^3$.

Согласно Малой теореме Ферма, для любого целого числа $n$ и простого числа $p$ выполняется сравнение $n^p \equiv n \pmod{p}$.
Для простого числа $p=3$ это означает, что для любого целого $a$ верно $a^3 \equiv a \pmod{3}$, и для любого целого $b$ верно $b^3 \equiv b \pmod{3}$.

Теперь рассмотрим наше преобразованное выражение по модулю 3, используя указанные выше сравнения:
$a^3b - ab^3 \equiv (a)b - a(b) \pmod{3}$
$a^3b - ab^3 \equiv ab - ab \pmod{3}$
$a^3b - ab^3 \equiv 0 \pmod{3}$

То, что выражение сравнимо с 0 по модулю 3, означает, что оно делится на 3 без остатка при любых целых $a$ и $b$.

Ответ: Да, верно.