Страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

741. Укажите наибольшее число воскресений в году.

Чтобы найти наибольшее возможное число воскресений в году, нужно проанализировать количество дней в обычном и високосном годах и их отношение к количеству дней в неделе.

В неделе 7 дней. Год может быть обычным (365 дней) или високосным (366 дней). Чтобы максимизировать количество воскресений, мы должны рассмотреть год с наибольшим количеством дней, то есть високосный, так как он предоставляет больше возможностей.

1. Обычный год

В обычном году 365 дней. Разделим это число на 7, чтобы узнать, сколько полных недель в году:

$365 = 52 \times 7 + 1$

Это означает, что обычный год состоит из 52 полных недель и еще одного дня. В 52 неделях будет ровно 52 воскресенья. Чтобы общее число воскресений было максимальным, этот один «лишний» день должен быть воскресеньем. Такое возможно, если год начинается в воскресенье. В этом случае в году будет $52 + 1 = 53$ воскресенья.

2. Високосный год

В високосном году 366 дней. Снова разделим на 7:

$366 = 52 \times 7 + 2$

Високосный год состоит из 52 полных недель и двух дополнительных дней. Как и в предыдущем случае, 52 недели дают 52 воскресенья. Чтобы получить максимальное количество воскресений, нужно, чтобы один из двух «лишних» дней был воскресеньем. Это произойдет, если год начинается в субботу (тогда два дополнительных дня — это суббота и воскресенье) или если год начинается в воскресенье (тогда дополнительные дни — это воскресенье и понедельник). В любом из этих вариантов в году будет $52 + 1 = 53$ воскресенья.

Сравнивая результаты для обычного и високосного года, видим, что максимальное число воскресений в обоих случаях равно 53. Следовательно, это и есть искомое наибольшее число.

Ответ: 53

742. При делении целого числа m на 35 в остатке получили 15. Делится ли число m на 5; на 7?

По условию, при делении целого числа $m$ на 35 в остатке получается 15. Это можно записать с помощью формулы деления с остатком:

$m = 35 \cdot q + 15$, где $q$ — некоторое целое число (неполное частное).

Теперь проверим делимость числа $m$ на 5 и на 7.

Делится ли число m на 5

Чтобы проверить, делится ли число $m$ на 5, проанализируем выражение $m = 35 \cdot q + 15$.

Первое слагаемое, $35 \cdot q$, делится на 5, так как множитель 35 делится на 5 ($35 = 5 \cdot 7$).

Второе слагаемое, 15, также делится на 5 ($15 = 5 \cdot 3$).

Если каждое слагаемое в сумме делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. В нашем случае оба слагаемых делятся на 5, значит, и их сумма $m$ делится на 5.

Можно показать это, вынеся 5 за скобки:

$m = 35 \cdot q + 15 = (5 \cdot 7) \cdot q + (5 \cdot 3) = 5 \cdot (7 \cdot q + 3)$

Так как число $m$ можно представить в виде произведения числа 5 и целого числа $(7q + 3)$, то $m$ делится на 5 без остатка.

Ответ: да, делится.

Делится ли число m на 7

Аналогично проверим делимость числа $m$ на 7, используя то же выражение $m = 35 \cdot q + 15$.

Первое слагаемое, $35 \cdot q$, делится на 7, так как множитель 35 делится на 7 ($35 = 7 \cdot 5$).

Второе слагаемое, 15, при делении на 7 дает остаток 1 ($15 = 7 \cdot 2 + 1$).

Если в сумме одно слагаемое делится на некоторое число, а другое — не делится, то вся сумма на это число не делится.

Представим число $m$ иначе, чтобы увидеть остаток от деления на 7:

$m = 35 \cdot q + 15 = 35 \cdot q + 14 + 1 = (35 \cdot q + 14) + 1$

Вынесем 7 за скобки в выражении $(35 \cdot q + 14)$:

$m = 7 \cdot (5 \cdot q + 2) + 1$

Эта запись показывает, что при делении числа $m$ на 7 получается остаток 1. Следовательно, число $m$ не делится на 7 без остатка.

