Страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

801. Докажите, что:
а) произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел;
б) квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.

а) Пусть даны четыре последовательных целых числа. Обозначим их как $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$.

В этой последовательности средними числами являются $n+1$ и $n+2$, а крайними — $n$ и $n+3$.

Произведение двух средних чисел равно:

$(n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$.

Произведение двух крайних чисел равно:

$n(n+3) = n^2 + 3n$.

Теперь найдем разность между произведением средних чисел и произведением крайних чисел:

$(n^2 + 3n + 2) - (n^2 + 3n) = n^2 + 3n + 2 - n^2 - 3n = 2$.

Разность равна 2, следовательно, произведение двух средних чисел на 2 больше произведения крайних чисел, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Пусть даны три последовательных нечётных числа. Их можно представить в виде $n-2$, $n$, $n+2$, где $n$ — любое нечётное число.

В этой последовательности среднее число — это $n$, а крайние числа — $n-2$ и $n+2$.

Квадрат среднего числа равен $n^2$.

Произведение двух крайних чисел равно:

$(n-2)(n+2) = n^2 - 2^2 = n^2 - 4$ (по формуле разности квадратов).

Теперь найдем разность между квадратом среднего числа и произведением крайних чисел:

$n^2 - (n^2 - 4) = n^2 - n^2 + 4 = 4$.

Разность равна 4, следовательно, квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

802. Сторона квадрата на 2 см больше одной из сторон прямоугольника и на 5 см меньше другой. Найдите площадь квадрата, если известно, что она на 50 см² меньше площади прямоугольника.

Пусть сторона квадрата равна $a$ см.

Согласно условию задачи, сторона квадрата на 2 см больше одной из сторон прямоугольника. Следовательно, одна из сторон прямоугольника равна $(a - 2)$ см.

Также, по условию, сторона квадрата на 5 см меньше другой стороны прямоугольника. Следовательно, другая сторона прямоугольника равна $(a + 5)$ см.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{кв} = a^2$.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S_{пр} = (a - 2)(a + 5)$.

Известно, что площадь квадрата на 50 см? меньше площади прямоугольника. Это можно записать в виде уравнения:

$S_{пр} - S_{кв} = 50$

Подставим в уравнение выражения для площадей:

$(a - 2)(a + 5) - a^2 = 50$

Решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки:

$a^2 + 5a - 2a - 10 - a^2 = 50$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (5a - 2a) - 10 = 50$

$3a - 10 = 50$

Перенесем -10 в правую часть уравнения:

$3a = 50 + 10$

$3a = 60$

Найдем $a$:

$a = \frac{60}{3}$

$a = 20$

Таким образом, сторона квадрата равна 20 см.

Теперь найдем площадь квадрата, как требовалось в задаче:

$S_{кв} = a^2 = 20^2 = 400$ см?.

Ответ: $400$ см?.

803. Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат, площадь которого больше площади прямоугольника на 40 см². Найдите площадь прямоугольника.

Пусть $l$ — первоначальная длина прямоугольника в см, а $w$ — его первоначальная ширина в см. Тогда площадь прямоугольника равна $A_{прям} = l \cdot w$.

Согласно условию задачи, если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат. Это означает, что его новые стороны будут равны.

Новая длина: $l' = l - 4$.
Новая ширина: $w' = w + 5$.

Поскольку получившаяся фигура — квадрат, его стороны равны: $l - 4 = w + 5$

Из этого равенства выразим длину $l$ через ширину $w$: $l = w + 5 + 4$
$l = w + 9$

Площадь получившегося квадрата $A_{кв}$ можно выразить как $(l - 4)^2$ или как $(w + 5)^2$.

Также по условию известно, что площадь квадрата на 40 см? больше площади исходного прямоугольника: $A_{кв} = A_{прям} + 40$

Теперь подставим выражения для площадей в это уравнение. Удобнее использовать выражения, содержащие только переменную $w$: $A_{кв} = (w + 5)^2$
$A_{прям} = l \cdot w = (w + 9) \cdot w$

Получаем уравнение: $(w + 5)^2 = (w + 9) \cdot w + 40$

Раскроем скобки и решим его: $w^2 + 10w + 25 = w^2 + 9w + 40$

Перенесем члены с $w$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую: $w^2 - w^2 + 10w - 9w = 40 - 25$
$w = 15$

Таким образом, ширина исходного прямоугольника равна 15 см. Теперь найдем его длину: $l = w + 9 = 15 + 9 = 24$ см.

