Номер 790, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

790. окажите, что если к целому числу прибавить его квадрат, то полученная сумма будет чётным числом.

Пусть $n$ — произвольное целое число. Нам необходимо доказать, что сумма этого числа и его квадрата, то есть выражение $n + n^2$, всегда является чётным числом.

Преобразуем данное выражение, вынеся общий множитель $n$ за скобки: $n + n^2 = n(n + 1)$.

Полученное выражение представляет собой произведение двух последовательных целых чисел: $n$ и $n + 1$. Для доказательства утверждения рассмотрим два возможных случая в зависимости от чётности числа $n$.

Случай 1: $n$ — чётное число.
Если $n$ является чётным, то его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда произведение $n(n + 1) = 2k(2k + 1)$ очевидно делится на 2, а значит, является чётным.

Случай 2: $n$ — нечётное число.
Если $n$ является нечётным, то следующее за ним число $n + 1$ будет чётным. Его можно представить в виде $n + 1 = 2m$, где $m$ — некоторое целое число. Тогда произведение $n(n + 1) = n \cdot 2m$ также делится на 2 и, следовательно, является чётным.

Поскольку любое целое число является либо чётным, либо нечётным, мы рассмотрели все возможные варианты. В каждом из них произведение $n(n+1)$, а следовательно и сумма $n + n^2$, является чётным числом.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма целого числа и его квадрата $n + n^2$ равна произведению двух последовательных целых чисел $n(n+1)$. Среди двух последовательных целых чисел одно всегда является чётным, поэтому их произведение всегда будет чётным числом.