Ответ: нет, не делится.

743. При делении натурального числа а на натуральное число b в частном получили с и в остатке d. Могут ли все числа а, b, с и d быть нечётными?

При делении натурального числа $a$ на натуральное число $b$ с частным $c$ и остатком $d$ справедливо равенство: $a = b \cdot c + d$, где $a, b, c, d$ — натуральные числа и выполняется условие $0 \le d < b$.

Допустим, что все четыре числа $a, b, c$ и $d$ являются нечётными. Проанализируем это предположение с точки зрения чётности.

Рассмотрим правую часть равенства: $b \cdot c + d$.

1. Произведение двух нечётных чисел ($b$ и $c$) всегда является нечётным числом.
Например: нечётное $\times$ нечётное = нечётное. $3 \times 5 = 15$.

2. Сумма получившегося нечётного произведения ($b \cdot c$) и нечётного остатка ($d$) всегда является чётным числом.
Например: нечётное + нечётное = чётное. $15 + 1 = 16$.

Таким образом, если $b, c$ и $d$ — нечётные числа, то правая часть равенства, $b \cdot c + d$, всегда будет чётным числом.

Следовательно, число $a$ также должно быть чётным. Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что $a$ — нечётное число. Поскольку мы пришли к противоречию, наше допущение было неверным.

Ответ: Нет, не могут.

744. Докажите, что если целые числа а и b при делении на 3 дают разные остатки (не равные нулю), то число ab + 1 делится на 3.

Согласно условию задачи, целые числа $a$ и $b$ при делении на 3 дают разные остатки, которые не равны нулю.

При делении любого целого числа на 3 возможны три остатка: 0, 1 или 2.

Поскольку по условию остатки от деления $a$ и $b$ на 3 не равны нулю, они могут быть только 1 или 2. Также по условию эти остатки различны. Следовательно, одно из чисел (например, $a$) при делении на 3 дает остаток 1, а другое число ($b$) — остаток 2.

Это можно записать, используя формулу деления с остатком. Существуют такие целые числа $k$ и $m$, что:
$a = 3k + 1$
$b = 3m + 2$

Теперь рассмотрим выражение $ab + 1$. Подставим в него представления для $a$ и $b$:
$ab + 1 = (3k + 1)(3m + 2) + 1$

Раскроем скобки, перемножив двучлены:
$(3k + 1)(3m + 2) = 3k \cdot 3m + 3k \cdot 2 + 1 \cdot 3m + 1 \cdot 2 = 9km + 6k + 3m + 2$

Теперь прибавим 1 к результату:
$ab + 1 = (9km + 6k + 3m + 2) + 1 = 9km + 6k + 3m + 3$

Чтобы доказать, что это число делится на 3, вынесем общий множитель 3 за скобки:
$ab + 1 = 3(3km + 2k + m + 1)$

Так как $k$ и $m$ являются целыми числами, то и выражение в скобках $(3km + 2k + m + 1)$ является целым числом. Если число можно представить в виде произведения тройки и другого целого числа, то оно делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что $ab + 1$ делится на 3. Если бы мы изначально предположили, что $a$ дает остаток 2, а $b$ — остаток 1, результат был бы аналогичным, так как произведение $ab$ коммутативно.

Ответ: Утверждение доказано. Если остатки от деления $a$ и $b$ на 3 различны и не равны нулю, то они равны 1 и 2. Пусть $a = 3k + 1$, а $b = 3m + 2$ для некоторых целых $k$ и $m$. Тогда их произведение плюс один равно $ab + 1 = (3k + 1)(3m + 2) + 1 = 9km + 6k + 3m + 2 + 1 = 9km + 6k + 3m + 3 = 3(3km + 2k + m + 1)$. Поскольку это выражение является произведением числа 3 и целого числа, оно делится на 3.

745. Верно ли, что при любых целых значениях а и b произведение ab(a + b)(a − b) делится на 3?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо доказать, что произведение $ab(a+b)(a-b)$ делится на 3 при любых целых значениях $a$ и $b$. Для этого можно использовать два разных подхода.