Наконец, найдем площадь прямоугольника: $A_{прям} = l \cdot w = 24 \cdot 15 = 360$ см?.

Ответ: 360 см?.

804. Периметр прямоугольника равен 36 м. Если его длину увеличить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то его площадь увеличится на 30 м². Определите площадь первоначального прямоугольника.

Пусть $l$ – первоначальная длина прямоугольника, а $w$ – его первоначальная ширина в метрах.

Согласно условию, периметр прямоугольника равен 36 м. Формула периметра: $P = 2(l + w)$. Составим первое уравнение:
$2(l + w) = 36$
Разделив обе части на 2, получаем:
$l + w = 18$

Первоначальная площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = l \cdot w$.
После увеличения сторон новая длина становится $(l + 1)$ м, а новая ширина – $(w + 2)$ м. Новая площадь $S'$ будет равна $S' = (l + 1)(w + 2)$.
Известно, что новая площадь на 30 м? больше первоначальной: $S' = S + 30$. Подставим выражения для площадей и составим второе уравнение:
$(l + 1)(w + 2) = l \cdot w + 30$

Упростим второе уравнение, раскрыв скобки в левой части:
$l \cdot w + 2l + w + 2 = l \cdot w + 30$
Вычтем из обеих частей $l \cdot w$:
$2l + w + 2 = 30$
$2l + w = 30 - 2$
$2l + w = 28$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} l + w = 18 \\ 2l + w = 28 \end{cases}$

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго:
$(2l + w) - (l + w) = 28 - 18$
$2l + w - l - w = 10$
$l = 10$

Теперь, зная длину $l = 10$ м, найдем ширину $w$ из первого уравнения системы:
$10 + w = 18$
$w = 18 - 10$
$w = 8$

Итак, первоначальные размеры прямоугольника: длина 10 м и ширина 8 м.

Цель задачи — определить площадь первоначального прямоугольника:
$S = l \cdot w = 10 \text{ м} \cdot 8 \text{ м} = 80 \text{ м}^2$

Ответ: 80 м?.

805. Периметр прямоугольника равен 30 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 8 см². Найдите площадь первоначального прямоугольника.

Пусть первоначальная длина прямоугольника равна $l$ см, а первоначальная ширина — $w$ см.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(l+w)$. По условию задачи, периметр равен 30 см. Составим первое уравнение:
$2(l+w) = 30$
$l+w = 15$

Площадь первоначального прямоугольника равна $S_1 = l \times w$.

Если длину уменьшить на 3 см, то новая длина будет равна $(l-3)$ см. Если ширину увеличить на 5 см, то новая ширина будет равна $(w+5)$ см. Новая площадь прямоугольника $S_2$ будет равна:
$S_2 = (l-3)(w+5)$

По условию, новая площадь на 8 см? меньше первоначальной, то есть $S_2 = S_1 - 8$. Запишем это в виде уравнения, подставив выражения для площадей:
$(l-3)(w+5) = l \times w - 8$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$lw + 5l - 3w - 15 = lw - 8$
Вычтем из обеих частей $lw$:
$5l - 3w - 15 = -8$
Перенесем -15 в правую часть:
$5l - 3w = 15 - 8$
$5l - 3w = 7$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
1) $l + w = 15$
2) $5l - 3w = 7$

Из первого уравнения выразим $l$ через $w$:
$l = 15 - w$
Подставим это выражение для $l$ во второе уравнение:
$5(15-w) - 3w = 7$
$75 - 5w - 3w = 7$
$75 - 8w = 7$
$8w = 75 - 7$
$8w = 68$
$w = \frac{68}{8} = 8,5$ см.

Теперь найдем первоначальную длину $l$:
$l = 15 - w = 15 - 8,5 = 6,5$ см.

Итак, первоначальные размеры прямоугольника: длина 6,5 см и ширина 8,5 см.

Найдем площадь первоначального прямоугольника:
$S_1 = l \times w = 6,5 \times 8,5 = 55,25$ см?.

Ответ: 55,25 см?.

