Номер 801, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 801, страница 163.

801. Докажите, что:
а) произведение двух средних из четырёх последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел;
б) квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.

а) Пусть даны четыре последовательных целых числа. Обозначим их как $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$.

В этой последовательности средними числами являются $n+1$ и $n+2$, а крайними — $n$ и $n+3$.

Произведение двух средних чисел равно:

$(n+1)(n+2) = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2$.

Произведение двух крайних чисел равно:

$n(n+3) = n^2 + 3n$.

Теперь найдем разность между произведением средних чисел и произведением крайних чисел:

$(n^2 + 3n + 2) - (n^2 + 3n) = n^2 + 3n + 2 - n^2 - 3n = 2$.

Разность равна 2, следовательно, произведение двух средних чисел на 2 больше произведения крайних чисел, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Пусть даны три последовательных нечётных числа. Их можно представить в виде $n-2$, $n$, $n+2$, где $n$ — любое нечётное число.

В этой последовательности среднее число — это $n$, а крайние числа — $n-2$ и $n+2$.

Квадрат среднего числа равен $n^2$.

Произведение двух крайних чисел равно:

$(n-2)(n+2) = n^2 - 2^2 = n^2 - 4$ (по формуле разности квадратов).

Теперь найдем разность между квадратом среднего числа и произведением крайних чисел:

$n^2 - (n^2 - 4) = n^2 - n^2 + 4 = 4$.

Разность равна 4, следовательно, квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.