Способ 1: Анализ остатков при делении на 3

Любое целое число при делении на 3 даёт один из трёх остатков: 0, 1 или 2. Проанализируем все возможные комбинации остатков для чисел $a$ и $b$. Для того чтобы произведение делилось на 3, достаточно, чтобы хотя бы один из его множителей ($a$, $b$, $(a+b)$ или $(a-b)$) делился на 3.

1. Если хотя бы одно из чисел, $a$ или $b$, делится на 3.
В этом случае остаток от деления на 3 равен 0. Если $a$ делится на 3, то всё произведение $ab(a+b)(a-b)$ содержит множитель, кратный 3, и, следовательно, само делится на 3. Аналогично, если $b$ делится на 3.

2. Если ни $a$, ни $b$ не делятся на 3.
В этом случае остатки от деления $a$ и $b$ на 3 могут быть только 1 или 2.
- Случай, когда остатки одинаковы. Если $a$ и $b$ дают одинаковый остаток при делении на 3 (оба 1 или оба 2), то их разность $(a-b)$ будет делиться на 3. Например, если $a = 3k+r$ и $b = 3m+r$, то $a-b = 3(k-m)$. Таким образом, множитель $(a-b)$ в произведении делится на 3, а значит, и всё произведение делится на 3.
- Случай, когда остатки разные. Если $a$ и $b$ дают разные остатки (один 1, а другой 2), то их сумма $(a+b)$ будет делиться на 3, так как остаток от её деления будет $1+2=3$, что равно 0 по модулю 3. Например, если $a = 3k+1$ и $b = 3m+2$, то $a+b = 3k+3m+3 = 3(k+m+1)$. Таким образом, множитель $(a+b)$ делится на 3, и всё произведение также делится на 3.

Мы рассмотрели все возможные случаи и в каждом из них произведение оказалось кратным 3. Следовательно, утверждение верно.

Способ 2: Использование Малой теоремы Ферма

Сначала преобразуем исходное выражение, используя формулу разности квадратов:
$ab(a+b)(a-b) = ab(a^2 - b^2) = a^3b - ab^3$.

Согласно Малой теореме Ферма, для любого целого числа $n$ и простого числа $p$ выполняется сравнение $n^p \equiv n \pmod{p}$.
Для простого числа $p=3$ это означает, что для любого целого $a$ верно $a^3 \equiv a \pmod{3}$, и для любого целого $b$ верно $b^3 \equiv b \pmod{3}$.

Теперь рассмотрим наше преобразованное выражение по модулю 3, используя указанные выше сравнения:
$a^3b - ab^3 \equiv (a)b - a(b) \pmod{3}$
$a^3b - ab^3 \equiv ab - ab \pmod{3}$
$a^3b - ab^3 \equiv 0 \pmod{3}$

То, что выражение сравнимо с 0 по модулю 3, означает, что оно делится на 3 без остатка при любых целых $a$ и $b$.

Ответ: Да, верно.

746. При делении целого числа а на 12 получается остаток 5. Какой остаток получится при делении этого числа на 4?

По условию задачи, при делении целого числа a на 12 получается остаток 5. Это можно записать в виде формулы деления с остатком:
$a = 12k + 5$, где k — некоторое целое число (неполное частное).

Нам нужно найти остаток от деления этого же числа a на 4. Для этого преобразуем полученное выражение. Заметим, что число 12 делится на 4 без остатка, так как $12 = 4 \cdot 3$.

Подставим это в наше выражение для a:
$a = (4 \cdot 3)k + 5$

Теперь представим остаток 5 в виде суммы, где одно из слагаемых кратно 4:
$5 = 4 + 1$

Подставим это разложение в выражение для a:
$a = (4 \cdot 3)k + (4 + 1)$

Сгруппируем слагаемые, которые содержат множитель 4, и вынесем его за скобки:
$a = (4 \cdot 3k + 4) + 1 = 4(3k + 1) + 1$

Полученное выражение имеет вид $a = 4q + r$, где $q = 3k + 1$ — новое неполное частное, а $r = 1$ — искомый остаток.
Следовательно, при делении числа a на 4 получается остаток 1.