806. Найдите значение выражения:
а) а² + ab − 7а − 7b при а = 6,6, b = 0,4;
б) х² − ху − 4х + 4у при х = 0,5, у = 2,5;
в) 5а² − 5ах − 7а + 7х при а = 4, х = −3;
г) xb − хс + 3с − 3b при х = 2, b = 12,5, с = 8,3;
д) ау − ах − 2х + 2у при а = −2, х = 9,1, у = −6,4;
е) 3ах − 4bу − 4ау + 3bх при а = 3, b = −13, х = −1, а = −2.

а)

Дано выражение $a^2 + ab - 7a - 7b$ при $a=6,6$ и $b=0,4$.

Для упрощения вычислений сначала разложим выражение на множители. Сгруппируем слагаемые:

$(a^2 + ab) + (-7a - 7b) = a(a + b) - 7(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a - 7)(a + b)$

Теперь подставим числовые значения $a=6,6$ и $b=0,4$ в полученное выражение:

$(6,6 - 7) \cdot (6,6 + 0,4) = (-0,4) \cdot 7 = -2,8$

Ответ: $-2,8$.

б)

Дано выражение $x^2 - xy - 4x + 4y$ при $x=0,5$ и $y=2,5$.

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^2 - xy) + (-4x + 4y) = x(x - y) - 4(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x - 4)(x - y)$

Подставим значения $x=0,5$ и $y=2,5$:

$(0,5 - 4) \cdot (0,5 - 2,5) = (-3,5) \cdot (-2) = 7$

Ответ: $7$.

в)

Дано выражение $5a^2 - 5ax - 7a + 7x$ при $a=4$ и $x=-3$.

Сгруппируем слагаемые:

$(5a^2 - 5ax) + (-7a + 7x) = 5a(a - x) - 7(a - x)$

Вынесем общий множитель $(a-x)$ за скобки:

$(5a - 7)(a - x)$

Подставим значения $a=4$ и $x=-3$:

$(5 \cdot 4 - 7) \cdot (4 - (-3)) = (20 - 7) \cdot (4 + 3) = 13 \cdot 7 = 91$

Ответ: $91$.

г)

Дано выражение $xb - xc + 3c - 3b$ при $x=2, b=12,5, c=8,3$.

Сгруппируем слагаемые:

$(xb - xc) + (3c - 3b) = x(b - c) - 3(b - c)$

Вынесем общий множитель $(b-c)$ за скобки:

$(x - 3)(b - c)$

Подставим значения $x=2, b=12,5, c=8,3$:

$(2 - 3) \cdot (12,5 - 8,3) = (-1) \cdot 4,2 = -4,2$

Ответ: $-4,2$.

д)

Дано выражение $ay - ax - 2x + 2y$ при $a=-2, x=9,1, y=-6,4$.

Сгруппируем слагаемые, переставив их для удобства:

$(ay + 2y) + (-ax - 2x) = y(a + 2) - x(a + 2)$

Вынесем общий множитель $(a+2)$ за скобки:

$(y - x)(a + 2)$

Подставим значения $a=-2, x=9,1, y=-6,4$:

$(-6,4 - 9,1) \cdot (-2 + 2) = (-15,5) \cdot 0 = 0$

Ответ: $0$.

е)

Дано выражение $3ax - 4by - 4ay + 3bx$ при $a=3, b=-13, x=-1, y=-2$.

Сгруппируем слагаемые:

$(3ax + 3bx) + (-4by - 4ay) = 3x(a + b) - 4y(b + a)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(3x - 4y)(a + b)$

Подставим значения $a=3, b=-13, x=-1, y=-2$:

$(3 \cdot (-1) - 4 \cdot (-2)) \cdot (3 + (-13)) = (-3 - (-8)) \cdot (3 - 13) = (-3 + 8) \cdot (-10) = 5 \cdot (-10) = -50$

Ответ: $-50$.

