Номер 796, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 10 - номер 796, страница 162.

Условие.

796. Докажите, что значение выражения:
а) (3⁵ − 3⁴)(3³ + 3²) делится на 24;
б) (2¹⁰ + 2⁸)(2⁵ − 2³) делится на 60;
в) (16³ − 8³)(4³ + 2³) делится на 63;
г) (125² + 25²)(5² − 1) делится на 39.

Решение 1.

а) (3⁵ − 3⁴)(3³ + 3²) =
= 3⁴(3 - 1) ⋅ 3²(3 + 1) =
= 3⁶ ⋅ 2 ⋅ 4 = 3⁵ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 4 =
= 24 ⋅ 3⁵;

б) (2¹⁰ + 2⁸)(2⁵ − 2³) =
= 2⁸(2² + 1) ⋅ 2³(2² - 1) =
= 2¹¹ ⋅ 5 ⋅ 3 = 2⁹ ⋅ 2² ⋅ 5 ⋅ 3 =
= 2⁹ ⋅ 60;

в) (16³ − 8³)(4³ + 2³) =
= ((2⁴)³ - (2³)³) ⋅ ((2²)³ + 2³) =
= (2¹² - 2⁹) (2⁶ + 2³) =
= 2⁹ ⋅ (2³ - 1) ⋅ 2³(2³ + 1) =
= 2¹² ⋅ 7 ⋅ 9 = 2¹² ⋅ 63;

г) (125² + 25²)(5² − 1) =
= ((5³)² + (5²)²) (5² - 1) =
= (5⁶ + 5⁴) (5² - 1) =
= 5⁴(5² + 1) (5² - 1) =
= 5⁴ ⋅ 26 ⋅ 24 =
= 5⁴ ⋅ 2 ⋅ 13 ⋅ 3 ⋅ 8 =
= 5⁴ ⋅ 16 ⋅ 39.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для доказательства преобразуем выражение $(3^5 - 3^4)(3^3 + 3^2)$. Вынесем общие множители в каждой из скобок:

$3^5 - 3^4 = 3^4(3^1 - 1) = 3^4(3 - 1) = 3^4 \cdot 2$

$3^3 + 3^2 = 3^2(3^1 + 1) = 3^2(3 + 1) = 3^2 \cdot 4$

Теперь перемножим полученные результаты:

$(3^4 \cdot 2) \cdot (3^2 \cdot 4) = 3^4 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 4 = 3^{4+2} \cdot 8 = 3^6 \cdot 8$

Чтобы проверить делимость на 24, представим полученное произведение в виде, содержащем множитель 24. Так как $24 = 3 \cdot 8$, то:

$3^6 \cdot 8 = 3^5 \cdot 3 \cdot 8 = 3^5 \cdot (3 \cdot 8) = 3^5 \cdot 24$

Поскольку один из множителей равен 24, то все произведение делится на 24.

Ответ: Выражение равно $3^5 \cdot 24$, поэтому оно делится на 24.

б)

Преобразуем выражение $(2^{10} + 2^8)(2^5 - 2^3)$, вынося общие множители в каждой из скобок:

$2^{10} + 2^8 = 2^8(2^2 + 1) = 2^8(4 + 1) = 2^8 \cdot 5$

$2^5 - 2^3 = 2^3(2^2 - 1) = 2^3(4 - 1) = 2^3 \cdot 3$

Перемножим полученные результаты:

$(2^8 \cdot 5) \cdot (2^3 \cdot 3) = 2^8 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 3 = 2^{8+3} \cdot 15 = 2^{11} \cdot 15$

Чтобы проверить делимость на 60, представим полученное произведение в виде, содержащем множитель 60. Так как $60 = 4 \cdot 15 = 2^2 \cdot 15$, то:

$2^{11} \cdot 15 = 2^9 \cdot 2^2 \cdot 15 = 2^9 \cdot (4 \cdot 15) = 2^9 \cdot 60$

Поскольку один из множителей равен 60, то все произведение делится на 60.

Ответ: Выражение равно $2^9 \cdot 60$, поэтому оно делится на 60.

в)

Преобразуем выражение $(16^3 - 8^3)(4^3 + 2^3)$. Сначала представим основания степеней как степени числа 2: $16 = 2^4$, $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.

$((2^4)^3 - (2^3)^3)((2^2)^3 + 2^3) = (2^{12} - 2^9)(2^6 + 2^3)$

Вынесем общие множители в каждой из скобок:

$2^{12} - 2^9 = 2^9(2^3 - 1) = 2^9(8 - 1) = 2^9 \cdot 7$

$2^6 + 2^3 = 2^3(2^3 + 1) = 2^3(8 + 1) = 2^3 \cdot 9$

Перемножим полученные результаты:

$(2^9 \cdot 7) \cdot (2^3 \cdot 9) = 2^9 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 9 = 2^{12} \cdot (7 \cdot 9) = 2^{12} \cdot 63$

Поскольку один из множителей равен 63, то все произведение делится на 63.

Ответ: Выражение равно $2^{12} \cdot 63$, поэтому оно делится на 63.

г)

Преобразуем выражение $(125^2 + 25^2)(5^2 - 1)$. Сначала представим основания степеней как степени числа 5: $125 = 5^3$, $25 = 5^2$.

Первый множитель: $125^2 + 25^2 = (5^3)^2 + (5^2)^2 = 5^6 + 5^4$. Вынесем общий множитель:

$5^4(5^2 + 1) = 5^4(25 + 1) = 5^4 \cdot 26$

Второй множитель: $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$.

Перемножим полученные результаты:

$(5^4 \cdot 26) \cdot 24 = 5^4 \cdot 26 \cdot 24$

Чтобы проверить делимость на 39, разложим множители на простые числа. Так как $39 = 3 \cdot 13$, а в нашем выражении есть множители $26 = 2 \cdot 13$ и $24 = 3 \cdot 8$, мы можем перегруппировать множители:

$5^4 \cdot (2 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 8) = (5^4 \cdot 2 \cdot 8) \cdot (13 \cdot 3) = (5^4 \cdot 16) \cdot 39$

Поскольку один из множителей равен 39, то все произведение делится на 39.

Ответ: Выражение равно $(5^4 \cdot 16) \cdot 39$, поэтому оно делится на 39.