Ответ: 1

747. Одно из двух целых чисел при делении на 9 даёт остаток 7, а другое даёт остаток 5. Какой остаток получится при делении на 9 их произведения?

Пусть первое целое число — это $a$, а второе — $b$.

Согласно условию задачи, число $a$ при делении на 9 даёт остаток 7. Это можно записать в виде равенства: $a = 9k + 7$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).

Аналогично, число $b$ при делении на 9 даёт остаток 5, что можно записать как: $b = 9m + 5$, где $m$ — некоторое целое число.

Нам необходимо найти остаток от деления на 9 их произведения $a \cdot b$. Для этого найдем их произведение, подставив записанные выше выражения:

$a \cdot b = (9k + 7) \cdot (9m + 5)$

Теперь раскроем скобки, перемножив многочлены:

$a \cdot b = (9k \cdot 9m) + (9k \cdot 5) + (7 \cdot 9m) + (7 \cdot 5)$

$a \cdot b = 81km + 45k + 63m + 35$

Сгруппируем слагаемые. Первые три слагаемых ($81km$, $45k$ и $63m$) имеют коэффициенты, которые делятся на 9. Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$a \cdot b = (81km + 45k + 63m) + 35 = 9 \cdot (9km + 5k + 7m) + 35$

В полученном выражении первое слагаемое $9 \cdot (9km + 5k + 7m)$ очевидно делится на 9 нацело. Это означает, что остаток от деления всего произведения $a \cdot b$ на 9 будет таким же, как остаток от деления числа 35 на 9.

Найдем остаток от деления 35 на 9:

$35 \div 9 = 3$ (остаток $8$), так как $35 = 9 \cdot 3 + 8$.

Следовательно, остаток от деления произведения двух чисел на 9 равен 8.

Ответ: 8

748. Найдите целое число, которое как при делении на 5, так и при делении на 7 даёт остаток 1, причём первое частное на 4 больше второго.

Пусть искомое целое число равно $x$.

Из условия задачи известно, что при делении числа $x$ на 5 с остатком, частное (назовём его $q_1$) и остаток равный 1. Это можно записать в виде уравнения: $x = 5 \cdot q_1 + 1$

Аналогично, при делении числа $x$ на 7 с остатком, частное (назовём его $q_2$) и остаток равный 1. Это можно записать в виде второго уравнения: $x = 7 \cdot q_2 + 1$

Также в условии сказано, что первое частное на 4 больше второго, то есть: $q_1 = q_2 + 4$

Поскольку левые части первых двух уравнений равны ($x$), мы можем приравнять их правые части: $5 \cdot q_1 + 1 = 7 \cdot q_2 + 1$

Вычтем 1 из обеих частей равенства: $5 \cdot q_1 = 7 \cdot q_2$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $q_1$ ($q_1 = q_2 + 4$): $5 \cdot (q_2 + 4) = 7 \cdot q_2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $q_2$: $5 \cdot q_2 + 20 = 7 \cdot q_2$ $20 = 7 \cdot q_2 - 5 \cdot q_2$ $20 = 2 \cdot q_2$ $q_2 = \frac{20}{2}$ $q_2 = 10$

Теперь, когда мы нашли второе частное ($q_2 = 10$), мы можем найти и первое частное: $q_1 = q_2 + 4 = 10 + 4 = 14$

Зная значения частных, мы можем найти искомое число $x$, подставив любое из них в соответствующее уравнение. Подставим $q_2=10$ во второе уравнение: $x = 7 \cdot q_2 + 1 = 7 \cdot 10 + 1 = 70 + 1 = 71$

Для проверки подставим $q_1=14$ в первое уравнение: $x = 5 \cdot q_1 + 1 = 5 \cdot 14 + 1 = 70 + 1 = 71$

Оба вычисления дали одинаковый результат. Проверим, удовлетворяет ли число 71 всем условиям задачи:
1. При делении на 5: $71 = 5 \cdot 14 + 1$. Остаток 1. Частное 14.
2. При делении на 7: $71 = 7 \cdot 10 + 1$. Остаток 1. Частное 10.
3. Сравнение частных: $14 - 10 = 4$. Первое частное на 4 больше второго.
Все условия выполнены.