807. Разложите на множители многочлен:

а) $a^3 - 2a^2 + 2a - 4$

Для разложения данного многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(a^3 - 2a^2) + (2a - 4)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $a^2$, во второй — 2:

$a^2(a - 2) + 2(a - 2)$

Теперь мы видим общий множитель $(a - 2)$, который также можно вынести за скобки:

$(a - 2)(a^2 + 2)$

Ответ: $(a - 2)(a^2 + 2)$

б) $x^3 - 12 + 6x^2 - 2x$

Сначала перегруппируем слагаемые в порядке убывания степеней переменной $x$:

$x^3 + 6x^2 - 2x - 12$

Применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(x^3 + 6x^2) + (-2x - 12)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе это $x^2$, во второй — -2:

$x^2(x + 6) - 2(x + 6)$

Вынесем общий множитель $(x + 6)$ за скобки:

$(x + 6)(x^2 - 2)$

Ответ: $(x + 6)(x^2 - 2)$

в) $c^4 - 2c^2 + c^3 - 2c$

Сначала вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$c(c^3 + c^2 - 2c - 2)$

Теперь разложим на множители многочлен в скобках, используя метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$c[(c^3 + c^2) + (-2c - 2)]$

Вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе это $c^2$, во второй — -2:

$c[c^2(c + 1) - 2(c + 1)]$

Вынесем общий множитель $(c + 1)$ за скобки:

$c[(c + 1)(c^2 - 2)]$

Окончательно получаем:

$c(c + 1)(c^2 - 2)$

Ответ: $c(c + 1)(c^2 - 2)$

г) $-y^6 - y^5 + y^4 + y^3$

Вынесем за скобки общий множитель $-y^3$. Это удобно, так как старший член в скобках станет положительным:

$-y^3(y^3 + y^2 - y - 1)$

Разложим многочлен в скобках на множители методом группировки:

$-y^3[(y^3 + y^2) - (y + 1)]$

Вынесем общий множитель из каждой группы. В первой группе это $y^2$:

$-y^3[y^2(y + 1) - 1(y + 1)]$

Вынесем общий множитель $(y + 1)$ за скобки:

$-y^3[(y + 1)(y^2 - 1)]$

Выражение $(y^2 - 1)$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(y - 1)(y + 1)$:

$-y^3(y + 1)(y - 1)(y + 1)$

Сгруппировав одинаковые множители, получим:

$-y^3(y - 1)(y + 1)^2$

Ответ: $-y^3(y - 1)(y + 1)^2$

д) $a^2b - b^2c + a^2c - bc^2$

Перегруппируем слагаемые, чтобы было удобнее выносить общие множители. Сгруппируем слагаемые, содержащие $a^2$, и слагаемые, не содержащие $a^2$:

$(a^2b + a^2c) - (b^2c + bc^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $a^2$, во второй — $bc$:

$a^2(b + c) - bc(b + c)$

Теперь вынесем общий множитель $(b + c)$ за скобки:

$(b + c)(a^2 - bc)$

Ответ: $(b + c)(a^2 - bc)$

е) $2x^3 + xy^2 - 2x^2y - y^3$

Перегруппируем слагаемые для удобства разложения. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(2x^3 - 2x^2y) + (xy^2 - y^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $2x^2$, во второй — $y^2$:

$2x^2(x - y) + y^2(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(2x^2 + y^2)$

Ответ: $(x - y)(2x^2 + y^2)$

ж) $16ab^2 - 10c^3 + 32ac^2 - 5b^2c$

Перегруппируем слагаемые. Сгруппируем слагаемые, содержащие $b^2$, и слагаемые, содержащие степень $c$:

$(16ab^2 - 5b^2c) + (32ac^2 - 10c^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $b^2$, во второй — $2c^2$:

$b^2(16a - 5c) + 2c^2(16a - 5c)$

Мы получили общий множитель $(16a - 5c)$, который выносим за скобки:

$(16a - 5c)(b^2 + 2c^2)$

Ответ: $(16a - 5c)(b^2 + 2c^2)$

з) $6a^3 - 21a^2b + 2ab^2 - 7b^3$

Применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(6a^3 - 21a^2b) + (2ab^2 - 7b^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $3a^2$, во второй — $b^2$:

$3a^2(2a - 7b) + b^2(2a - 7b)$

Теперь вынесем общий множитель $(2a - 7b)$ за скобки:

$(2a - 7b)(3a^2 + b^2)$

Ответ: $(2a - 7b)(3a^2 + b^2)$

808. Представьте в виде произведения:

а) $ma - mb + na - nb + pa - pb$

Для разложения на множители данного многочлена применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители. В данном случае удобно сгруппировать слагаемые попарно: первое со вторым, третье с четвертым, пятое с шестым.

$ (ma - mb) + (na - nb) + (pa - pb) $

Теперь вынесем общие множители за скобки в каждой из групп: $m$ из первой, $n$ из второй и $p$ из третьей.