Ответ: 71.

749. Докажите, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.

Чтобы доказать, что произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится на 6 при любом натуральном $n$, необходимо доказать, что оно делится одновременно на 2 и на 3, так как $6 = 2 \cdot 3$ и числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Доказательство делимости на 2

Рассмотрим два возможных случая для натурального числа $n$.

1. Если $n$ — четное число, то $n$ можно представить в виде $n=2k$, где $k$ — натуральное число. В этом случае все произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ содержит множитель $n=2k$, который делится на 2. Следовательно, все произведение делится на 2.

2. Если $n$ — нечетное число, то множитель $(7n+1)$ будет четным. Это так, потому что произведение нечетного числа $n$ на нечетное число 7 является нечетным числом, а прибавление 1 к нечетному числу дает в результате четное число. Так как один из множителей произведения, $(7n+1)$, делится на 2, то и все произведение делится на 2.

Таким образом, при любом натуральном $n$ данное выражение делится на 2.

Доказательство делимости на 3

Рассмотрим три случая в зависимости от остатка от деления $n$ на 3.

1. Если $n$ делится на 3 без остатка (т.е. $n = 3k$ для некоторого натурального $k$), то множитель $n$ делится на 3, а значит и все произведение делится на 3.

2. Если $n$ при делении на 3 дает остаток 1 (т.е. $n=3k+1$ для некоторого целого $k \ge 0$), то множитель $(2n+1)$ будет делиться на 3. Проверим: $2n+1 = 2(3k+1)+1 = 6k+2+1 = 6k+3 = 3(2k+1)$. Так как этот множитель делится на 3, то и все произведение делится на 3.

3. Если $n$ при делении на 3 дает остаток 2 (т.е. $n=3k+2$ для некоторого целого $k \ge 0$), то множитель $(7n+1)$ будет делиться на 3. Проверим: $7n+1 = 7(3k+2)+1 = 21k+14+1 = 21k+15 = 3(7k+5)$. Так как этот множитель делится на 3, то и все произведение делится на 3.

Таким образом, при любом натуральном $n$ данное выражение делится на 3.

Заключение

Поскольку выражение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится и на 2, и на 3 при любом натуральном $n$, оно делится и на их произведение, то есть на 6. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

750. Найдутся ли такие целые значения х, при которых значение многочлена:
а) 2х² + 6х + 3 окажется чётным числом;
б) х² + х + 2 окажется нечётным числом?

а)

Рассмотрим многочлен $2x^2 + 6x + 3$. Нам нужно определить, может ли его значение быть чётным при целых значениях $x$.

Проанализируем чётность каждого слагаемого в выражении при любом целом $x$:

• Первое слагаемое: $2x^2$. Поскольку $x$ — целое число, то и $x^2$ — целое. Произведение любого целого числа на 2 всегда является чётным числом. Следовательно, $2x^2$ — всегда чётное число.
• Второе слагаемое: $6x$. Поскольку $x$ — целое число, произведение $6x$ также всегда является чётным числом (так как 6 — чётное).
• Третье слагаемое: $3$. Это нечётное число.

Теперь рассмотрим сумму этих слагаемых. Сумма двух чётных чисел ($2x^2$ и $6x$) является чётным числом.

$2x^2 + 6x = \text{чётное} + \text{чётное} = \text{чётное}$

Тогда значение всего многочлена равно сумме этого чётного числа и нечётного числа 3:

$(2x^2 + 6x) + 3 = \text{чётное} + \text{нечётное} = \text{нечётное}$

Сумма чётного и нечётного чисел всегда нечётна.

Формально, можно вынести 2 за скобки из первых двух слагаемых: $2x^2 + 6x + 3 = 2(x^2 + 3x) + 3$. Пусть $k = x^2 + 3x$. Так как $x$ целое, $k$ тоже целое. Тогда выражение принимает вид $2k + 3$. Это число можно представить как $2k + 2 + 1 = 2(k+1) + 1$. Число такого вида по определению является нечётным для любого целого $k$.