$ m(a - b) + n(a - b) + p(a - b) $

Как видим, все три получившихся слагаемых имеют общий множитель — двучлен $(a - b)$. Вынесем его за скобки:

$ (m + n + p)(a - b) $

Ответ: $ (m + n + p)(a - b) $

б) $ax - bx - cx + ay - by - cy$

Сгруппируем слагаемые. Объединим в одну группу слагаемые, содержащие переменную $x$, а в другую — слагаемые, содержащие переменную $y$.

$ (ax - bx - cx) + (ay - by - cy) $

Вынесем за скобки общий множитель в каждой группе: $x$ в первой и $y$ во второй.

$ x(a - b - c) + y(a - b - c) $

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a - b - c)$.

$ (x + y)(a - b - c) $

Ответ: $ (x + y)(a - b - c) $

в) $x^2 + ax^2 - y - ay + cx^2 - cy$

Сгруппируем слагаемые. В одну группу соберем все члены, содержащие $x^2$, а в другую — все члены, содержащие $y$.

$ (x^2 + ax^2 + cx^2) + (-y - ay - cy) $

Вынесем общие множители за скобки. В первой группе это $x^2$, во второй группе удобно вынести $-y$.

$ x^2(1 + a + c) - y(1 + a + c) $

Теперь вынесем общий для обоих слагаемых множитель $(1 + a + c)$ за скобки.

$ (x^2 - y)(1 + a + c) $

Ответ: $ (x^2 - y)(1 + a + c) $

г) $ax^2 + 2y - bx^2 + ay + 2x^2 - by$

Для начала переставим слагаемые, чтобы сгруппировать члены с общими переменными. Объединим в одну группу слагаемые с $x^2$, а в другую — слагаемые с $y$.

$ (ax^2 - bx^2 + 2x^2) + (ay - by + 2y) $

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп: $x^2$ в первой и $y$ во второй.

$ x^2(a - b + 2) + y(a - b + 2) $

Теперь мы видим общий множитель $(a - b + 2)$, который можно вынести за скобки.

$ (x^2 + y)(a - b + 2) $

Ответ: $ (x^2 + y)(a - b + 2) $

809. Разложите на множители многочлен:

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

а) $x^2 - 10x + 24$

Приравняем многочлен к нулю, чтобы найти его корни: $x^2 - 10x + 24 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-10$, $c=24$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = 6$.

Подставляем корни в формулу разложения:

$x^2 - 10x + 24 = 1 \cdot (x - 4)(x - 6)$.

Ответ: $(x - 4)(x - 6)$.

б) $x^2 - 13x + 40$

Найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 40 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-13$, $c=40$.

Дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-13) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 3}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{-(-13) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 3}{2} = 8$.

Разложение многочлена:

$x^2 - 13x + 40 = (x - 5)(x - 8)$.

Ответ: $(x - 5)(x - 8)$.

в) $x^2 + 8x + 7$

Найдем корни уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=8$, $c=7$.

Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 6}{2} = -7$.

$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 6}{2} = -1$.

Разложение многочлена:

$x^2 + 8x + 7 = (x - (-7))(x - (-1)) = (x + 7)(x + 1)$.

Ответ: $(x + 1)(x + 7)$.

г) $x^2 + 15x + 54$

Найдем корни уравнения $x^2 + 15x + 54 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=15$, $c=54$.

Дискриминант: $D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54 = 225 - 216 = 9$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-15 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 - 3}{2} = -9$.

$x_2 = \frac{-15 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 + 3}{2} = -6$.

Разложение многочлена:

$x^2 + 15x + 54 = (x - (-9))(x - (-6)) = (x + 9)(x + 6)$.

Ответ: $(x + 6)(x + 9)$.

д) $x^2 + x - 12$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=1$, $c=-12$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$.

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$.

Разложение многочлена:

$x^2 + x - 12 = (x - (-4))(x - 3) = (x + 4)(x - 3)$.

Ответ: $(x - 3)(x + 4)$.

е) $x^2 - 2x - 35$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-35$.

Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = -5$.

$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7$.

Разложение многочлена:

$x^2 - 2x - 35 = (x - (-5))(x - 7) = (x + 5)(x - 7)$.

Ответ: $(x - 7)(x + 5)$.