Таким образом, при любом целом значении $x$ значение многочлена $2x^2 + 6x + 3$ всегда будет нечётным числом и никогда не сможет быть чётным.

Ответ: нет, таких целых значений $x$ не найдётся.

б)

Рассмотрим многочлен $x^2 + x + 2$. Нам нужно определить, может ли его значение быть нечётным при целых значениях $x$.

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем $x$ за скобки:

$x^2 + x + 2 = x(x+1) + 2$

Проанализируем чётность выражения $x(x+1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел, $x$ и $x+1$.

• Если $x$ — чётное число, то произведение $x(x+1)$ также будет чётным (произведение чётного и нечётного чисел).
• Если $x$ — нечётное число, то $x+1$ будет чётным, и произведение $x(x+1)$ снова будет чётным (произведение нечётного и чётного чисел).

Следовательно, произведение двух последовательных целых чисел $x(x+1)$ всегда является чётным числом при любом целом $x$.

Теперь рассмотрим всё выражение $x(x+1) + 2$.

Мы установили, что $x(x+1)$ — всегда чётное число. Число 2 также является чётным.

Сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом:

$x(x+1) + 2 = \text{чётное} + \text{чётное} = \text{чётное}$

Формально, так как $x(x+1)$ всегда чётно, его можно представить в виде $2k$ для некоторого целого $k$. Тогда весь многочлен равен $2k + 2 = 2(k+1)$. Поскольку $k+1$ является целым числом, значение многочлена всегда является произведением целого числа на 2, то есть всегда чётным.

Таким образом, при любом целом значении $x$ значение многочлена $x^2 + x + 2$ всегда будет чётным числом и никогда не сможет быть нечётным.

Ответ: нет, таких целых значений $x$ не найдётся.

751. Расположите члены многочлена 3аx² − 6а³х + 8а² − х³:
а) по возрастающим степеням переменной х;
б) по убывающим степеням переменной а.

Дан многочлен $3ax^2 - 6a^3x + 8a^2 - x^3$. Для того чтобы расположить его члены в заданном порядке, определим степени соответствующих переменных в каждом члене.

а) по возрастающим степеням переменной x

Чтобы расположить члены многочлена по возрастающим степеням переменной $x$, нужно найти степень $x$ в каждом одночлене и выписать их в порядке увеличения степени.

• Член $8a^2$ не содержит $x$, поэтому его степень по $x$ равна 0.
• Член $-6a^3x$ содержит $x$ в первой степени ($x^1$).
• Член $3ax^2$ содержит $x$ во второй степени ($x^2$).
• Член $-x^3$ содержит $x$ в третьей степени ($x^3$).

Располагаем члены в порядке возрастания степеней переменной $x$ (от 0 до 3):

$8a^2 - 6a^3x + 3ax^2 - x^3$

Ответ: $8a^2 - 6a^3x + 3ax^2 - x^3$

б) по убывающим степеням переменной a

Чтобы расположить члены многочлена по убывающим степеням переменной $a$, нужно найти степень $a$ в каждом одночлене и выписать их в порядке уменьшения степени.

• Член $-6a^3x$ содержит $a$ в третьей степени ($a^3$).
• Член $8a^2$ содержит $a$ во второй степени ($a^2$).
• Член $3ax^2$ содержит $a$ в первой степени ($a^1$).
• Член $-x^3$ не содержит $a$, поэтому его степень по $a$ равна 0.

Располагаем члены в порядке убывания степеней переменной $a$ (от 3 до 0):

$-6a^3x + 8a^2 + 3ax^2 - x^3$

Ответ: $-6a^3x + 8a^2 + 3ax^2 - x^3$

752. Представьте в виде многочлена:

а) Для того чтобы представить выражение $(-2x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 7) - (4x^2 + 2x + 8)$ в виде многочлена, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки. Так как перед второй и третьей скобками стоит знак минус, все знаки внутри этих скобок меняются на противоположные:

$-2x^2 + x + 1 - x^2 + x - 7 - 4x^2 - 2x - 8$

2. Сгруппируем подобные слагаемые (члены с $x^2$, члены с $x$ и свободные члены):

$(-2x^2 - x^2 - 4x^2) + (x + x - 2x) + (1 - 7 - 8)$

3. Выполним действия в каждой группе:

$-7x^2 + 0x - 14 = -7x^2 - 14$

Ответ: $-7x^2 - 14$.

б) Преобразуем выражение $(3a^2 - a + 2) + (-3a^2 + 3a - 1) - (a^2 - 1)$.

1. Раскроем скобки, учитывая знаки перед ними:

$3a^2 - a + 2 - 3a^2 + 3a - 1 - a^2 + 1$

2. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3a^2 - 3a^2 - a^2) + (-a + 3a) + (2 - 1 + 1)$

3. Вычислим результат:

$-a^2 + 2a + 2$

Ответ: $-a^2 + 2a + 2$.

в) Преобразуем выражение $2a - 3b + c - (4a + 7b + c + 3)$.

1. Раскроем скобки. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные:

$2a - 3b + c - 4a - 7b - c - 3$

2. Сгруппируем подобные слагаемые для каждой переменной:

$(2a - 4a) + (-3b - 7b) + (c - c) - 3$

3. Выполним вычисления:

$-2a - 10b + 0 - 3 = -2a - 10b - 3$

Ответ: $-2a - 10b - 3$.

г) Преобразуем выражение $2xy - y^2 + (y^2 - xy) - (x^2 + xy)$.

1. Раскроем скобки:

$2xy - y^2 + y^2 - xy - x^2 - xy$

2. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2xy - xy - xy) + (-y^2 + y^2) - x^2$

3. Выполним вычисления. Обратите внимание, что некоторые группы слагаемых в сумме дают ноль:

$0 \cdot xy + 0 \cdot y^2 - x^2 = -x^2$

Ответ: $-x^2$.

753. Упростите выражение:

а) Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо раскрыть все скобки и привести подобные слагаемые. Напомним, что если перед скобкой стоит знак «+», то знаки слагаемых внутри скобок сохраняются. Если перед скобкой стоит знак «?», то знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

Исходное выражение: $(1 - x + 4x^2 - 8x^3) + (2x^3 + x^2 - 6x - 3) - (5x^3 + 8x^2)$.

Раскрываем скобки:

$1 - x + 4x^2 - 8x^3 + 2x^3 + x^2 - 6x - 3 - 5x^3 - 8x^2$.

Теперь сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(-8x^3 + 2x^3 - 5x^3) + (4x^2 + x^2 - 8x^2) + (-x - 6x) + (1 - 3)$.

Выполним действия с коэффициентами в каждой группе:

Для $x^3$: $-8 + 2 - 5 = -11$.

Для $x^2$: $4 + 1 - 8 = -3$.

Для $x$: $-1 - 6 = -7$.

Для констант: $1 - 3 = -2$.

Собираем все вместе и получаем упрощенное выражение:

$-11x^3 - 3x^2 - 7x - 2$.

Ответ: $-11x^3 - 3x^2 - 7x - 2$.

б) Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Исходное выражение: $(0,5a - 0,6b + 5,5) - (-0,5a + 0,4b) + (1,3b - 4,5)$.

Раскрываем скобки, обращая внимание на знак «?» перед второй скобкой:

$0,5a - 0,6b + 5,5 + 0,5a - 0,4b + 1,3b - 4,5$.

Группируем подобные слагаемые:

$(0,5a + 0,5a) + (-0,6b - 0,4b + 1,3b) + (5,5 - 4,5)$.

Выполним действия с коэффициентами в каждой группе:

Для $a$: $0,5 + 0,5 = 1$.

Для $b$: $-0,6 - 0,4 + 1,3 = -1 + 1,3 = 0,3$.

Для констант: $5,5 - 4,5 = 1$.

Запишем итоговое выражение:

$1a + 0,3b + 1 = a + 0,3b + 1$.

Ответ: $a + 0,3b + 1$.